Sôbre as ordens infinitesimais
Frederico Pimentel Gomes
Assistente interino da 16.a cadeira
1. INTRODUÇÃO
Muitos dos que estudaram os infinitésimos, também chamados infinitamente pequenos, devem ter notado a curiosa analogia entre os teoremas sobre as ordens infinitesimais dos produtos, quocientes, potências e raízes de infinitésimos e as propriedades dos algaritmos.
O autor deste trabalho, preocupado com essa interessante analogia, chegou a demonstrar um teorema que relaciona as ordens infinitesimais aos logarítmos, deixando o assunto perfeitamente esclarecido.
2. - PRELIMINARES SOBRE AS ORDENS INFINITESIMAIS
Sejam y, z, u, t, etc. funções reais de uma variável real x. Se tivermos :
e assim por diante, então y, z, u, t, etc. são, por definição, funções infinitésimas ou infinitésimos ou infinitamente pequenos no ponto r.
Daí se conclui que o conceito de infinitésimo está estreitamente ligado aos de função e limite.
Suponhamos que tomamos o infinitésimo y para termo de comparação; y é então o nosso infinitésimo principal.
(2,1) Ainda por definição, se tivermos:
Sendo k um número finito e diferente de zero, diremos que z é de ordem p em relação ao infinitésimo principal y. Isto se pode indicar pela seguinte notação
ordy z= p,
sendo p um número real positivo.
De (1) se conclui que
É fácil demonstrar que, sendo 2 de ordem p em relação a y e sendo p> q, temos:
o que indica que z é de ordem superior a q.
Se, pelo contrário, p<q, temos:
o que indica que z é de ordem inferior a q.
Às vezes a relação 
não tende para nenhum limite quando x tende para r, embora se mantenha constantemente entre dois valores finitos e do mesmo sinal. É o que acontece, por exemplo, se tomarmos
e y = x, infinitésimos no ponto zero.
Fica:
O segundo membro não tende para nenhum limite quando x tende para zero. Mas se mantém constantemente finito e náo nulo, pois podemos escrever :
2,2) NIEWENGLOWSKI estende a esse caso, acompanhando CAUCHY, o conceito de ordem infinitesimal como se segue. Sendo h >0, podemos escrever:
Portanto a ordem infinitesimal p do infinitésimo z em relação a y é tal que
Como h pode ser tão pequeno quanto se queira, pode-se tomar p = 2 como limite.
Poderíamos, sem muita dificuldade, estender a esse caso a definição de ordem infinitesimal sem ser preciso recorrer a uma nova passagem ao limite. Basta, para isso, definir como se segue a ordem infinitesimal.
(2,3) Sendo z e y funções infinitésimas de x no ponto r, diz-se que z é de ordem p em relação a y quando podemos escrever :
sendo t um infinitésimo no ponto r e F(x) tal que permita que se escreva:
nas vizinhanças do ponto r, sendo men números finitos e positivos, e sendo ainda considerada apenas a determinação real positiva de | y |p ,
Como caso particular podemos ter :
F (X) = K
sendo k uma constante.
No caso das funções complexas de uma variável complexa ou funções vectoriais de um escalar ou vector, o conceito de ardem infinitesimal se reduz ao caso anterior pela consideração dé seus módulos, e portanto nossa última definição continua de pé.
Por exemplo a variável complexa z - x + yi, com x e y reais, é infinítésima no ponto (0,0), pois temos
É evidente que, sendo F(z) = f(z) + i, g(z) se F(z) for infinitésima em z0, então f(z) e g(z) serão infinitésimas em Zo, e reciprocamente.
Por exemplo a função complexa y = F(z) = z2 + z3 é de segunda ordem em relação a z, pois temos:
Sendo X uma variável real, a função vectorial
é de ordem 1/2 em relação a X, pois temos
3. - AS ANALOGIAS A EXPLICAR - São as que se seguem, nas quais além da anotação já exposta para a ordem ininfinitesimal, utilizaremos a notação comum (loga b) para o logarítmo real de b na base a > 0.
a) Produto de infinitèsimos z, u, t, etc.
ordv (z.u.t...) =-ordy u + ordy z + ordy t.+ ...
a) Produto de números positivos quaisquer b, c, d, etc.
log,, (b. c. d...) = loga b + loga e + loga e + loga+...
b) Quociente de dois infinitèsimos a e u.
b') Quociente de dois númros positivos quaisquer.b e c.
c) Potência de expoente m de um iníinitésimo z.
ordy, zm = m loga b
c') Potência de expoente m de um número positivo qualquer b,
log, bm = m logab
d) Raiz de índice n de um iníinitésimo z.
d') Raiz de Índice n de um número positivo qualquer b.
