Amortização de empréstimos

ARTIGOS

Amortização de empréstimos

Edmundo Eboli Bonini

Profesfor-Contratado do Departamento de Métodos Quantitativos da Escola de Administração de Emprêsas de São Paulo, da Fundação Getúlio Vargas. Professor das: Faculdades de Ciências Econômicas e Administrativas da Universidade de São Paulo, Faculdade de Ciências Econômicas de São Paulo, Faculdade de Ciências Econômicas de São Luiz, Escola de Engenharia Maud e Faculdade de Ciências Econômicas da Universidade Mackenzie

"... O conceito subjacente... é que o valor do dinheiro tem uma dimensão temporal, isto è, um dólar a ser recebido amanhã não possui o mesmo valor de um dólar recebido hoje." - ROBERT W. JOHNSON.

Em sentido amplo, por amortização se entende a diminuição gradual ou extinção de qualquer capital seja qual fôr o fim a que se destina, através de reduções periódicas. O usual é que tais reduções sejam efetuadas por meio de prestações, as quais podem ser iguais entre si, e também, podem ou não incluir, como parte integrante, os juros periódicos causados pelo capital que se extingue.

Capital em Matemática Financeira é qualquer valor expresso em moeda disponível em uma certa época.

Renda é uma sucessão de capitais disponíveis em diferentes épocas. Adotando-se a notação de conjuntos, temos:

onde: C_¡ = Capitais = têrmos de renda; E₁ = Vencimento.

A capitalização é composta quando o capital, em cada período prèviamente determinado, sofre acréscimo dos juros devidos para nova capitalização nos períodos subseqüentes.

A capitalização é simples quando o capital permanece constante durante todo o tempo de sua colocação.

O montante de uma renda é igual à soma dos montantes de cada um de seus têrmos.

Segundo o Princípio de Equivalência de Capitais o montante das prestações deverá ser igual ao montante do capital emprestado.

Temos observado ser prática estabelecida entre nós que a amortização de um empréstimo seja feita através do sistema Price, que corresponde a um caso particular do Sistema Francês, onde o período da prestação é submúltiplo do período da taxa.

Neste nosso trabalho iremos mencionar além do Sistema Price (prestações mensais iguais, adotando-se a capitalização composta) outros critérios para amortizarmos empréstimos.

METODOLOGIA

Adotaremos a seguinte nomenclatura:

C = capital emprestado;

i = taxa de juros;

n = número de prestações ou prazo;

P = prestação;

C_t = capital genérico Variável.

Consideremos os seguintes critérios:

• Há um acréscimo de uma porcentagem sôbre o capital emprestado e a prestação será determinada pelo quociente entre êsse capital obtido e o número de prestações. Então, teremos:

• Os juros são calculados sôbre o saldo.

• Capitalização Simples.

Quando as prestações forem iguais, o montante do capital emprestado será:

M = C (.1 + in)

O montante das prestações será:

Aplicando-se o princípio de equivalência de capitais, temos M = M'. Portanto:

Resolvendo esta equação em função de P, temos:

Quando as prestações variarem em Progressão Aritmética, o montante do capital emprestado será:

M = C(1 + in)

O montante das prestações será:

onde

sendo:

C₁ = primeira prestação

α = razão de progressão aritmética

Realizando as substituições na equação acima, temos:

Aplicando-se o princípio de equivalência de capitais: M'=M e portanto:

Resolvendo esta equação em função de C₁, temos:

Observação:

Quando as prestações variarem em Progressão Geométrica, o montante do capital emprestado será:

M = C (1 + in)

O montante das prestações será:

onde

C_t = C₁g^t-1, sendo

C₁ = primeira prestação

g = razão da progressão geométrica.

Realizando as substituições na equação acima, temos:

Aplicando-se o princípio de equivalência de capitais, temos M = M', portanto:

Resolvendo esta equação em função de C₁, temos:

• Capitalização Composta

Prestações Iguais - o montante do capital emprestado será:

sendo que a função s_n=

encontra-se tabelada em função de i e n.

Aplicando-se o princípio de equivalência, temos:

Resolvendo a equação acima em função de P, temos:

Observe-se que a função a_n^-1 encontra-se tabelada em função de i e n.

Prestações Variáveis em Progressão Aritmética - o montante do capital emprestado será:

M = C (1 + i)ⁿ

O montante das prestações será:

onde

C₁ = (C₁+ α) + α t, sendo:

C₁ = primeira prestação;

α = razão da progressão aritmética.

Procedendo às substituições na equação acima, temos:

Aplicando-se o princípio de equivalência, temos:

Resolvendo essa equação em função de C₁, temos:

onde: que está tabelada em função de i e n.

Prestações Variáveis em Progressão Geométrica - o montante do capital emprestado será:

M = C (1 + i)ⁿ

e o montante das prestações será:

onde

C_t = C₁g^t-1, sendo:

C₁ = primeira prestação;

g = razão da progressão geométrica.

