THE UNIT-LOGISTIC DISTRIBUTION: DIFFERENT METHODS OF ESTIMATION

Menezes, André Felipe Berdusco; Mazucheli, Josmar; Dey, Sanku

doi:10.1590/0101-7438.2018.038.03.0555

André Felipe Berdusco Menezes ^**Corresponding author.

Departamento de Estatística, Universidade Estadual de Maringá, 87020-900 Maringá, PR, Brasil. E-mails: andrefelipemaringa@gmail.com; jmazucheli@gmail.com

Josmar Mazucheli

Departamento de Estatística, Universidade Estadual de Maringá, 87020-900 Maringá, PR, Brasil. E-mails: andrefelipemaringa@gmail.com; jmazucheli@gmail.com

Sanku Dey

Department of Statistics, St. Anthony’s College, Shillong, Meghalaya, India. E-mail: sankud66@gmail.com

*Corresponding author.

Acronyms	Expressions
CvM	$w_{n}^{2} = \frac{1}{12 n} + \sum_{i = 1}^{n} {(x_{(i)} - \frac{2 i - 1}{2 n})}^{2}$
AD	$A_{n}^{2} = - n - \frac{1}{n} + \sum_{i = 1}^{n} (2 i - 1) [\log x_{(i)} + \log (1 - x_{(n + 1 - i)})]$
ADR	$R_{n}^{2} = \frac{n}{2} - 2 \sum_{i = 1}^{n} x_{(i)} - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (2 i - 1) \log (1 - x_{(n + 1 - i)})$
AD2R	$r_{n}^{2} = 2 \sum_{i = 1}^{n} \log (1 - x_{(i)}) + \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{2 i - 1}{1 - x_{(n + 1 - i)}}$
AD2L	$l_{n}^{2} = 2 \sum_{i = 1}^{n} \log x_{(i)} + \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{2 i - 1}{x_{(i)}}$
AD2	$a_{n}^{2} = 2 \sum_{i = 1}^{n} [\log x_{(i)} + \log (1 - x_{(i)})] + \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (\frac{2 i - 1}{x_{(i)}} + \frac{2 i - 1}{1 - x_{(n + 1 - i)}})$

n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
20	Bias( $\hat{β}$ )	0.025⁴	-0.038⁵	0.071¹⁰	0.069⁷	0.052⁶	0.077¹¹	0.070⁹	-0.070⁸	-0.009³	0.000¹	0.002²
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.214²	0.216³	0.361¹⁰	0.366¹¹	0.258⁷	0.271⁸	0.226⁵	0.200¹	0.235⁶	0.298⁹	0.223⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	0.108³	0.126⁹	0.088¹	0.167¹¹	0.129¹⁰	0.109⁷	0.107²	0.108⁴	0.109⁶	0.111⁸	0.108⁵
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.642²	0.693¹⁰	0.676⁸	0.722¹¹	0.657⁷	0.645⁶	0.641¹	0.642³	0.644⁴	0.681⁹	0.644⁵
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.098⁸	0.097²	0.098¹¹	0.097³	0.098¹⁰	0.098⁹	0.098⁷	0.097⁵	0.096¹	0.097⁶	0.097⁴
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.222⁷	0.221³	0.223¹¹	0.222⁸	0.222¹⁰	0.222⁵	0.222⁹	0.222⁶	0.220¹	0.220²	0.222⁴
	Total	26³	32⁵	51¹⁰	51¹⁰	50⁹	46⁸	33⁶	27⁴	21¹	35⁷	24²
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
50	Bias( $\hat{β}$ )	0.007⁶	-0.046¹¹	0.001²	-0.001¹	0.016⁷	0.026⁹	0.024⁸	-0.044¹⁰	-0.007⁵	-0.004⁴	0.002³
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.124³	0.143⁷	0.201¹⁰	0.205¹¹	0.142⁶	0.145⁸	0.124²	0.122¹	0.137⁵	0.187⁹	0.127⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	0.046⁶	0.059¹⁰	0.076¹¹	0.046³	0.055⁹	0.047⁸	0.046⁴	0.046⁵	0.047⁷	0.044¹	0.046²
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.398²	0.443⁹	0.460¹¹	0.455¹⁰	0.405⁷	0.400⁶	0.398¹	0.398³	0.400⁵	0.432⁸	0.399⁴
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.062²	0.062⁶	0.062¹⁰	0.062¹¹	0.062³	0.062⁷	0.062⁴	0.061¹	0.062⁹	0.062⁸	0.062⁵
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.152²	0.152¹	0.153⁹	0.153¹¹	0.152³	0.152⁸	0.152⁵	0.152⁴	0.152⁷	0.153¹⁰	0.152⁶
	Total	21¹	44⁸	53¹¹	47¹⁰	35⁵	46⁹	24²	24²	38⁶	40⁷	24²
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
100	Bias( $\hat{β}$ )	0.003³	-0.039¹¹	-0.013⁹	-0.012⁶	0.008⁵	0.012⁷	0.012⁸	-0.027¹⁰	-0.004⁴	-0.003²	0.002¹
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.087³	0.109⁸	0.148¹⁰	0.152¹¹	0.098⁶	0.099⁷	0.086¹	0.086²	0.096⁵	0.132⁹	0.088⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	0.026⁴	0.032¹⁰	0.067¹¹	0.009¹	0.030⁹	0.026⁸	0.026⁶	0.026⁵	0.026⁷	0.025²	0.025³
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.277²	0.309⁹	0.348¹¹	0.327¹⁰	0.281⁷	0.279⁶	0.277¹	0.277³	0.279⁵	0.302⁸	0.277⁴
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.044³	0.044⁶	0.044⁴	0.044⁸	0.044¹⁰	0.044¹¹	0.044⁷	0.043¹	0.044⁹	0.044²	0.044⁵
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.111¹	0.112³	0.112⁷	0.112⁶	0.113¹⁰	0.113¹¹	0.112⁵	0.112²	0.112⁹	0.112⁴	0.112⁸
	Total	16¹	47⁸	52¹¹	42⁷	47⁸	50¹⁰	28⁵	23²	39⁶	27⁴	25³
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
200	Bias( $\hat{β}$ )	0.001¹	-0.032¹¹	-0.016⁸	-0.020¹⁰	0.003³	0.005⁶	0.005⁷	-0.017⁹	-0.003⁴	-0.003⁵	0.001²
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.061³	0.083⁸	0.113¹⁰	0.113¹¹	0.068⁷	0.067⁶	0.059¹	0.060²	0.066⁵	0.092⁹	0.061⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	0.012⁵	0.018¹⁰	0.054¹¹	-0.017⁹	0.014⁸	0.012²	0.012⁴	0.012⁶	0.012³	0.010¹	0.012⁷
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.198²	0.224⁹	0.263¹¹	0.241¹⁰	0.199⁷	0.198⁶	0.198¹	0.198⁴	0.198⁵	0.214⁸	0.198³
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.031²	0.031⁴	0.031¹¹	0.031³	0.031¹	0.031¹⁰	0.031⁷	0.031⁸	0.031⁵	0.031⁹	0.031⁶
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.081²	0.081¹	0.082⁸	0.082³	0.082⁶	0.082¹⁰	0.082⁵	0.082¹¹	0.082⁴	0.082⁹	0.082⁷
	Total	15¹	43⁹	59¹¹	46¹⁰	32⁵	40⁶	25²	40⁶	26³	41⁸	29⁴
	Overall Total	6¹	30⁸	43¹¹	37¹⁰	27⁷	33⁹	15⁴	14³	16⁵	26⁶	11²

