Teaching Analysis to Process Integration Method Instruction by Parties

Nieves, Enrique Mateus

doi:10.1590/1980-4415v30n55a13

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Sumário

Artículo • Bolema 30 (55) • May-Aug 2016 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v30n55a13 copy

Teaching Analysis to Process Integration Method Instruction by Parties

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Abstract

This article presents an analysis of the structure and functioning of a sequence of math classes, with Colombian sophomore bachelor's degree in mathematics, where the method of integration by parts explained is presented. In order to do so, the model of analysis proposed by the Focus Ontosemiotic of Cognition and Instruction Mathematics was used. The didactic analysis leads to the conclusion that the sequence analyzed classes can be considered as a mechanistic degeneration of the formal class. Since the development of the same are used partially formal characteristics mechanistic paradigms. Moreover, it is observed that the structure and operation of the analyzed classes ignores the complexity of integrated ontosemiotic, which is one of the reasons why certain learning difficulties occur in students.

Keywords:
Didactic Analysis; Integral, Integration by Parts; Suitability Teaching

Tipo de ejercicios	I.T.	Log.	Alg.	Trig.	Exp.
Inversas de trigonométricas (IT)		x		x
Logarítmicas (Log)	x		x	x
Algebraicas (Alg)	x	x		x	x
Trigonométricas (Trig)		x	x		x
Exponenciales (Exp)	x	x	x	x