A analogia é perfeita, como se vê. Qual a sua razão ? O teorema seguinte esclarece bem o motivo.
4. TEOREMA - Se s é um iníinitésimo de ordem q em relação a y, i,e y sendo funções de x infinitésimas no ponto r, então existe o limite do logarltmo de |z| na base |$ e esse limite é igual a q.
Demonstração - Seja por hipótese, e de acordo com as conveções estabelecidas:
Vamos demonstrar que existe
Podemos escrever:
Mas m < F(x) < n. Portanto, se representarmos por u o valor absoluto do segundo têrmo do segundo membro da última igualdade, poderemos escrever, sendo A o maior dos logarítmos de m e n, em valor absoluto :
Mas
Portanto
É facil concluir que
Portanto:
A recíproca desse teorema, porém, não é verdadeira, isto é, a existência de lim log 
= p não implica necessàriamente que a ordem de z em lelação a y tal como foi definida em (2,3), seja p. Mas é verdadeira se tomarmos por base a definição (2,2).
Por exemplo, seja z = x2 log x,y = x.
Temos:
No entando
e portanto z não é de segundo ordem em relação a x segundo (2,3), mas o é segundo (2,2), conforme o leitor poderá verificar.
Demonstrado este teorema, os teoremas comuns sobre produtos, quocientes, potências e raízes de infinitésimos podem ser expressos por um corolário dêle.
COROLÁRIO - As ordens infinitesimais dos produtos, quocientes, potências e raízes de infinitésimos obedecem às mesmas propriedade correspondentes dos logarítmos.
5. - ORDENS DE INFINITUDE - Sendo Y uma função de x tal que
diz-se que Y é uma função infinita ou um infinito, no ponto r.
Pode-se definir a ordem de infinitude de um infinito Z em relação a um infinito principal Y. O infinito Z será de ordem p em relação a Y se pudermos escrever:
sendo k um número finito e diferente de zero.
De uma maneira mais geral, pode-se dizer que Z é de ordem p em relação a Y se, sendo h >0, tivermos:
De um modo um pouco menos geral poderíamos dizer que Z é de ordem p em relação a Y no ponto r se pudermos escrever:
sendo t um infinitésimo no ponto r e F (x) tal que se possa escrever:
m < F (x) < n,
sendo m e n números finitos e positivos.
Como caso particular temos aquele em que F(x) é Igual a uma constante k.
Mas essas novas definições são desnecessárias, pois a ordem de infinitude dos infinitos pode ser reduzida facilmente à ordem infinitesimal dos infinitésimos. Pois se Z e Y são infinitos, 
são infinitésimos. E a ordem de infinitude de 
em relação 
Analogamente, sendo z um infinitésimo temos:
Daí se conclui que a ordem de infinitude não é mais do que uma ordem infinitesimal negativa.
Portanto, a ordem infinitesimal, considerada de um modo bem geral, pode ter qualquer valor real, positivo ou negativo.
A ordem infinitesimal nula corresponde às funções finitas e não nulas.
Sim, pois sendo s uma função de x não infinitésima e não infinita no ponto r, podemos escrecer :
pois daí tiramos:
e como estão excluídos os casos
evidentemente teremos nas vizinhanças de r:
se s for uma função finita e não nula.
E como t é infinitésimo no ponto r, podemos escolher um entorno de r tal que
de onde se conclui que
Em ambos os casos s será de ordem zero em relação ao infinitésimo y, como queríamos demonstrar
6 - BIBLIOGRAFIA
- a) CARNEIRO, Orlando - Apontamento de aula.
- b) COMBEROUSSE, Charles de - Cours de Mathématiques. 1929.
- c) FRANKLIN, Philip - A Treatise on Advanced Calculus. 1940.
- d) NIEWENGLOWSKI, B. - Cours d'Algèbre. 1931.
- e) TOSELLO, André - Apostilas.
- f) WOODS, Frederick S. - Advanced Calculus. S/ data.
- g) BOREL, Êmile - Leçons sur la Théorie de la Croissance. 1910.
- h) SEVERI, Francesco - Lezioni di Analisi. 1938.
Datas de Publicação
-
Publicação nesta coleção
06 Fev 2013 -
Data do Fascículo
1947