n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
20	Bias( $\hat{β}$ )	0.027³	-0.044⁴	0.049⁵	0.060⁷	0.056⁶	0.070¹⁰	0.067⁹	-0.071¹¹	-0.004²	-0.061⁸	0.001¹
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.216²	0.218³	0.333¹⁰	0.340¹¹	0.256⁸	0.260⁹	0.221⁵	0.202¹	0.236⁷	0.234⁶	0.220⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	0.011⁷	0.011⁹	0.002²	0.021¹¹	0.013¹⁰	0.007³	0.009⁴	0.009⁵	0.010⁶	0.001¹	0.011⁸
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.160⁸	0.168¹⁰	0.168⁹	0.174¹¹	0.158⁴	0.158³	0.159⁷	0.157¹	0.158²	0.159⁶	0.158⁵
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.097³	0.097⁶	0.097⁷	0.097⁵	0.098⁸	0.097²	0.097⁴	0.098¹¹	0.098⁹	0.097¹	0.098¹⁰
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.222⁵	0.222⁸	0.222⁶	0.221⁴	0.221²	0.221³	0.222⁷	0.223¹¹	0.222¹⁰	0.220¹	0.222⁹
	Total	28²	40⁹	39⁸	49¹¹	38⁷	30³	36⁴	40⁹	36⁴	23¹	37⁶
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
50	Bias( $\hat{β}$ )	0.008⁵	-0.045¹¹	-0.003¹	0.003²	0.019⁶	0.026⁷	0.028⁸	-0.041¹⁰	-0.003³	-0.039⁹	0.004⁴
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.127²	0.145⁷	0.210¹⁰	0.210¹¹	0.143⁶	0.146⁸	0.130³	0.126¹	0.141⁵	0.151⁹	0.130⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	0.004⁸	0.005⁹	0.008¹¹	0.002²	0.006¹⁰	0.001¹	0.003⁴	0.003⁵	0.004⁷	-0.002³	0.004⁶
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.099⁶	0.107⁹	0.115¹¹	0.113¹⁰	0.100⁷	0.099⁵	0.098³	0.098²	0.098⁴	0.100⁸	0.098¹
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.062⁸	0.062⁶	0.062⁷	0.062⁵	0.062³	0.063¹⁰	0.062¹	0.062⁹	0.063¹¹	0.062²	0.062⁴
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.153⁶	0.153⁵	0.153¹⁰	0.153⁷	0.152³	0.153⁹	0.152¹	0.153⁸	0.154¹¹	0.152²	0.153⁴
	Total	35⁴	47¹⁰	50¹¹	37⁷	35⁴	40⁸	20¹	35⁴	41⁹	33³	23²
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
100	Bias( $\hat{β}$ )	0.005³	-0.040¹¹	-0.017⁸	-0.014⁷	0.009⁴	0.012⁵	0.014⁶	-0.026¹⁰	-0.002¹	-0.024⁹	0.004²
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.089³	0.109⁹	0.151¹¹	0.151¹⁰	0.099⁷	0.097⁶	0.087²	0.086¹	0.097⁵	0.107⁸	0.090⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	0.003⁹	0.002⁷	0.011¹¹	-0.005¹⁰	0.001⁶	0.000¹	0.001⁴	0.001³	0.001²	-0.001⁵	0.002⁸
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.069²	0.076⁹	0.085¹¹	0.084¹⁰	0.070⁷	0.070⁴	0.070⁵	0.070³	0.070⁶	0.071⁸	0.069¹
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.044¹¹	0.044²	0.044⁵	0.044¹⁰	0.044¹	0.044⁸	0.044⁹	0.044⁷	0.044³	0.044⁴	0.044⁶
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.113¹¹	0.112³	0.112⁴	0.113¹⁰	0.112¹	0.113⁸	0.113⁹	0.113⁶	0.112²	0.113⁵	0.113⁷
	Total	39⁷	41⁹	50¹⁰	57¹¹	26²	32⁵	35⁶	30⁴	19¹	39⁷	28³
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
200	Bias( $\hat{β}$ )	0.002²	-0.033¹¹	-0.020¹⁰	-0.017⁹	0.005⁴	0.007⁶	0.007⁵	-0.015⁸	-0.001¹	-0.014⁷	0.003³
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.062³	0.082⁹	0.113¹¹	0.111¹⁰	0.069⁷	0.069⁶	0.060¹	0.060²	0.068⁵	0.076⁸	0.062⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	0.000⁵	0.001⁹	0.011¹¹	-0.007¹⁰	0.001⁸	0.000⁴	-0.000³	0.000²	0.000¹	-0.001⁶	0.001⁷
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.049²	0.054⁹	0.064¹¹	0.061¹⁰	0.050⁷	0.050³	0.050⁵	0.050⁴	0.050⁶	0.050⁸	0.049¹
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.031³	0.031⁵	0.031⁷	0.031⁸	0.031⁶	0.031²	0.032¹⁰	0.031⁹	0.032¹¹	0.031¹	0.031⁴
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.082⁶	0.082⁸	0.082⁵	0.082⁹	0.082³	0.081¹	0.082¹⁰	0.082⁷	0.083¹¹	0.081²	0.082⁴
	Total	21¹	51⁹	55¹⁰	56¹¹	35⁷	22²	34⁶	32⁴	35⁷	32⁴	23³
	Overall Total	14¹	37⁹	39¹⁰	40¹¹	20⁶	18⁵	17⁴	21⁷	21⁷	15³	14¹