# de und		Descripción	Comentario del observador investigador
33	P	Vamos a la lección 7. 1 del libro. ¡Vamos a calcular la integral de equis, Euler a la tres equis de equis!	[El profesor se acerca a su escritorio, allí tiene el libro abierto en la sección que mencionó y escribe en el tablero:]
35	P	¡Bueno, si ven, este ejercicio tiene una multiplicación entre sus términos, entonces el ejercicio se debe hacer por partes! Así se llama la técnica que aprenderemos hoy.
36	P.	Después que revisemos que no es posible factorizar los términos para simplificar la expresión, verificamos si la solución es por sustitución o en caso contrario será por partes. Ustedes ya saben determinar si es por el método de sustitución.
37	P	Ahora, para poder saber la técnica, debemos recordar la fórmula de la derivada de un producto. ¿Todos recuerdan la fórmula de derivación por la regla del producto?
38	estud	Si.	[Los estudiantes casi al unísono, responden]
39	P	¿Cuál es?
40	estud	Derivada de la primera por la segunda sin derivar más derivada de la segunda por la primera sin derivar. A su vez el profesor escribe en el tablero la fórmula:	[Todos repiten en coro]
41	P		[Escribe en el tablero mientras los alumnos lo dicen con palabras]
42	P	Ahora vamos a recordar el teorema fundamental del cálculo en su 1° parte.	[Se acerca al escritorio del docente y mira el libro y dice:]
43	P	¡Mírenlo en el libro en la pág. 362!
44	P	u prima por v está sumando, lo paso al otro lado a restar, entonces queda la derivada el producto en u y v menos la derivada de u por v sin derivar igual a u por la derivada de v Entonces miren:
45	P	¡Ahora, aplicamos el teorema fundamental del cálculo es decir, recuerden que el proceso de antiderivar es el inverso a la derivada! En cierto modo para eliminar una de esas derivadas lo que debo hacer ¿es? ¿Qué cosa? ¿Alguien sabe cómo?	[Los estudiantes guardan silencio mientras le prestan atención y toman nota. Nadie responde a los interrogantes del profesor.]
46	P	Miren, atentos: tengo una ecuación, integramos a ambos lados y me va a quedar la integral de u.v prima menos u prima por v	[Mientras el profesor hablaba escribió en el tablero]
47	P	¡Como la integral de la izquierda es una resta, pues se pude separar para calcularla!	[Acto seguido escribe en el tablero: Y dice señalando al primera integral que resulta al separar la resta]
48	P	¿Qué pasa en esta primera integral ¿qué nos dice el teorema fundamental del cálculo? Que cuando tengo la integral de una derivada esos dos procesos se anulan, Entonces ¿qué se anula aquí?, se anula esta integral con esta derivada y qué queda?	[Mientras hablaba señaló con la mano la primera integral de la izquierda trazándole una raya diagonal por encima al signo de la derivada y al signo de la integral Dice esto mientras escribe:
49	P	¿Claro?, y ¡listo, esa es la fórmula!
50	A6	¡Profe eso es un poquito pesado!
51	P	Escribamos esta fórmula en términos de diferenciales.
52	P	Eso quedaría: u por v menos v, y en vez de escribir u prima escribo du. Así nos aparece la fórmula de integración por partes.	[Dice esto mientras escribe]
53	P	Esta es la regla de la integración por partes. Ahora si vamos a solucionar nuestra integral que esta por acá	[Señala la parte superior izquierda del tablero donde había escrito la integral a solucionar.]
54	P	La fórmula de integración por partes nos dice que cuando tengo la integral de una función u por la derivada de una función v es igual al producto de u por v menos la integral de v por du.	[Resalta la formula ya escrita con el marcador de color rojo, encerrándola en una nube]
55	P	¿Qué tal esa fórmula no les causa alegría? ¿No los emociona?	[los estudiantes ríen mientras toman nota en sus cuadernos]
56	P	Hay dos formas de aprenderla. ¡Una es “con la regla de la vaca”!	Dice : “Una vaca sin cola vestida de uniforme” al tiempo que va señalando con la mano la u para “una,” la v para “vaca,” el signo menos para “sin,” el signo de integral ∫ para “cola,” la v para “vestida” y el du para “de uniforme”
57	P	La otra es memorizarla. ¿Complicado? ¡Esa es la técnica para que la recuerden!	[Los Estudiantes con sorpresa la repiten en medio de risas.]
58	A12	Como es profe: ¿Una vaca sin qué vestida de uniforme?	[El resto del grupo ríe al escuchar el aporte de Jonathan]
59	A4	¡Una vaca sin que… no! Así no dijo el profe. ¿Cómo es profe?
60	P	Es “la regla de la vaca”	[Y la repite a la vez que señala con la mano cada letra y signo con su símil]
61	A6	¡Chévere poder memorizarla así!
62	P	Volvamos al ejemplo que tenemos, ¿lo recuerdan?	[El profesor se dirige a la parte superior izquierda del tablero para mostrar el ejercicio que había escrito y lo lee de la siguiente manera:]
63	P	Vamos a resolver la integral de equis Euler a la tres equis
64	P	¿Cuáles son los indicios para saber que debo integrar por partes?
65	A4	¡Porque hay una multiplicación entre sus términos!
66	P	Muy bien. Hay una multiplicación entre dos funciones no similares
