Contribuições à teoria da genética em populações

Resumos

1) O equilíbrio em populações, inicialmente compostas de vários genotipos depende essencialmente de três fatores: a modalidade de reprodução e a relativa viabilidade e fertilidade dos genotipos, e as freqüências iniciais. 2) Temos que distinguir a) reprodução por cruzamento livre quando qualquer indivíduo da população pode ser cruzado com qualquer outro; b) reprodução por autofecundação, quando cada indivíduo é reproduzido por uma autofecundação; c) finalmente a reprodução mista, isto é, os casos intermediários onde os indivíduos são em parte cruzados, em parte autofecundados. 3) Populações heterozigotas para um par de gens e sem seleção. Em populações com reprodução cruzada se estabelece na primeira geração um equilíbrio entre os três genotipos, segundo a chamada regra de Hardy- Weinberg. Inicial : AA/u + Aa/v aa/u = 1 Equilibirio (u + v/2)² + u + v/2 ( w + v/2) + (w + v/2)² = p2 + 2 p o. q o. + q²o = 1 Em populações com autofecundação o equilíbrio será atingido quando estiverem presentes apenas os dois homozigotos, e uma fórmula é dada que permite calcular quantas gerações são necessárias para atingir aproximadamente este resultado. Finalmente, em populações com reprodução mista, obtemos um equilíbrio com valores intermediários, conforme Quadro 1. Frequência Genotipo Inicial mº Geração Final AA u u + 2m-1v / 2m+1 u + 1/2v Aa v 2/ 2m+2 v - aa w w + 2m - 1/ 2m + 1 v w + 1/2 v 4) Os índices de sobrevivencia. Para poder chegar a fórmulas matemáticas simples, é necessário introduzir índices de sobrevivência para medir a viabilidade e fertilidade dos homozigotos, em relação à sobrevivência dos heterozigotos. Designamos a sobrevivência absoluta de cada um dos três genotipos com x, y e z, e teremos então: x [ A A] : y [ Aa] : z [ aa] = x/y [ A A] : [ Aa] : z/ y [aa] = R A [ AA] : 1 [Aa] : Ra [aa] É evidente que os índices R poderão ter qualquer valor desde zero, quando haverá uma eliminação completa dos homozigotos, até infinito quando os heterozigotos serão completamente eliminados. Os termos (1 -K) de Haldane e (1 -S) ou W de Wright não têm esta propriedade matemática, podendo variar apenas entre zero e um. É ainda necessário distinguir índices parciais, de acordo com a marcha da eliminação nas diferentes fases da ontogenia dos indivíduos. Teremos que distinguir em primeiro lugar entre a eliminação durante a fase vegetativa e a eliminação na fase reprodutiva. Estas duas componentes são ligadas pela relação matemática. R - RV . RR 5) Populações com reprodução cruzada e eliminação. - Considerações gerais. a) O equilibrio final, independente da freqüência inicial dos genes e dos genotipos para valores da sobrevivência diferentes de um, é atingido quando os gens e os genotipos estão presentes nas proporções seguintes: (Quadro 2). po / qo = 1- ro / 1-Ra [AA] (1 - Ro)² . Rav [ Aa] = 2(1 - Ra) ( 1 - Ra) [a a} = ( 1 - Ra)² . RaA b) Fórmulas foram dadas que permitem calcular as freqüências dos genotipos em qualquer geração das populações. Não foi tentado obter fórmulas gerais, por processos de integração, pois trata-se de um processo descontínuo, com saltos de uma e outra geração, e de duração curta. 6) Populações com reprodução cruzada e eliminação. Podemos distinguir os seguintes casos: a) Heterosis - (Quadro 3 e Fig. 1). Ra < 1; Ra < 1 Inicial : Final : p (A)/q(a) -> 1-ra/1-ra = positivo/zero = infinito Os dois gens e assim os três genotipos zigóticos permanecem na população. Quando as freqüências iniciais forem maiores do que as do equilíbrio elas serão diminuidas, e quando forem menores, serão aumentadas. b) Gens recessivos letais ou semiletais. (Quadro 1 e Fig. 2). O equilíbrio será atingido quando o gen, que causa a redução da viabilidade dos homozigotos, fôr eliminado da população. . / c) Gens parcialmente dominantes semiletais. (Quadro 5 e Fig. 3). Rª ; Oz Ra < 1 Inicial : Equilibrio biológico Equilíbrio Matemático pa(A)/q(a) -> positivo /zero -> 1- Rq/ 