n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
20	Bias( $\hat{β}$ )	0.028⁴	-0.046⁵	0.075¹⁰	0.072⁸	0.054⁶	0.079¹¹	0.072⁷	-0.072⁹	-0.004²	-0.007³	0.003¹
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.213²	0.214³	0.369¹¹	0.368¹⁰	0.256⁷	0.270⁸	0.228⁵	0.197¹	0.240⁶	0.302⁹	0.228⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	-0.029²	-0.036¹⁰	-0.049¹¹	-0.031⁶	-0.026¹	-0.030³	-0.031⁵	-0.035⁹	-0.032⁸	-0.030⁴	-0.032⁷
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.160¹	0.178¹⁰	0.186¹¹	0.174⁸	0.162²	0.162³	0.163⁴	0.166⁷	0.165⁶	0.174⁹	0.163⁵
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.096²	0.097⁸	0.097⁷	0.097³	0.098¹⁰	0.097⁶	0.097⁵	0.096¹	0.098¹¹	0.098⁹	0.097⁴
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.220²	0.222⁸	0.221⁵	0.220¹	0.223¹⁰	0.222⁷	0.221⁶	0.220³	0.223¹¹	0.222⁹	0.220⁴
	Total	13¹	44⁹	55¹¹	36⁵	36⁵	38⁷	32⁴	30³	44⁹	43⁸	25²
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
50	Bias( $\hat{β}$ )	0.011⁶	-0.047¹¹	0.011⁵	0.004²	0.021⁷	0.030⁹	0.029⁸	-0.044¹⁰	-0.004³	0.001¹	0.006⁴
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.128²	0.146⁷	0.213¹¹	0.208¹⁰	0.143⁶	0.148⁸	0.129³	0.122¹	0.138⁵	0.188⁹	0.132⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	-0.012²	-0.015⁶	-0.017¹⁰	-0.024¹¹	-0.012¹	-0.012⁴	-0.012³	-0.015⁸	-0.015⁷	-0.016⁹	-0.013⁵
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.100¹	0.111⁹	0.114¹⁰	0.122¹¹	0.102⁵	0.101⁴	0.100³	0.103⁷	0.103⁶	0.111⁸	0.100²
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.062³	0.062²	0.062¹	0.062⁴	0.062¹⁰	0.062⁹	0.062⁵	0.062⁸	0.063¹¹	0.062⁶	0.062⁷
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.153⁹	0.152¹	0.152²	0.153⁷	0.153⁶	0.153⁴	0.152³	0.153⁵	0.154¹¹	0.153⁸	0.153¹⁰
	Total	23¹	36⁵	39⁷	45¹¹	35⁴	38⁶	25²	39⁷	43¹⁰	41⁹	32³
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	W LS
100	Bias( $\hat{β}$ )	0.005⁴	-0.041¹¹	-0.012⁷	-0.011⁶	0.008⁵	0.014⁹	0.013⁸	-0.027¹⁰	-0.002²	0.00¹¹	0.004³
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.088³	0.110⁸	0.152¹¹	0.150¹⁰	0.099⁶	0.099⁷	0.085¹	0.086²	0.095⁵	0.132⁹	0.089⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	-0.006³	-0.008¹⁰	-0.004¹	-0.016¹¹	-0.006²	-0.007⁴	-0.007⁶	-0.008⁸	-0.007⁷	-0.008⁹	-0.007⁵
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.072⁵	0.078⁸	0.084¹⁰	0.088¹¹	0.071³	0.072⁷	0.072⁶	0.070¹	0.071²	0.079⁹	0.071⁴
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.044⁷	0.044⁴	0.044⁹	0.044⁶	0.044¹	0.044¹⁰	0.044⁵	0.044³	0.044²	0.044¹¹	0.044⁸
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.112⁶	0.112⁴	0.112⁸	0.113¹⁰	0.112¹	0.113¹¹	0.112²	0.112⁵	0.112³	0.113⁹	0.112⁷
	Total	28³	45⁷	46⁸	54¹¹	18¹	48⁹	28³	29⁵	21²	48⁹	31⁶
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
200	Bias( $\hat{β}$ )	0.002²	-0.033¹¹	-0.019¹⁰	-0.016⁸	0.004⁵	0.007⁷	0.006⁶	-0.017⁹	-0.00¹¹	0.002³	0.003⁴
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.061³	0.083⁸	0.114¹¹	0.113¹⁰	0.068⁶	0.068⁷	0.059¹	0.060²	0.068⁵	0.094⁹	0.062⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	-0.004⁴	-0.005¹⁰	0.003¹	-0.014¹¹	-0.004²	-0.004⁷	-0.004⁵	-0.005⁹	-0.004⁸	-0.004³	-0.004⁶
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.049¹	0.056⁹	0.061¹⁰	0.065¹¹	0.050⁴	0.049³	0.049²	0.050⁷	0.050⁵	0.055⁸	0.050⁶
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.031²	0.031⁸	0.031⁹	0.031³	0.031⁵	0.031⁶	0.031¹⁰	0.031⁴	0.031⁷	0.032¹¹	0.031¹
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.081²	0.082⁷	0.082⁹	0.082⁴	0.082⁵	0.082⁸	0.082¹⁰	0.082³	0.082⁶	0.082¹¹	0.081¹
	Total	14¹	53¹¹	50¹⁰	47⁹	27³	38⁷	34⁵	34⁵	32⁴	45⁸	22²
	Overall Total	6¹	32⁸	36¹⁰	36¹⁰	13²	29⁷	14⁴	20⁵	25⁶	34⁹	13²