Após efetuarmos as substituições na equação acima, temos:

Aplicando o princípio de equivalência, temos:

Resolvendo esta equação em função de C₁, temos:

APLICAÇÕES DO MÉTODO

Daremos aqui um exemplo para cada um dos critérios:

1. Determinar a prestação mensal para amortizar um capital de NCr$ 50.000,00, durante 5 meses, sendo a taxa de 3% ao mês.

Solução: Substituindo os valores na fórmula (1), temos:

O total dos juros será: J₁= 7.500

2. Organizar um plano de amortização de empréstimo de NCr$ 50.000,00 para ser liquidado em 5 prestações e sendo a taxa de 3% ao mês.

O plano de amortização ficará da seguinte forma:

O total dos juros será: J₂= 4.500

3. Determinar a prestação mensal que amortiza um capital de NCr$ 50.000,00 em 5 meses a juros simples sendo a taxa de 3% ao mês.

Solução: Substituindo os valores na fórmula ( 2), temos:

O total dos juros será: J_3.1= 4.245

4. Elaborar um plano de amortização de um empréstimo de NCr$ 2.000.000,00, a juros simples de 6% ao mês, liquidável em 12 prestações mensais variáveis em progressão aritmética de razão igual a NCr$ 10.000,00.

Solução: Substituindo os valores na fórmula (3), temos:

O plano será:

5. Elaborar um plano de amortização de um empréstimo de NCr$ 2.000.000,00, a juros simples de 6% ao mês, liquidável em 12 prestações mensais variáveis em progressão geométrica de razão 1,1.

Solução: Substituindo os valores na fórmula (4), temos:

O plano será:

6. Determinar a prestação que amortiza um capital de NCr$ 50.000,00, sendo a taxa de 3% ao mês.

Solução: Substituindo os valores na fórmula (5), temos:

O total dos juros será: J_4.1= 4.590

7. Organizar um plano de amortização de um empréstimo de NCr$ 100.000.000,00 a juros de 8% ao mês, liquidável em 6 prestações mensais variáveis em progressão aritmética crescente de NCr$ 200.000,00 em cada mês.

Solução: Substituindo os valores na fórmula (6), temos:

O plano será:

8. Organizar um plano de amortização de um empréstimo de NCr$ 100.000.000,00, a juros de 5% ao mês, liquidável em 5 meses com prestações variáveis em progressão geométrica de razão 2.

Solução: Substituindo os valores na fórmula (7), temos:

O plano será:

O leitor teve a oportunidade de constatar uma série de critérios para amortizarmos um empréstimo. Assim, observamos empréstimos a prestações iguais e variáveis, segundo uma certa lei de crescimento, considerando a capitalização simples e composta.

O critério a ser adotado está evidentemente condicionado a situação de devedor e credor; assim, nos exemplos práticos 1, 2, 3 e 6, temos que os juros: J₁> J_4.1 J₁₂ > J_3.1

Portanto, para o emprestador o plano mais conveniente seria o plano 1 e para o tomador seria o plano 3.1.

Devemos observar que não há um critério ótimo. Por isso analisamos as amortizações de empréstimos na capitalização simples e composta com prestações constantes e variáveis de acordo com uma certa lei de crescimento. Em cada um dos critérios, o princípio é de que o montante do capital emprestado deverá ser igual ao montante das prestações. Portanto, para amortizarmos um empréstimo, devemos ter em mente dois tópicos:

• Qual o critério de capitalização dos capitais: capitalização simples ou composta.

• Qual o valor das prestações: constantes ou variáveis, e se variáveis qual a lei de variação.

BIBLIOGRAFIA

APÊNDICE

Mencionaremos aqui as somatérias aplicadas, sendo que as mesmas são aplicadas no desenvolvimento das fórmulas para a obtenção dos modelos:

• CLODOMIRO DE ALMEIDA FURQUIM, Empréstimos, São Paulo: Tipografia Rossolillo. Cálculo Operatório na Matemática Financeira, São Paulo, 1957.
• W. JAMES GLOVER, Tables of Applied Mathematics in Finance, Insurance,Statistics - The George Wahr Publishing Co., 1951.
• E.L. GRANT, Principies of Engineering Economy, Nova Iorque: The Ronald Press Co., 1950.
• CLAUDE MACHLINE, "Análise de Investimentos e Inflação", Revista de Administração de Empresas, n.ş 18.
• EDMUNDO EBOLI BONINI, "Equivalência de Capitais (Capitalização Composta)", Revista de Publicidade Industrial, abril de 1966.
• ______ "Equivalência de Capitais (Capitalização Simples)", RPI, maio de 1966.
• ______"Substituição de Pagamentos", RPI, julho de 1966.
• ______"Investimento e Retôrno Parciais", RPI, agôsto de 1966.
• ______"Conheça o Sistema Francês para Amortização de Empréstimos", RPI, outubro de 1966.
• ______"Como Amortizar Empréstimos pelo Sistema Americano", RPI, dezembro de 1966.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  03 Jul 2015
• Data do Fascículo
  Mar 1968