1-Ra = positivo/negativo d) Genes incompatíveis. Ra > 1 ; Ra > 1; Ra > Ra Equílibrio/biológico p (A)/ q(a) -> positivo/zero Equilibrio matemático -> positivo/ zero -> zero/negativo -> 1-Ra/1 - Ra = negativo/negativo Nestes dois casos devemos distinguir entre o significado matemático e biológico. A marcha da eliminação não pode chegar até o equilíbrio matemático quando um dos gens alcança antes a freqüência zero, isto é, desaparece. Nos três casos teremos sempre uma eliminação relativamente rápida de um dos gens «e com isso do homozigoto respectivo e dos heterozigotòs. e) Foram discutidos mais dois casos especiais: eliminação reprodutiva diferencial dos dois valores do sexo feminino e masculino, -e gens para competição gametofítica. (Quadros 6 e 7 e Figs. 4 a 6). 7) População com autofecundação e seleção. O equilíbrio será atingido quando os genotipos estiverem presentes nas seguintes proporções: (Quadro 8); [AA] ( 0,5 - Ra). R AV [Aa] = 4. ( 0,5 - Ra) . (0.5 -R A) [aa] ( 0,5 - R A) . Rav Também foram dadas fórmulas que permitem calcular as proporções genotípicas em cada geração e a marcha geral da eliminação dos genotipos. 8)Casos especiais. Podemos notar que o termo (0,5 -R) nas fórmulas para as populações autofecundadas ocupa mais ou menos a mesma importância do que o termo (1-R) nas fórmulas para as populações cruzadas. a) Heterosis. (Quadro 9 e Fig. 7). Quando RA e Ra têm valores entre 0 e 0,5, obtemos o seguinte resultado: No equilíbrio ambos os gens estão presentes e os três heterozigotos são mais freqüentes do que os homozigotos. b) Em todos os demais casos, quando RA e Ra forem iguais ou maiores do que 0,5, o equilíbrio é atingido quando estão representados na população apenas os homozigotos mais viáveis e férteis. (Quadro 10). 9) Foram discutidos os efeitos de alterações dos valores da sobrevivência (Fig. 9), do modo de reprodução (Fig. 10) e das freqüências iniciais dos gens (Fig. 8). 10) Algumas aplicações à genética aplicada. Depois de uma discussão mais geral, dois problemas principais foram tratados: a) A homogeneização: Ficou demonstrado que a reprodução por cruzamento livre representa um mecanismo muito ineficiente, e que se deve empregar sempre ou a autofecundação ou pelo menos uma reprodução mista com a maior freqüência possível de acasalamentos consanguíneos. Fórmulas e dados (Quadro 11 e 12), permitem a determinação do número de gerações necessárias para obter um grau razoável de homozigotia- b) Heterosis. Existem dois processos, para a obtenção de um alto grau de heterozigotia e com isso de heterosis: a) O método clássico do "inbreeding and outbreeding". b) O método novo das populações balançadas, baseado na combinação de gens que quando homozigotos dão urna menor sobrevivência do que quando heterozigotos. 11) Algumas considerações sobre a teoria de evolução: a) Heterosis. Os gens com efeito "heterótico", isto é, nos casos onde os heterozigotos s mais viáveis e férteis, do que os homozigotos, oferecem um mecanismo especial de evolução, pois nestes casos a freqüência dos gens, apesar de seu efeito negativo na fase homozigota, tem a sua freqüência aumentada até que seja atingido o valor do equilíbrio. b) Gens letais e semiletais recessivos. Foi demonstrado que estes gens devem ser eliminados automáticamente das populações. Porém, ao contrário do esperado, não s raros por exemplo em milho e em Drosophila, gens que até hoje foram classificados nesta categoria. Assim, um estudo detalhado torna-se necessário para resolver se os heterozigotos em muitos destes casos não serão de maior sobrevivência do que ambos os homozigotos, isto é, que se trata realmente de genes heteróticos. c) Gens semiletais parcialmente dominantes. Estes gens serão sempre eliminados nas populações, e de fato eles são encontrados apenas raramente. d) Gens incompatíveis. São também geralmente eliminados das populações. Apenas em casos especiais eles podem ter importância na evolução, representando um mecanismo de isolamento.