n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
20	Bias( $\hat{β}$ )	0.026³	-0.040⁴	0.055⁶	0.065⁸	0.049⁵	0.074¹¹	0.069⁹	-0.071¹⁰	-0.008²	-0.064⁷	0.007¹
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.214²	0.216³	0.332¹⁰	0.337¹¹	0.252⁸	0.263⁹	0.224⁴	0.197¹	0.236⁷	0.234⁶	0.227⁵
	Bias( $\hat{μ}$ )	-0.002⁷	-0.002⁶	-0.005¹¹	0.000²	-0.001³	-0.003⁹	-0.002⁸	-0.002⁴	-0.003¹⁰	-0.000¹	-0.002⁵
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.039⁴	0.042¹⁰	0.043¹¹	0.041⁹	0.040⁵	0.039²	0.039³	0.039¹	0.040⁶	0.040⁸	0.040⁷
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.097⁸	0.097⁴	0.097⁷	0.096²	0.099¹⁰	0.097³	0.098⁹	0.097⁶	0.097⁵	0.096¹	0.099¹¹
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.221⁷	0.220³	0.221⁸	0.219¹	0.223¹⁰	0.221⁶	0.222⁹	0.221⁵	0.221⁴	0.220²	0.224¹¹
	Total	31⁴	30³	53¹¹	33⁵	41⁹	40⁷	42¹⁰	27²	34⁶	25¹	40⁷
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
50	Bias( $\hat{β}$ )	0.012⁵	-0.046¹¹	0.003²	0.002¹	0.020⁶	0.031⁸	0.025⁷	-0.044¹⁰	-0.006⁴	-0.039⁹	0.006³
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.129³	0.149⁷	0.205¹⁰	0.205¹¹	0.146⁶	0.150⁹	0.128²	0.125¹	0.140⁵	0.149⁸	0.132⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	-0.001⁵	-0.001⁴	-0.000²	-0.002¹¹	-0.001⁶	-0.001⁹	-0.001⁸	-0.001³	-0.001⁷	0.000¹	-0.001¹⁰
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.025³	0.027⁹	0.028¹⁰	0.028¹¹	0.025⁷	0.024²	0.025⁵	0.024¹	0.025⁶	0.025⁸	0.025⁴
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.062¹	0.063¹⁰	0.062³	0.062⁴	0.063¹¹	0.062⁸	0.062⁵	0.062⁷	0.062⁹	0.062⁶	0.062²
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.152¹	0.154¹¹	0.152⁴	0.152³	0.153¹⁰	0.152⁵	0.153⁸	0.153⁷	0.153⁹	0.152⁶	0.152²
	Total	18¹	52¹¹	31⁴	41⁸	46¹⁰	41⁸	35⁵	29³	40⁷	38⁶	25²
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
100	Bias( $\hat{β}$ )	0.006³	-0.038¹¹	-0.011⁵	-0.011⁶	0.011⁴	0.015⁸	0.012⁷	-0.026¹⁰	-0.003²	-0.024⁹	0.003¹
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.089³	0.111⁹	0.152¹¹	0.149¹⁰	0.101⁶	0.102⁷	0.086¹	0.086²	0.097⁵	0.108⁸	0.090⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	-0.000³	-0.000⁷	0.001¹⁰	-0.003¹¹	-0.000¹	-0.000⁴	-0.000⁶	-0.000²	-0.000⁵	0.001⁸	-0.001⁹
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.017¹	0.019⁹	0.021¹⁰	0.021¹¹	0.017⁶	0.017⁴	0.017⁵	0.017²	0.017⁷	0.018⁸	0.017³
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.044¹	0.044¹⁰	0.044⁸	0.044²	0.044⁹	0.044⁴	0.044³	0.044⁶	0.044⁷	0.044⁵	0.045¹¹
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.113³	0.113⁸	0.113⁷	0.112¹	0.113¹⁰	0.112²	0.113⁴	0.113⁶	0.113⁹	0.113⁵	0.114¹¹
	Total	14¹	54¹¹	51¹⁰	41⁸	36⁶	29⁴	26²	28³	35⁵	43⁹	39⁷
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
200	Bias( $\hat{β}$ )	0.002²	-0.031¹¹	-0.015⁸	-0.015¹⁰	0.006⁴	0.007⁶	0.006⁵	-0.015⁹	-0.002¹	-0.014⁷	0.003³
	RMSE( $\hat{β}$ )	0.063³	0.082⁹	0.114¹¹	0.112¹⁰	0.070⁷	0.070⁶	0.060¹	0.060²	0.068⁵	0.077⁸	0.063⁴
	Bias( $\hat{μ}$ )	-0.000³	-0.000⁴	0.002¹⁰	-0.003¹¹	-0.000²	-0.000⁸	-0.000⁶	-0.000¹	-0.000⁵	0.000⁹	-0.000⁷
	RMSE( $\hat{μ}$ )	0.012¹	0.014⁹	0.015¹⁰	0.016¹¹	0.012⁷	0.012⁴	0.012³	0.012²	0.012⁵	0.012⁶	0.012⁸
	${\hat{D}}_{a b s}$	0.031⁹	0.031⁴	0.031¹¹	0.031⁶	0.031⁸	0.031⁷	0.031¹	0.031²	0.031¹⁰	0.031⁵	0.031³
	${\hat{D}}_{m a x}$	0.082¹⁰	0.081⁴	0.082¹¹	0.082⁶	0.082⁹	0.081²	0.081³	0.082⁸	0.081⁵	0.081¹	0.082⁷
	Total	28⁴	41⁹	61¹¹	54¹⁰	36⁷	27³	20¹	32⁵	26²	34⁶	37⁸
	Overall Total	10¹	34¹⁰	36¹¹	31⁸	32⁹	22⁵	18³	13²	20⁴	22⁵	24⁷

Scenario	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
(μ = 0.2, β = 0.5)	6¹	30⁸	43¹¹	37¹⁰	27⁷	33⁹	15⁴	14³	16⁵	26⁶	11²
(μ = 0.2, β = 1.5)	19³	39¹⁰	40¹¹	31⁸	19³	31⁸	19³	20⁷	13²	19³	9¹
(μ = 0.2, β = 2.0)	14¹	37⁹	39¹⁰	40¹¹	20⁶	18⁵	17⁴	21⁷	21⁷	15³	14¹
(μ = 0.4, β = 0.5)	9¹	32⁹	40¹⁰	41¹¹	23⁶	26⁷	12³	10²	18⁵	28⁸	17⁴
(μ = 0.4, β = 1.5)	12²	32⁹	41¹¹	39¹⁰	29⁸	27⁷	13³	20⁵	21⁶	13³	11¹
(μ = 0.4, β = 2.0)	23⁶	28⁷	42¹¹	32⁹	32⁹	19⁵	17⁴	29⁸	6¹	11²	15³
(μ = 0.6, β = 0.5)	18⁵	31⁹	35¹⁰	39¹¹	23⁷	17⁴	20⁶	16³	14²	28⁸	13¹
(μ = 0.6, β = 1.5)	25⁷	36⁹	38¹⁰	38¹⁰	11²	34⁸	23⁶	12³	10¹	13⁴	20⁵
(μ = 0.6, β = 2.0)	8¹	36¹⁰	35⁹	40¹¹	25⁶	26⁷	15³	16⁴	22⁵	26⁷	12²
(μ = 0.8, β = 0.5)	6¹	32⁸	36¹⁰	36¹⁰	13²	29⁷	14⁴	20⁵	25⁶	34⁹	13²
(μ = 0.8, β = 1.5)	9¹	36¹⁰	33⁹	39¹¹	15³	19⁵	14²	27⁷	18⁴	29⁸	19⁵
(μ = 0.8, β = 2.0)	10¹	34¹⁰	36¹¹	31⁸	32⁹	22⁵	18³	13²	20⁴	22⁵	24⁷
Total	159¹	403⁹	458¹¹	443¹⁰	269⁷	301⁸	197³	218⁵	204⁴	264⁶	178²

