Un modelo para la construcción de trayectorias hipotéticas de aprendizaje preliminares

Cárcamo, Andrea; Fuentealba, Claudio

doi:10.1590/1980-4415v37n76a10

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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ARTIGOS • Bolema 37 (76) • May-Aug 2023 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v37n76a10 copiar

Un modelo para la construcción de trayectorias hipotéticas de aprendizaje preliminares

A model for the construction of preliminary hypothetical learning trajectories

Autoría SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Resumen

El objetivo de este trabajo es ofrecer un modelo sobre el proceso de construcción de una trayectoria hipotética de aprendizaje preliminar (THAp) en matemática y que es elaborada, en general, para aplicarla en un primer ciclo de un experimento de enseñanza. Este modelo surge de la revisión de investigaciones sobre THA en el campo de la Educación Matemática. Se ejemplifica dicho modelo a través de la elaboración de una THAp sobre sistemas de ecuaciones lineales para el curso de Álgebra Lineal en el nivel universitario.

Trayectoria hipotética de aprendizaje; Álgebra Lineal; Sistema de ecuaciones lineales; Trayectoria hipotética de aprendizaje preliminar; Modelo teórico-analítico de construcción de trayectorias

Objetivo de aprendizaje
Los estudiantes conocen SEL de orden mxn y los resuelven matricialmente. En particular, distinguen un SEL de mxn (en sus distintas formas de representación), lo resuelven matricialmente, determinan su cardinalidad y su conjunto solución.
Nivel de actividad. Descripción de la tarea de aprendizaje	Descripción del proceso de aprendizaje hipotético
Nivel de actividad. Descripción de la tarea de aprendizaje	Actividad	Efecto	Reflexión
Situacional . Tarea 1. Resuelve las siguientes ecuaciones lineales y responde: (i) ¿Qué tipo o tipos de soluciones puede tener una ecuación lineal? (ii) Para cada ecuación lineal resuelta, determina el conjunto que contiene todas las soluciones de esta.	Los estudiantes resuelven las ecuaciones lineales haciendo operaciones básicas.	Los estudiantes obtienen la solución y el conjunto solución de cada ecuación lineal.	Los estudiantes deducen que la solución de una ecuación lineal se puede representar como solución particular o como conjunto. Además, los estudiantes abstraen la idea de que una ecuación lineal tiene tres tipos de soluciones.
Intervención del docente: Introducir la definición de SEL de mxn .
Referencial . Tarea 2. (I) Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales (SEL) de 2 x 2 que están representados de forma geométrica, analítica y conjuntista. (II) Determine el conjunto solución de los siguientes SEL de 3 x 2. (III) ¿Cuál puede ser la cardinalidad del conjunto solución de un SEL de 2 x 2 y de 3 x 2? En general, ¿cuál puede ser la cardinalidad del conjunto solución de un SEL? Justifica tu respuesta.	Los estudiantes resuelven SEL de 2 x 2 y de 3 x 2 usando el método de sustitución, igualación, reducción o gráfico.	Los estudiantes obtienen el conjunto solución de los SEL.	Los estudiantes deducen que la cardinalidad del conjunto solución de un SEL puede ser cero, uno o infinita.
Intervención del docente: Formalizar los tipos de conjunto solución de un SEL y clasificación de los SEL según estos. Además, mostrar a los estudiantes las posibles formas de representar un SEL, incluyendo la representación matricial. Luego, enseñarles a resolver SEL matricialmente a través de ejemplos con SEL de 2 x 2, 3 x 2 y 3 x 3.
General. Tarea 3. (I) Resuelve matricialmente los siguientes SEL de mxm y mxn indicando: el número de incógnitas, el conjunto solución del SEL y los rangos de la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A \| B . (II) De acuerdo con los SEL resueltos, conjetura la relación entre el conjunto solución de un SEL, el número de incógnitas, el rango de la matriz de coeficientes A y el rango de la matriz ampliada A \| B . (III) Resuelve matricialmente los siguientes SEL de mxm y mxn que tienen sus términos independientes nulos. ¿Qué tipo de conjunto solución tienen estos SEL?	Los estudiantes resuelven SEL de mxm y mxn	Los estudiantes indican del SEL resuelto: el número de incógnitas, los rangos de la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada A \| B , y el conjunto solución.	Los estudiantes deducen la relación entre el tipo de solución del SEL y el número de incógnitas, el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada. Esta relación corresponde a la que se señala formalmente en el Teorema de Rouché-Frobenius. Además, los estudiantes infieren que los SEL que tienen sus términos independientes nulos son siempre SEL determinados.
Intervención del docente: Formalizar los SEL homogéneo y no homogéneo, así como el Teorema de Rouché-Frobenius.
Formal . Tarea 4. (I) Encuentre el conjunto solución de los siguientes SEL de mxn (4 x 3, 5 x 5, 3 x 4). (II) El siguiente SEL tiene cuatro incógnitas: x, y, z, w ; y también dos parámetros: α, β. Determinar los valores de α y β de modo que el sistema tenga: solución única, infinitas soluciones y solución vacía.	Los estudiantes resuelven SEL de mxm, mxn y con parámetros.	Los estudiantes obtienen el conjunto solución de los SEL de mxm y mxn . Además, identifican las condiciones de los parámetros para los tres tipos de soluciones del SEL.	Los estudiantes abstraen la idea de que el tipo de solución de un SEL cualquiera se puede determinar relacionando el número de incógnitas del SEL con los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada.

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