1) The equilibrium in populations, initially composed of various genotypes depends essentially from the mode of reproduction the relative viability and fertility of the competing genotypes, and the initial frequencies. 2) We have to distinguish two main types of sexual reproduction: Cross fertilization or random mating where each individual has equal chances to be fertilized by any individual of the population, and Self-fertilization where each individum is automatically selfed. Finally we encounter cases of a mixed reproduction where there is no free intercrossing nor an absolute selfing. 3) Populations, heterozygous for one pair of genes and without selection. a) In cross fertilized populations equilibrium is reached in acordance with the Hardy-Wéinberg rule, in the first generation: Inicial : AA /u + Aa /v + aa/u = 1 Equilibrio ( u + v/2)² + 2 ( u + v/2 ) (w + v/2) + ( w + v/2)²= 1 Equilibrio ( u + v/2)² + 2 (u + v/2) ( w + v/2) + ( w + v/2)² = p o² + 2. po.qo + q o² = 1 b) In self fertilized populations equilibrium will be reached thermiticialy by the complete elimination of all heterozigotes, but a, sufficient approach to equilibrium may . be reached quickly: Frequência mº Geração Final AA u + 2m-1/2m+1 v u + 1/2 v Aa 2/ 2m + 1 v - aa w + 2m-1 / 2m +1 v w + 1/2 v c) In populations with mixed reproduction, the equilibrium depends upon the relative frequencies of crossing and selfing* and the final values for some cases are given in Quadro I. 4) Survival Indices - Mathematical formulas are simplified if we introduce special survival indices for the homozygotes in relation to the survival of the heterozygotes. If we designate the absolve survival values of the three genotypes AA, Aa and aa, by x, y and z. we may give the following mathematical definition: x [ A A] : y [ Aa] : z [ aa] = x/y [ A A] : [ Aa] : z/ y [aa] = R A [ AA] : 1 [Aa] : Ra [aa] Thus the value of R can have any value between zero, i. e. complete elimination of homozygotés, and infinite, i. e. complete elimination of heterozygotes. The terms (1 -K) of Haldane and (1 -S) or W of Wright do not have this mathematical property, and may have only values from zero to one Evidently, in accordance with the nature of the elimina tory process, we shall have to subdivide these indices of total survival R into at least two main components: the survival during the vegetative phase and the survival of gametes during the reproduction phase. These two componentes are united by the following equation R = RA . RR 5) Populations with random mating and selection. a) The final equilibrium, which is independent from the Initial gene or genotype frequencies, is reached when the genes and the zygotic genotypes are present in the following proportions: (Quadro 2). Po/ qo = 1- Ro/ -R A [AA] ( 0,5 - Ra). R AV [Aa] = 4. ( 0,5 - Ra) . (0.5 -R A) [aa] ( 0,5 - R A)² . Rav b) Formulas are given which permit the calculus of frequencies in intermediate generations. 6) Discussion of special cases. a) Heterotic Genes. (Quadro 3 and Fig. 1). Ra < 1; Ra < 1 Inicial : Final : p (A)/q(a) -> 1-ra/1-ra = positivo/zero = infinito At equilibrium both genes remain present in the population, and their frequency will be increased or decreased whenever the initial frequencies were bigger or smaller than the values expected at equilibrium. b) Letais or semiletal, recessives genes. (Quadro 4 and Fig. 2). Rª ; Oz Ra < 1 Inicial : Equilibrio biológico Equilíbrio Matemático pa(A)/q(a) -> positivo /zero -> 1- Rq/ 1-Ra = positivo/negativo Equilibrium will be reached when the gene which causes the reduction of viability or fertility of homozigotes, is eliminated from the population. c) Semiletals, and parcially dominant genes. (Quadro 5 and Fig. 3). Rª ; Oz Ra < 1 Inicial : Equilibrio biológico Equilíbrio Matemático pa(A)/q(a) -> positivo /zero -> 1- Rq/ 1-Ra = positivo/negativo d) Incompatible Genes. Ra > 1 ; Ra > 1; Ra > Ra Equílibrio/biológico p (A)/ q(a) -> positivo/zero Equilibrio matemático -> positivo/ zero -> zero/negativo -> 1-Ra/1 - Ra = negativo/negativo In these two cases we have to distinguish between the biological and the mathematical equilibrium. The first will be reached when one of the genes has