n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
20	CP( $\hat{β}$ )	0.944⁵	0.909⁸	0.946³	0.944⁴	0.929⁷	0.909⁹	0.903¹⁰	0.855¹¹	0.951²	0.958⁶	0.951¹
	CP( $\hat{μ}$ )	0.949²	0.962⁸	0.932¹⁰	0.923¹¹	0.939⁷	0.940⁶	0.941⁵	0.962⁹	0.952³	0.959⁴	0.951¹
	AW( $\hat{β}$ )	0.421³	0.398²	0.727¹⁰	0.729¹¹	0.510⁷	0.543⁸	0.444⁵	0.335¹	0.450⁶	0.589⁹	0.433⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.464³	0.521¹¹	0.482⁶	0.517⁹	0.468⁴	0.451²	0.445¹	0.505⁸	0.483⁷	0.520¹⁰	0.476⁵
	Total	13²	29⁷	29⁷	35¹¹	25⁵	25⁵	21⁴	29⁷	18³	29⁷	11¹
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
50	CP( $\hat{β}$ )	0.949²	0.864¹¹	0.949⁴	0.946⁷	0.946⁶	0.938⁸	0.934⁹	0.878¹⁰	0.949³	0.947⁵	0.950¹
	CP( $\hat{μ}$ )	0.945⁷	0.962¹¹	0.950²	0.946⁵	0.943¹⁰	0.944⁸	0.946⁶	0.956⁹	0.948³	0.950¹	0.947⁴
	AW( $\hat{β}$ )	0.249³	0.259⁵	0.407¹¹	0.406¹⁰	0.285⁷	0.290⁸	0.248²	0.217¹	0.271⁶	0.368⁹	0.255⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.306³	0.354¹⁰	0.370¹¹	0.348⁹	0.309⁵	0.303²	0.300¹	0.321⁷	0.312⁶	0.336⁸	0.307⁴
	Total	15²	37¹¹	28⁸	31¹⁰	28⁸	26⁶	18³	27⁷	18³	23⁵	13¹
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
100	CP( $\hat{β}$ )	0.951³	0.847¹¹	0.935⁸	0.930⁹	0.945⁵	0.945⁶	0.940⁷	0.896¹⁰	0.950²	0.952⁴	0.950¹
	CP( $\hat{μ}$ )	0.948³	0.963¹¹	0.960¹⁰	0.956⁹	0.949²	0.947⁵	0.947⁵	0.953⁷	0.951¹	0.954⁸	0.948⁴
	AW( $\hat{β}$ )	0.173³	0.194⁶	0.292¹⁰	0.292¹¹	0.195⁷	0.195⁸	0.169²	0.157¹	0.189⁵	0.259⁹	0.175⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.217³	0.252⁹	0.286¹¹	0.253¹⁰	0.220⁵	0.217²	0.215¹	0.224⁷	0.221⁶	0.238⁸	0.218⁴
	Total	12¹	37⁹	39¹⁰	39¹⁰	19⁵	21⁶	15⁴	25⁷	14³	29⁸	13²
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
200	CP( $\hat{β}$ )	0.957⁷	0.829¹¹	0.927⁸	0.910¹⁰	0.954⁴	0.953²	0.950¹	0.913⁹	0.955⁶	0.955⁵	0.953²
	CP( $\hat{μ}$ )	0.945⁹	0.952⁴	0.950¹	0.948⁵	0.948⁵	0.945¹⁰	0.946⁸	0.948³	0.947⁷	0.949²	0.944¹¹
	AW( $\hat{β}$ )	0.121³	0.145⁸	0.215¹¹	0.215¹⁰	0.135⁷	0.135⁶	0.117²	0.112¹	0.133⁵	0.183⁹	0.122⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.154²	0.178⁹	0.215¹¹	0.186¹⁰	0.155⁵	0.154⁴	0.153¹	0.156⁷	0.155⁶	0.168⁸	0.154³
	Total	21⁴	32¹⁰	31⁹	35¹¹	21⁴	22⁶	12¹	20²	24⁷	24⁷	20²
	Overall Total	9²	37¹⁰	34⁹	42¹¹	22⁵	23⁶	12³	23⁶	16⁴	27⁸	6¹

n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
20	CP( $\hat{β}$ )	0.939⁵	0.905⁸	0.958⁴	0.949¹	0.934⁶	0.915⁷	0.905⁹	0.857¹¹	0.947²	0.901¹⁰	0.955³
	CP( $\hat{μ}$ )	0.940⁵	0.961⁶	0.935⁹	0.921¹¹	0.933¹⁰	0.940⁴	0.935⁸	0.960³	0.948¹	0.962⁷	0.947²
	AW( $\hat{β}$ )	1.671⁴	1.575²	2.493¹⁰	2.506¹¹	1.968⁸	2.041⁹	1.743⁶	1.337¹	1.773⁷	1.627³	1.705⁵
	AW( $\hat{μ}$ )	0.124⁴	0.144¹¹	0.138⁸	0.139⁹	0.123³	0.121²	0.119¹	0.137⁷	0.130⁶	0.143¹⁰	0.128⁵
	Total	18³	27⁷	31¹⁰	32¹¹	27⁷	22⁴	24⁶	22⁴	16²	30⁹	15¹
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
50	CP( $\hat{β}$ )	0.946²	0.865¹¹	0.940⁶	0.945⁵	0.946³	0.938⁷	0.923⁸	0.876¹⁰	0.946³	0.909⁹	0.949¹
	CP( $\hat{μ}$ )	0.945⁷	0.965¹¹	0.954⁶	0.948²	0.945⁸	0.945⁹	0.948³	0.956¹⁰	0.953⁵	0.953⁴	0.951¹
	AW( $\hat{β}$ )	0.999³	1.037⁵	1.612¹⁰	1.624¹¹	1.144⁸	1.162⁹	0.997²	0.870¹	1.085⁷	1.082⁶	1.022⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.077³	0.090⁹	0.094¹¹	0.091¹⁰	0.078⁴	0.077²	0.076¹	0.081⁷	0.079⁶	0.084⁸	0.078⁵
	Total	15³	36¹¹	33¹⁰	28⁸	23⁵	27⁶	14²	28⁸	21⁴	27⁶	11¹
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
100	CP( $\hat{β}$ )	0.947⁴	0.844¹¹	0.930⁷	0.926⁹	0.947⁴	0.950¹	0.937⁶	0.897¹⁰	0.950¹	0.927⁸	0.949³
	CP( $\hat{μ}$ )	0.945⁸	0.965¹¹	0.955⁹	0.953⁶	0.949¹	0.948⁴	0.944¹⁰	0.952³	0.952⁵	0.954⁷	0.948²
	AW( $\hat{β}$ )	0.693³	0.775⁶	1.162¹⁰	1.167¹¹	0.781⁷	0.782⁸	0.678²	0.627¹	0.756⁵	0.792⁹	0.703⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.054³	0.063⁹	0.070¹¹	0.067¹⁰	0.055⁵	0.054²	0.054¹	0.056⁷	0.055⁶	0.058⁸	0.054⁴
	Total	18⁵	37¹⁰	37¹⁰	36⁹	17³	15²	19⁶	21⁷	17³	32⁸	13¹
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
200	CP( $\hat{β}$ )	0.954⁵	0.829¹¹	0.927⁸	0.915¹⁰	0.948⁴	0.948³	0.945⁶	0.918⁹	0.950¹	0.936⁷	0.949²
	CP( $\hat{μ}$ )	0.944⁷	0.961¹⁰	0.947⁴	0.950¹	0.944⁸	0.942⁹	0.938¹¹	0.950²	0.946⁶	0.951³	0.947⁵
	AW( $\hat{β}$ )	0.485³	0.580⁹	0.859¹⁰	0.861¹¹	0.542⁷	0.541⁶	0.471²	0.450¹	0.531⁵	0.575⁸	0.490⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.038³	0.044⁹	0.051¹¹	0.049¹⁰	0.039⁵	0.038⁴	0.038¹	0.039⁷	0.039⁶	0.040⁸	0.038²
	Total	18²	39¹¹	33¹⁰	32⁹	24⁷	22⁶	20⁵	19⁴	18²	26⁸	13¹
	Overall Total	13³	39¹⁰	40¹¹	37⁹	22⁶	18⁴	19⁵	23⁷	11²	31⁸	4¹