67	P	Acá es muy importante escoger quien ha de ser u y quien dv si escojo a u esa función al derivarla debe bajarle el grado, si eso no se da entonces le subo el grado y significa que va mal, lo estaríamos haciendo mal, vamos por mal camino
68	P	¿A quién creen que debo tomar como u?	[acto seguido sin permitir que los estudiantes digan algo él menciona:]
69	P	u la tomo como x y dv a lo que queda	[Mientras escribe en el tablero:]
70	P	Entonces, pues miren lo escribo con colorcitos para que no haya equívocos. La idea es que al derivar se baje el grado de la integral si eso no se da entonces lo hicimos mal y debemos cambiar la selección que hicimos para u y para dv.
71	P	¿Que necesito para mi formula? ¡Pues determinar quién es u!	[Pero no permite que los jóvenes digan algo]
72	P	¡Sé quién es u!, y ¿Sé quién es dv?	[y los resalta señalándolos con la mano en el tablero, pues ya los había escrito]
73	P	Bueno miremos la fórmula	[Y la señala en la parte superior central del tablero, donde la dejo escrita]
74	P	Pero vean que no conozco v. Entonces ¿cómo busco v?
75	A12	¿Integramos?, creo que es una primitiva, ¿si profe?
76	P	Así es, muy bien Jonathan
77	Pr	y no conozco du ¿cómo lo encuentro?
78	A9	Derivamos.
79	P	¡Listo vamos hacerlo y luego reemplazamos en la formula! ¿Claro para todos?	[El profesor escribe en el tablero mientras dice]
80	P	Aquí nos aparece u igual a equis y por tanto de u es de equis.	[En el tablero escribe: u = x, ⇒ du = dx; y pregunta]
81	P	¿Y v qué es?	[Mientras escribe:]
82	P	A13, ¿por qué hoy está tan callado? ¿Cómo queda v?
83	A13	Integrando profe.
84	P	Si es cierto, pero ¿cómo queda v? Es decir, ¿cuál es la integral de Euler a la tres equis?	[Dice esto, mientras escribe en el tablero:]
85	A9	Da Euler a equis
86	A6	¡No!, ¡da un tercio Euler a la tres equis!
87	P	¿Quién tiene la razón?
88	A12	A6 profe, A9 se equivocó
89	P	Pase A12 al tablero y la hace.	[Le entrega el marcador a A12 y este escribe en el tablero mientras dice:]
90	A12	Esta es una integral por sustitución simple, llamamos u a tres equis, busco du que es tres de equis. Necesito un tres que multiplique al de equis luego debo multiplicar y dividir toda la expresión por tres	[Y escribe.] u = 3x ⇒ du = 3 dx
91	A12	al sustituir en la integral a términos de u me queda: un tercio de la integral de Euler a la u por du que es una integral sencilla que da Euler a la u.	[Al tiempo que hablaba y escribe en el tablero]
92	P	A12, por el momento nos olvidamos de la constante de integración c. ¿estamos?
93	P	Bueno, Ya sabemos que v es un tercio de Euler a la tres equis	[mientras escribe en el tablero]
94	P	¿Qué más necesitamos en nuestra formula de integración? Miren qué ya conocemos a v, ¿qué nos haría falta?	[Señalando la fórmula que tiene escrita en la parte superior central del tablero]
95	A9	Du
96	P	¿Cómo hallamos du?
97	A13	Derivando u.
98	P	¡Listo!, ¡aquí sería la derivada de u que es igual a la derivada de x!
99	P	¿Cuál es la derivada de x?	[Los estudiantes al unísono dicen uno, mientras el profesor escribe en el tablero]
100	P	Uno por el diferencial que en este caso es dx	[Lo señala en el escrito que hizo en el tablero]
101	P	¿Listo? ¿Qué hacemos ahora?
102	estud	¡Aplicamos la formula!	[La mayoría de los estudiantes casi en coro dicen:]
103	A4	¿Si profe?
104	Prof.	Así es, reemplazamos en la formula, ¿por qué duda María?	[Simultáneo el profesor escribe en el tablero]
105	P	¿Claro para todos?
106	A6	Profe ¿podemos sacar el un tercio de la integral?
107	P	Y ¿por qué lo podemos hacer?
108	A12	Porque es una constante	[El profesor escribe en el tablero]
109	P	Esta integral ya la calculamos	[Señala ∫e^3x dx y escribe la respuesta luego de signo igual así:]
110	A13	Profe ¿por qué escribió un noveno?
111	P	Porque la integral de Euler a la tres equis es ¡un tercio de Euler a las tres equis!.	[Y señala con la mano, el lugar donde Jonathan había calculado anteriormente dicha integral. Los estudiantes callan, y toman nota en sus cuadernos]
112	P	Entonces observen que pasamos de esta integral a una integral más sencilla.	[Señala con la mano la integral ∫ x e^3x dx y luego pasa la otra ∫ e^3x dx
113	P	Si pasamos a una integral más sencilla partiendo de una complicada, pues vamos bien, pero si pasamos una integral más complicada ese no es el camino.
114	P	La idea es llegar a una integral que sea más fácil de resolver.	[No deja que los estudiantes respondan]
115	P	¿Ya terminamos? ¿Qué nos falta?
116	P	¿Se podría factorizar algo?
117	A9	Si, Euler a la tres equis
118	P	Muy bien, al factorizar completamente tenemos:	[en el tablero después del ejercicio que lleva, escribe un signo igual y acto seguido escribe]
119	P	¿Claro?	[Hay silencio mientras los estudiantes toman nota. Luego de unos minutos el profesor vuelve a intervenir diciendo]
120	P	¿Otro ejemplo o ya quedo perfecto?
121	A3	No solo otro profe, mas…¡el proceso es enredado!
122	P	Es cuestión de práctica, en el taller 7.1 hay 50 ejercicios para resolver, me deben entregar los primeros 10 el viernes no lo olviden.

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