a frequency equal to zero, While negative values can have a mathematical meaning only. Thus biological equilibrium will be reached with the elimination of the gene which causes a relatively lower viability of the respective homozygotes. However we must note still one exception in the last case of incompatible genes: When both genes have the same initial frequency and when the respective survival values are also equal and larger than one, both the genes will remain in the population, and the homozygotes will become more frequent than the heterozygotes, thus furnishing an isolating mecha-nisme. e) Two special cases were discussed in some detail: differential elimination in the two sexes, and gametophite competition. (Quadro 6 e 7 e Pig. 4 a 6). 7) Populations with self-fertilization. a) Equilibrium will be reached when the three genotypes are present in the following proportions. (Quadro 8). [AA] ( 0,5 - Ra). R AV [Aa] = 4. ( 0,5 - Ra) . (0.5 -R A) [aa] ( 0,5 - R A) . Rav b) Formulas are given which permit the determination of genotype frequencies in intermediate generations. 8) Special cases We may say that, in a general way, the diferences (1 -R) in the formulas for populations with randon mating and (0.5 -R) in selfed populations, occupy corresponding positions. a) Heterotic Genes. (Quandro 9 and Fig. 7). RA menor do que 0,5 Ra menor do que 0,5 At equilibrium both genes remain in the populations and the three zygotic genotypes reach standard values, indepenr dent from the initial frequencies. b) In all other cases, i. e. where one or both values of the survival indices are equal or bigger than 0,5, the following situation arises: When the survival values for both ho-mozygotes are equal, equilibrium will be reached when the population contains only these homozygous with identical. When the survival values are different, equilibrium will be reached when only the homozygotes of the genotype whith the higher survival value remain in the population, while the other homozygotes and all heterozygotes have disappeared. 9) The result of variations in the initialgene frequencies (Fig. 8), of sudden changes in survival values (Fig. 9) and of the mode of reproduction (Fig. 10) are discussed in some detail. 10) References to problems of applied genetics. After some general observations on population genetics and applied genetics, two problems were discussed in some detail: a) Homogenization: - Formulas and data (Quadros 11 e 12) are given which show that random mating systeme are very inefficient means to obtain homozigous populations, and that either sslfing or some system of consanguineous matings should always be applied. These tables may also serve to obtain estimates as to the number of inbred generations necessary to obtain certain levels of homozygosis. b) Heterosis may evidently be obtained by the classical method of "inbreeding and outbreeding" or by the establishement of balanced populations containing genes with a heterotic effect, both with regards to their general vigor and productivity, as to their survival values. 11) Considerations on the evolutionary mechanismes. a)The importance of heterotic survival values is discussed, and references are made to a special publication on the subject (Brieger, 1948). b) Recessive lethals and semilethals. It is evident from the discussions that genes of this nature should be eliminated from the populations. But observations in corn, and in Drosophila, leave little doubt that genes such as tassel-seed, barren-stalk, numerous types of defective seeds, etc., are relatively frequent in populations which have not been subjected previously to a scientific selection. In order to explain this discrepancy, new studies are necessary in oder to find out whether survival in homozygotes, are not at the same time heterotic for the survival values. c) Dominant semilethals - It must be expected that these genes are speedily eliminated from the populations, and in fact, they are rare in natural populations. b) Incompatible genes - These genes also should be very rare, except perhaps in the special case where they serve to establish an isolating mechanism.Very Utile is known howewer with respect of them.