n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
20	CP( $\hat{β}$ )	0.944⁵	0.907⁸	0.942⁶	0.946⁴	0.935⁷	0.906⁹	0.901¹⁰	0.859¹¹	0.953³	0.952¹	0.948²
	CP( $\hat{μ}$ )	0.946²	0.958⁵	0.925¹⁰	0.921¹¹	0.927⁹	0.939⁶	0.936⁸	0.962⁷	0.944⁴	0.944³	0.949¹
	AW( $\hat{β}$ )	0.423³	0.395²	0.735¹¹	0.731¹⁰	0.511⁷	0.544⁸	0.444⁵	0.334¹	0.452⁶	0.594⁹	0.434⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.465⁴	0.527¹¹	0.520⁹	0.490⁷	0.455³	0.452²	0.447¹	0.511⁸	0.485⁶	0.525¹⁰	0.479⁵
	Total	14²	26⁷	36¹¹	32¹⁰	26⁷	25⁶	24⁵	27⁹	19³	23⁴	12¹
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
50	CP( $\hat{β}$ )	0.946³	0.864¹¹	0.944⁶	0.941⁷	0.946⁴	0.930⁸	0.923⁹	0.877¹⁰	0.953²	0.951¹	0.946⁴
	CP( $\hat{μ}$ )	0.945⁷	0.958¹⁰	0.953⁵	0.949²	0.941¹¹	0.945⁹	0.945⁶	0.955⁸	0.947⁴	0.947³	0.950¹
	AW( $\hat{β}$ )	0.250³	0.258⁵	0.411¹¹	0.408¹⁰	0.286⁷	0.291⁸	0.249²	0.216¹	0.271⁶	0.370⁹	0.256⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.305⁴	0.354¹⁰	0.349⁹	0.371¹¹	0.303³	0.302²	0.300¹	0.323⁷	0.313⁶	0.338⁸	0.307⁵
	Total	17²	36¹¹	31¹⁰	30⁹	25⁶	27⁸	18³	26⁷	18³	21⁵	14¹
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
100	CP( $\hat{β}$ )	0.949²	0.841¹¹	0.931⁹	0.936⁸	0.951¹	0.945⁵	0.942⁷	0.895¹⁰	0.953⁴	0.957⁶	0.948³
	CP( $\hat{μ}$ )	0.943⁹	0.961¹¹	0.953³	0.954⁴	0.944⁶	0.941¹⁰	0.944⁸	0.956⁶	0.949¹	0.945⁵	0.949²
	AW( $\hat{β}$ )	0.173³	0.193⁶	0.292¹⁰	0.292¹¹	0.195⁷	0.196⁸	0.169²	0.157¹	0.189⁵	0.260⁹	0.176⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.217³	0.253⁹	0.254¹⁰	0.285¹¹	0.217⁵	0.217²	0.215¹	0.225⁷	0.221⁶	0.238⁸	0.217⁴
	Total	17³	37¹¹	32⁹	34¹⁰	19⁵	25⁷	18⁴	24⁶	16²	28⁸	13¹
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
200	CP( $\hat{β}$ )	0.953⁶	0.828¹¹	0.925⁸	0.914¹⁰	0.947⁵	0.947⁴	0.949²	0.914⁹	0.954⁷	0.948³	0.950¹
	CP( $\hat{μ}$ )	0.948²	0.956¹⁰	0.946⁹	0.958¹¹	0.948⁵	0.949¹	0.946⁸	0.952⁴	0.953⁷	0.948³	0.947⁶
	AW( $\hat{β}$ )	0.121³	0.145⁸	0.215¹⁰	0.215¹¹	0.135⁷	0.135⁶	0.117²	0.112¹	0.133⁵	0.183⁹	0.122⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.154³	0.178⁹	0.186¹⁰	0.215¹¹	0.155⁵	0.154⁴	0.153¹	0.157⁷	0.155⁶	0.167⁸	0.154²
	Total	14³	38¹⁰	37⁹	43¹¹	22⁶	15⁴	13¹	21⁵	25⁸	23⁷	13¹
	Overall Total	10²	39⁹	39⁹	40¹¹	24⁵	25⁷	13³	27⁸	16⁴	24⁵	4¹

n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
20	CP( $\hat{β}$ )	0.944⁵	0.907⁸	0.953³	0.953²	0.935⁶	0.908⁷	0.903⁹	0.867¹¹	0.95¹¹	0.901¹⁰	0.946⁴
	CP( $\hat{μ}$ )	0.944⁴	0.963⁷	0.931¹⁰	0.919¹¹	0.932⁹	0.942⁵	0.940⁶	0.964⁸	0.950¹	0.955³	0.946²
	AW( $\hat{β}$ )	1.670⁴	1.584²	2.505¹⁰	2.513¹¹	1.958⁸	2.047⁹	1.746⁶	1.339¹	1.767⁷	1.622³	1.711⁵
	AW( $\hat{μ}$ )	0.124⁴	0.144¹¹	0.139⁹	0.136⁷	0.123³	0.121²	0.119¹	0.136⁸	0.130⁶	0.143¹⁰	0.127⁵
	Total	17³	28⁸	32¹¹	31¹⁰	26⁶	23⁵	22⁴	28⁸	15¹	26⁶	16²
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
50	CP( $\hat{β}$ )	0.943⁴	0.858¹¹	0.946²	0.942⁵	0.939⁶	0.928⁷	0.927⁸	0.873¹⁰	0.947¹	0.912⁹	0.944³
	CP( $\hat{μ}$ )	0.945⁵	0.960¹¹	0.951¹	0.949²	0.943⁹	0.945⁷	0.941¹⁰	0.957⁸	0.946⁴	0.955⁶	0.948³
	AW( $\hat{β}$ )	1.002³	1.036⁵	1.625¹¹	1.623¹⁰	1.145⁸	1.167⁹	0.995²	0.866¹	1.082⁷	1.082⁶	1.023⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.077³	0.090⁹	0.090¹⁰	0.093¹¹	0.077⁴	0.076²	0.076¹	0.081⁷	0.079⁶	0.084⁸	0.078⁵
	Total	15¹	36¹¹	24⁵	28⁹	27⁸	25⁶	21⁴	26⁷	18³	29¹⁰	15¹
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
100	CP( $\hat{β}$ )	0.946⁴	0.851¹¹	0.932⁸	0.933⁷	0.946³	0.933⁶	0.942⁵	0.895¹⁰	0.951¹	0.925⁹	0.948²
	CP( $\hat{μ}$ )	0.951³	0.955⁹	0.956¹⁰	0.953⁵	0.948⁴	0.949²	0.946⁷	0.959¹¹	0.945⁸	0.953⁶	0.950¹
	AW( $\hat{β}$ )	0.694³	0.777⁶	1.170¹¹	1.169¹⁰	0.782⁷	0.784⁸	0.677²	0.626¹	0.755⁵	0.793⁹	0.702⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.054³	0.063⁹	0.066¹⁰	0.069¹¹	0.055⁴	0.054²	0.054¹	0.056⁷	0.055⁶	0.058⁸	0.055⁵
	Total	13²	35¹⁰	39¹¹	33⁹	18⁴	18⁴	15³	29⁷	20⁶	32⁸	12¹
n	Qtd	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
200	CP( $\hat{β}$ )	0.946⁴	0.841¹¹	0.930⁸	0.916⁹	0.948²	0.944⁵	0.944⁶	0.914¹⁰	0.949¹	0.930⁷	0.947³
	CP( $\hat{μ}$ )	0.947⁷	0.959¹¹	0.951¹	0.952⁴	0.948⁵	0.954⁸	0.948³	0.952⁶	0.951²	0.956¹⁰	0.946⁹
	AW( $\hat{β}$ )	0.485³	0.581⁹	0.863¹⁰	0.863¹¹	0.543⁷	0.540⁶	0.469²	0.450¹	0.531⁵	0.575⁸	0.489⁴
	AW( $\hat{μ}$ )	0.038²	0.044⁹	0.049¹⁰	0.051¹¹	0.039⁵	0.038⁴	0.038¹	0.039⁷	0.039⁶	0.040⁸	0.038³
	Total	16³	40¹¹	29⁸	35¹⁰	19⁴	23⁶	12¹	24⁷	14²	33⁹	19⁴
	Overall Total	9²	40¹¹	35⁹	38¹⁰	22⁶	21⁵	12³	29⁷	12³	33⁸	8¹

Scenario	AD	AD2	AD2L	AD2R	ADR	CvM	MLE	MPS	OLS	PCE	WLS
(μ = 0.2,β = 0.5)	9²	37¹⁰	34⁹	42¹¹	22⁵	23⁶	12³	23⁶	16⁴	27⁸	6¹
(μ = 0.2,β = 1.5)	6¹	39¹⁰	42¹¹	34⁹	26⁷	29⁸	12³	24⁵	15⁴	25⁶	7²
(μ = 0.2,β = 2.0)	13³	39¹⁰	40¹¹	37⁹	22⁶	18⁴	19⁵	23⁷	11²	31⁸	4¹
(μ = 0.4,β = 0.5)	9²	39¹⁰	38⁹	39¹⁰	23⁵	27⁷	10³	27⁷	16⁴	24⁶	7¹
(μ = 0.4,β = 1.5)	8¹	42¹¹	36⁹	41¹⁰	24⁶	25⁷	14³	26⁸	19⁵	14³	9²
(μ = 0.4,β = 2.0)	11³	40¹⁰	40¹⁰	37⁹	29⁸	20⁵	7¹	26⁷	12⁴	21⁶	8²
(μ = 0.6,β = 0.5)	9²	38¹⁰	33⁹	42¹¹	26⁶	30⁷	14⁴	30⁷	11³	20⁵	5¹
(μ = 0.6,β = 1.5)	19⁶	41¹¹	37⁹	40¹⁰	14³	19⁶	14³	28⁸	15⁵	12²	9¹
(μ = 0.6,β = 2.0)	5¹	38¹⁰	36⁹	41¹¹	27⁷	20⁵	17³	30⁸	19⁴	21⁶	6²
(μ = 0.8,β = 0.5)	10²	39⁹	39⁹	40¹¹	24⁵	25⁷	13³	27⁸	16⁴	24⁵	4¹
(μ = 0.8,β = 1.5)	5¹	35⁹	35⁹	41¹¹	25⁶	24⁵	11²	29⁸	12³	27⁷	14⁴
(μ = 0.8,β = 2.0)	9²	40¹¹	35⁹	38¹⁰	22⁶	21⁵	12³	29⁷	12³	33⁸	8¹
Total	113²	467¹⁰	445⁹	472¹¹	284⁷	281⁶	155³	322⁸	174⁴	279⁵	87¹

Method	μ	LCL	UCL	β	LCL	UCL	KS (p-value)
MLE	0.2033	0.1847	0.2240	3.8276	3.0530	5.0733	0.0979 (0.7469)
MPS	0.2019	0.1792	0.2236	3.5707	2.6905	4.3026	0.0907 (0.8242)
PCE	0.2058	0.1808	0.2298	3.2550	2.3271	4.0154	0.1114 (0.5907)
OLS	0.2014	0.1792	0.2226	3.6391	2.7666	4.7659	0.0879 (0.8520)
WLS	0.2034	0.1814	0.2249	3.7032	2.8428	4.8165	0.0992 (0.7326)
CvM	0.2013	0.1793	0.2228	3.7596	3.0188	5.0458	0.0865 (0.8649)
AD	0.2034	0.1834	0.2257	3.7135	2.9679	4.7314	0.0990 (0.7351)
ADR	0.2018	0.1798	0.2262	3.4077	2.6352	4.6341	0.0991 (0.7335)
AD2R	0.2002	0.1736	0.2273	3.1894	2.0618	4.8186	0.1192 (0.5030)
AD2L	0.1958	0.1788	0.2163	4.9271	3.2415	7.3709	0.1379 (0.3205)
AD2	0.2103	0.1864	0.2363	3.6283	2.4818	4.5025	0.1374 (0.3249)