Contribuições à teoria da genética em populações

Prof. F. G. Brieger

Secção de Genética da E. S. A. "Luiz de Queiroz"

RESUMO

1) O equilíbrio em populações, inicialmente compostas de vários genotipos depende essencialmente de três fatores: a modalidade de reprodução e a relativa viabilidade e fertilidade dos genotipos, e as freqüências iniciais.

2) Temos que distinguir a) reprodução por cruzamento livre quando qualquer indivíduo da população pode ser cruzado com qualquer outro; b) reprodução por autofecundação, quando cada indivíduo é reproduzido por uma autofecundação; c) finalmente a reprodução mista, isto é, os casos intermediários onde os indivíduos são em parte cruzados, em parte autofecundados.

3) Populações heterozigotas para um par de gens e sem seleção. Em populações com reprodução cruzada se estabelece na primeira geração um equilíbrio entre os três genotipos, segundo a chamada regra de Hardy- Weinberg.

Inicial : AA/u + Aa/v aa/u = 1

Equilibirio (u + v/2)² + u + v/2 ( w + v/2) + (w + v/2)² =

p2 + 2 p_o. q_o. + q²_o = 1

Em populações com autofecundação o equilíbrio será atingido quando estiverem presentes apenas os dois homozigotos, e uma fórmula é dada que permite calcular quantas gerações são necessárias para atingir aproximadamente este resultado.

Finalmente, em populações com reprodução mista, obtemos um equilíbrio com valores intermediários, conforme Quadro 1.

Frequência

Genotipo Inicial mº Geração Final

AA u u + 2^m-1v / 2^m+1 u + 1/2v

Aa v 2/ 2^m+2 v -

aa w w + 2^m - 1/ ^{2m + 1} v w + 1/2 v

4) Os índices de sobrevivencia. Para poder chegar a fórmulas matemáticas simples, é necessário introduzir índices de sobrevivência para medir a viabilidade e fertilidade dos homozigotos, em relação à sobrevivência dos heterozigotos. Designamos a sobrevivência absoluta de cada um dos três genotipos com x, y e z, e teremos então:

x [ A A] : y [ Aa] : z [ aa]

= x/y [ A A] : [ Aa] : z/ y [aa]

= R_A [ AA] : 1 [Aa] : Ra [aa]

É evidente que os índices R poderão ter qualquer valor desde zero, quando haverá uma eliminação completa dos homozigotos, até infinito quando os heterozigotos serão completamente eliminados. Os termos (1 -K) de Haldane e (1 -S) ou W de Wright não têm esta propriedade matemática, podendo variar apenas entre zero e um.

É ainda necessário distinguir índices parciais, de acordo com a marcha da eliminação nas diferentes fases da ontogenia dos indivíduos. Teremos que distinguir em primeiro lugar entre a eliminação durante a fase vegetativa e a eliminação na fase reprodutiva. Estas duas componentes são ligadas pela relação matemática.

R - RV . RR

5) Populações com reprodução cruzada e eliminação. - Considerações gerais.

a) O equilibrio final, independente da freqüência inicial dos genes e dos genotipos para valores da sobrevivência diferentes de um, é atingido quando os gens e os genotipos estão presentes nas proporções seguintes: (Quadro 2).

po / qo = 1- ro / 1-Ra

[AA] (1 - Ro)² . Rav

[ Aa] = 2(1 - Ra) ( 1 - Ra)

[a a} = ( 1 - Ra)² . RaA

b) Fórmulas foram dadas que permitem calcular as freqüências dos genotipos em qualquer geração das populações. Não foi tentado obter fórmulas gerais, por processos de integração, pois trata-se de um processo descontínuo, com saltos de uma e outra geração, e de duração curta.

6) Populações com reprodução cruzada e eliminação. Podemos distinguir os seguintes casos: a) Heterosis - (Quadro 3 e Fig. 1).

Ra < 1; Ra < 1

Inicial : Final :

p (A)/q(a) -> 1-ra/1-ra = positivo/zero = infinito

Os dois gens e assim os três genotipos zigóticos permanecem na população. Quando as freqüências iniciais forem maiores do que as do equilíbrio elas serão diminuidas, e quando forem menores, serão aumentadas.

b) Gens recessivos letais ou semiletais. (Quadro 1 e Fig. 2).

O equilíbrio será atingido quando o gen, que causa a redução da viabilidade dos homozigotos, fôr eliminado da população. . / c) Gens parcialmente dominantes semiletais. (Quadro 5 e Fig. 3).