Method	μ	LCL	UCL	β	LCL	UCL	KS (p-value)
MLE	0.4729	0.4317	0.5148	1.9103	1.6565	2.2716	0.0571 (0.8767)
MPS	0.4723	0.4019	0.5355	1.8338	1.3818	2.2098	0.0618 (0.8081)
PCE	0.4686	0.4037	0.5298	1.9449	1.4745	2.3979	0.0580 (0.8642)
OLS	0.4789	0.4166	0.5341	2.0873	1.5868	2.7337	0.0695 (0.6788)
WLS	0.4762	0.4137	0.5331	2.0752	1.5931	2.6993	0.0682 (0.7026)
CvM	0.2013	0.1793	0.2228	3.7596	3.0188	5.0458	0.7350 (0.0000)
AD	0.4733	0.4304	0.5163	1.9681	1.6871	2.3073	0.0610 (0.8201)
ADR	0.4798	0.4441	0.5181	2.2317	1.8949	2.7488	0.0765 (0.5584)
AD2R	0.4876	0.4442	0.5254	2.4237	1.7670	3.1201	0.0848 (0.4254)
AD2L	0.4981	0.4313	0.5785	1.3952	0.9988	1.7848	0.1480 (0.0184)
AD2	0.4419	0.3867	0.4974	1.6351	1.2378	1.8874	0.1207 (0.0886)

l = (μ, β | x) = n \log β + n β \log (1 - μ) + n β \log μ + (β - 1) \sum_{i = 1}^{n} \log x_{i} + (β - 1) \sum_{i = 1}^{n} \log (1 - x_{i}) - 2 \sum_{i = 1}^{n} \log [(1 - μ)^{β} {x_{i}}^{β} + μ^{β} (1 - x_{i})^{β}] .

\frac{\partial l}{\partial β} = \frac{n (β - μ β)}{μ (1 - μ)} - 2 β \sum_{i = 1}^{n} \frac{{(1 - μ)}^{β - 1} x_{i}^{β} - μ^{β - 1} {(1 - x_{i})}^{β}}{{(1 - μ)}^{β} x_{i}^{β} + μ^{β} {(1 - x_{i})}^{β}} = 0,

\frac{\partial l}{\partial β} = \frac{n}{β} + n \log (1 - μ) + n \log μ + \sum_{i = 1}^{n} \log x_{i} + \sum_{i = 1}^{n} \log (1 - x_{i}) - 2 \sum_{i = 1}^{n} \frac{{x_{i}}^{β} [\log (1 - μ) + \log x_{i}] (1 - μ) β + 2 μ^{β} (1 - x_{i})^{β} [\log (1 - x_{i}) + \log μ]}{(1 - μ)^{β} {x_{i}}^{β} + μ^{β} (1 - x_{i})^{β}} = 0 .

\frac{\partial}{\partial μ} H (μ, β) = \frac{1}{n + 1} \sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{D_{i} (μ, β)} [Δ_{1} (x_{(i)} | μ, β) - Δ_{1} (x_{(i - 1)} | μ, β)] = 0, \frac{\partial}{\partial β} H (μ, β) = \frac{1}{n + 1} \sum_{i = 1}^{n + 1} \frac{1}{D_{i} (μ, β)} [Δ_{2} (x_{(i)} | μ, β) - Δ_{2} (x_{(i - 1)} | μ, β)] = 0,

Δ_{1} (x_{(i)} | μ, β) = \frac{μ^{β - 1} β x_{(i)}^{- β} {(\frac{μ - 1}{x_{(i)} - 1})}^{β}}{(μ - 1) {[x_{(i)} μ^{- β} {(\frac{μ - 1}{x_{(i)} - 1})}^{β} + 1]}^{2}}

Δ_{2} (x_{i : n} | μ, β) = \frac{[\log μ + \log (1 - x_{(i)}) - \log x_{(i)} - \log (1 - μ)] x_{(i)}^{- β} μ^{β} {(\frac{μ - 1}{x_{(i)} - 1})}^{β}}{(μ - 1) {[x_{(i)} μ^{- β} {(\frac{μ - 1}{x_{(i)} - 1})}^{β} + 1]}^{2}} .

\sum_{i = 1}^{n} [F (x_{(i)} | μ, β) - \frac{i}{n + 1}] Δ_{1} (x_{(i)} | μ, β) = 0, \sum_{i = 1}^{n} [F (x_{(i)} | μ, β) - \frac{i}{n + 1}] Δ_{2} (x_{(i)} | μ, β) = 0

\sum_{i = 1}^{n} \frac{{(n + 1)}^{2} (n + 2)}{i (n - i + 1)} [F (x_{(i)} | μ, β) - \frac{i}{n + 1}] Δ_{1} (x_{(i)} | μ, β) = 0, \sum_{i = 1}^{n} \frac{{(n + 1)}^{2} (n + 2)}{i (n - i + 1)} [F (x_{(i)} | μ, β) - \frac{i}{n + 1}] Δ_{2} (x_{(i)} | μ, β) = 0

\sum_{i = 1}^{n} (F (x_{(i)} | μ, β) - \frac{2 i - 1}{2 n}) Δ_{1} (x_{(i)} | μ, β) = 0, \sum_{i = 1}^{n} (F (x_{(i)} | μ, β) - \frac{2 i - 1}{2 n}) Δ_{2} (x_{(i)} | μ, β) = 0

\sum_{i = 1}^{n} (2 i - 1) [\frac{Δ_{1} (x_{(i)} | μ, β)}{F (x_{(i)} | μ, β)} - \frac{Δ_{1} (x_{(n + 1 - i)} | μ, β)}{F (x_{(n + 1 - i)} | μ, β)}] = 0, \sum_{i = 1}^{n} (2 i - 1) [\frac{Δ_{2} (x_{(i)} | μ, β)}{F (x_{(i)} | μ, β)} - \frac{Δ_{2} (x_{(n + 1 - i)} | μ, β)}{F (x_{(n + 1 - i)} | μ, β)}] = 0

[1] *Corresponding author.

Brasil

Brasil

THE UNIT-LOGISTIC DISTRIBUTION: DIFFERENT METHODS OF ESTIMATION

ABSTRACT