Rª ; Oz R_a < 1

Inicial : Equilibrio biológico Equilíbrio Matemático

pa(A)/q(a) -> positivo /zero -> 1- Rq/ 1-Ra = positivo/negativo

d) Genes incompatíveis.

R_a > 1 ; _Ra > 1; R_a > R_a

Equílibrio/biológico

p (A)/ q(a) -> positivo/zero Equilibrio matemático

-> positivo/ zero -> zero/negativo -> 1-Ra/1 - Ra = negativo/negativo

Nestes dois casos devemos distinguir entre o significado matemático e biológico. A marcha da eliminação não pode chegar até o equilíbrio matemático quando um dos gens alcança antes a freqüência zero, isto é, desaparece.

Nos três casos teremos sempre uma eliminação relativamente rápida de um dos gens «e com isso do homozigoto respectivo e dos heterozigotòs.

e) Foram discutidos mais dois casos especiais: eliminação reprodutiva diferencial dos dois valores do sexo feminino e masculino, -e gens para competição gametofítica. (Quadros 6 e 7 e Figs. 4 a 6).

7) População com autofecundação e seleção.

O equilíbrio será atingido quando os genotipos estiverem presentes nas seguintes proporções: (Quadro 8);

[AA] ( 0,5 - Ra). R_AV

[Aa] = 4. ( 0,5 - Ra) . (0.5 -R_A)

[aa] ( 0,5 - R_A) . R_av

Também foram dadas fórmulas que permitem calcular as proporções genotípicas em cada geração e a marcha geral da eliminação dos genotipos.

8)Casos especiais. Podemos notar que o termo (0,5 -R) nas fórmulas para as populações autofecundadas ocupa mais ou menos a mesma importância do que o termo (1-R) nas fórmulas para as populações cruzadas.

a) Heterosis. (Quadro 9 e Fig. 7).

Quando RA e Ra têm valores entre 0 e 0,5, obtemos o seguinte resultado:

No equilíbrio ambos os gens estão presentes e os três heterozigotos são mais freqüentes do que os homozigotos.

b) Em todos os demais casos, quando RA e Ra forem iguais ou maiores do que 0,5, o equilíbrio é atingido quando estão representados na população apenas os homozigotos mais viáveis e férteis. (Quadro 10).

9) Foram discutidos os efeitos de alterações dos valores da sobrevivência (Fig. 9), do modo de reprodução (Fig. 10) e das freqüências iniciais dos gens (Fig. 8).

10) Algumas aplicações à genética aplicada.

Depois de uma discussão mais geral, dois problemas principais foram tratados: a) A homogeneização: Ficou demonstrado que a reprodução por cruzamento livre representa um mecanismo muito ineficiente, e que se deve empregar sempre ou a autofecundação ou pelo menos uma reprodução mista com a maior freqüência possível de acasalamentos consanguíneos. Fórmulas e dados (Quadro 11 e 12), permitem a determinação do número de gerações necessárias para obter um grau razoável de homozigotia- b) Heterosis. Existem dois processos, para a obtenção de um alto grau de heterozigotia e com isso de heterosis:

a) O método clássico do "inbreeding and outbreeding".

b) O método novo das populações balançadas, baseado na combinação de gens que quando homozigotos dão urna menor sobrevivência do que quando heterozigotos.

11) Algumas considerações sobre a teoria de evolução:

a) Heterosis. Os gens com efeito "heterótico", isto é, nos casos onde os heterozigotos s&o mais viáveis e férteis, do que os homozigotos, oferecem um mecanismo especial de evolução, pois nestes casos a freqüência dos gens, apesar de seu efeito negativo na fase homozigota, tem a sua freqüência aumentada até que seja atingido o valor do equilíbrio.

b) Gens letais e semiletais recessivos. Foi demonstrado que estes gens devem ser eliminados automáticamente das populações. Porém, ao contrário do esperado, não s&o raros por exemplo em milho e em Drosophila, gens que até hoje foram classificados nesta categoria. Assim, um estudo detalhado torna-se necessário para resolver se os heterozigotos em muitos destes casos não serão de maior sobrevivência do que ambos os homozigotos, isto é, que se trata realmente de genes heteróticos.

c) Gens semiletais parcialmente dominantes. Estes gens serão sempre eliminados nas populações, e de fato eles são encontrados apenas raramente.

d) Gens incompatíveis. São também geralmente eliminados das populações. Apenas em casos especiais eles podem ter importância na evolução, representando um mecanismo de isolamento.

ABSTRACT

1) The equilibrium in populations, initially composed of various genotypes depends essentially from the mode of reproduction the relative viability and fertility of the competing genotypes, and the initial frequencies.

2) We have to distinguish two main types of sexual reproduction: Cross fertilization or random mating where each individual has equal chances to be fertilized by any individual of the population, and Self-fertilization where each individum is automatically selfed. Finally we encounter cases of a mixed reproduction where there is no free intercrossing nor an absolute selfing.

3) Populations, heterozygous for one pair of genes and without selection.

a) In cross fertilized populations equilibrium is reached in acordance with the Hardy-Wéinberg rule, in the first generation:

Inicial : AA /u + Aa /v + aa/u = 1

Equilibrio ( u + v/2)² + 2 ( u + v/2 ) (w + v/2) + ( w + v/2)²= 1

Equilibrio ( u + v/2)² + 2 (u + v/2) ( w + v/2) + ( w + v/2)² =

p_o² + 2. po.qo + q_o² = 1

b) In self fertilized populations equilibrium will be reached thermiticialy by the complete elimination of all heterozigotes, but a, sufficient approach to equilibrium may . be reached quickly:

Frequência

mº Geração Final

AA u + 2^m-1/2^m+1 v u + 1/2 v

Aa 2/ 2^{m + 1} v -

aa w + 2^m-1 / 2^{m +1} v w + 1/2 v

c) In populations with mixed reproduction, the equilibrium depends upon the relative frequencies of crossing and selfing* and the final values for some cases are given in Quadro I.

4) Survival Indices - Mathematical formulas are simplified if we introduce special survival indices for the homozygotes in relation to the survival of the heterozygotes. If we designate the absolve survival values of the three genotypes AA, Aa and aa, by x, y and z. we may give the following mathematical definition:

x [ A A] : y [ Aa] : z [ aa]

= x/y [ A A] : [ Aa] : z/ y [aa]

= R_A [ AA] : 1 [Aa] : Ra [aa]

Thus the value of R can have any value between zero, i. e. complete elimination of homozygotés, and infinite, i. e. complete elimination of heterozygotes. The terms (1 -K) of Haldane and (1 -S) or W of Wright do not have this mathematical property, and may have only values from zero to one

Evidently, in accordance with the nature of the elimina tory process, we shall have to subdivide these indices of total survival R into at least two main components: the survival during the vegetative phase and the survival of gametes during the reproduction phase. These two componentes are united by the following equation

R = RA . RR

5) Populations with random mating and selection.

a) The final equilibrium, which is independent from the Initial gene or genotype frequencies, is reached when the genes and the zygotic genotypes are present in the following proportions: (Quadro 2).

Po/ qo = 1- R_o/ -R_A

[AA] ( 0,5 - Ra). R_AV

[Aa] = 4. ( 0,5 - Ra) . (0.5 -R_A)

[aa] ( 0,5 - R_A)² . R_av

b) Formulas are given which permit the calculus of frequencies in intermediate generations.

6) Discussion of special cases.

a) Heterotic Genes. (Quadro 3 and Fig. 1).

Ra < 1; Ra < 1

Inicial : Final :

p (A)/q(a) -> 1-ra/1-ra = positivo/zero = infinito

At equilibrium both genes remain present in the population, and their frequency will be increased or decreased whenever the initial frequencies were bigger or smaller than the values expected at equilibrium.

b) Letais or semiletal, recessives genes. (Quadro 4 and Fig. 2).

Rª ; Oz R_a < 1

Inicial : Equilibrio biológico Equilíbrio Matemático

pa(A)/q(a) -> positivo /zero -> 1- Rq/ 1-Ra = positivo/negativo

Equilibrium will be reached when the gene which causes the reduction of viability or fertility of homozigotes, is eliminated from the population.

c) Semiletals, and parcially dominant genes. (Quadro 5 and Fig. 3).

Rª ; Oz R_a < 1

Inicial : Equilibrio biológico Equilíbrio Matemático

pa(A)/q(a) -> positivo /zero -> 1- Rq/ 1-Ra = positivo/negativo

d) Incompatible Genes.

R_a > 1 ; _Ra > 1; R_a > R_a

Equílibrio/biológico

p (A)/ q(a) -> positivo/zero Equilibrio matemático

-> positivo/ zero -> zero/negativo -> 1-Ra/1 - Ra = negativo/negativo

In these two cases we have to distinguish between the biological and the mathematical equilibrium. The first will be reached when one of the genes has a frequency equal to zero, While negative values can have a mathematical meaning only. Thus biological equilibrium will be reached with the elimination of the gene which causes a relatively lower viability of the respective homozygotes.

However we must note still one exception in the last case of incompatible genes: When both genes have the same initial frequency and when the respective survival values are also equal and larger than one, both the genes will remain in the population, and the homozygotes will become more frequent than the heterozygotes, thus furnishing an isolating mecha-nisme.

e) Two special cases were discussed in some detail: differential elimination in the two sexes, and gametophite competition. (Quadro 6 e 7 e Pig. 4 a 6).

7) Populations with self-fertilization.

a) Equilibrium will be reached when the three genotypes are present in the following proportions. (Quadro 8).

[AA] ( 0,5 - Ra). R_AV

[Aa] = 4. ( 0,5 - Ra) . (0.5 -R_A)

[aa] ( 0,5 - R_A) . R_av

b) Formulas are given which permit the determination of genotype frequencies in intermediate generations.

8) Special cases

We may say that, in a general way, the diferences (1 -R) in the formulas for populations with randon mating and (0.5 -R) in selfed populations, occupy corresponding positions.

a) Heterotic Genes. (Quandro 9 and Fig. 7).

RA menor do que

0,5 Ra menor do que 0,5

At equilibrium both genes remain in the populations and the three zygotic genotypes reach standard values, indepenr dent from the initial frequencies.

b) In all other cases, i. e. where one or both values of the survival indices are equal or bigger than 0,5, the following situation arises: When the survival values for both ho-mozygotes are equal, equilibrium will be reached when the population contains only these homozygous with identical. When the survival values are different, equilibrium will be reached when only the homozygotes of the genotype whith the higher survival value remain in the population, while the other homozygotes and all heterozygotes have disappeared.

9) The result of variations in the initialgene frequencies (Fig. 8), of sudden changes in survival values (Fig. 9) and of the mode of reproduction (Fig. 10) are discussed in some detail.

10) References to problems of applied genetics.

After some general observations on population genetics and applied genetics, two problems were discussed in some detail:

a) Homogenization: - Formulas and data (Quadros 11 e 12) are given which show that random mating systeme are very inefficient means to obtain homozigous populations, and that either sslfing or some system of consanguineous matings should always be applied. These tables may also serve to obtain estimates as to the number of inbred generations necessary to obtain certain levels of homozygosis.

b) Heterosis may evidently be obtained by the classical method of "inbreeding and outbreeding" or by the establishement of balanced populations containing genes with a heterotic effect, both with regards to their general vigor and productivity, as to their survival values.

11) Considerations on the evolutionary mechanismes.

a)The importance of heterotic survival values is discussed, and references are made to a special publication on the subject (Brieger, 1948).

b) Recessive lethals and semilethals. It is evident from the discussions that genes of this nature should be eliminated from the populations. But observations in corn, and in Drosophila, leave little doubt that genes such as tassel-seed, barren-stalk, numerous types of defective seeds, etc., are relatively frequent in populations which have not been subjected previously to a scientific selection. In order to explain this discrepancy, new studies are necessary in oder to find out whether survival in homozygotes, are not at the same time heterotic for the survival values.

c) Dominant semilethals - It must be expected that these genes are speedily eliminated from the populations, and in fact, they are rare in natural populations.

b) Incompatible genes - These genes also should be very rare, except perhaps in the special case where they serve to establish an isolating mechanism.Very Utile is known howewer with respect of them.

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Recebido para publicação em 2-8-048.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  05 Fev 2013
• Data do Fascículo
  1948