Aplicação do Algoritmo de Cuthill-McKee em Matrizes de Hodge para o Método da Esparsificação Recursiva^†

Resumos

A solução de sistemas lineares esparsos de alta ordem está inserido em vários ramos da ciência, como por exemplo a engenharia. Por conseguinte, tem havido um grande esforço para resolver ou apresentar soluções aproximadas de tais sistemas de forma eficiente. Neste trabalho combina-se o método da esparsificação recursiva com o algoritmo de Cuthill-McKee para obter uma aproximação esparsa para a inversa de uma classe de matrizes esparsas denominadas matrizes de Hodge.

esparsificação recursiva; matriz de Hodge; algoritmo de Cuthill-McKee

The solution of sparse linear systems of high order is inserted in various branches of science, such as engineering. Consequently, there has been a great effort to resolve or provide approximate solutions of such systems efficiently. This work combines the method of recursive sparsification with the Cuthill-McKee algorithm for a sparse approximation to the inverse of a class of sparse matrices called Hodge's Matrices.

recursive Sparsification; Hodge's matrices; Cuthill-McKee algorithm

1 INTRODUÇÃO

A solução de sistemas esparsos de alta ordem está inserida em vários ramos da ciência, como por exemplo, a engenharia. Por conseguinte, tem havido um grande esforço para resolver ou apresentar soluções aproximadas de tais sistemas de forma eficiente.

Quando se trata de problemas de propagação de ondas eletromagnéticas utilizando a teoria de formas diferenciais ^{1 6}, tem-se que as equações de Maxwell em sua forma semi-discreta se comportam como um sistema linear esparso de alta ordem. A solução de problemas desse tipo consiste na resolução de um sistema linear esparso definido pela inserção das relações constitutivas através das matrizes de Hodge em cada passo de tempo ⁵.

Conforme ⁵, um FETD incondicionalmente estável, totalmente explícito, e esparso de malha simplicial é obtido utilizando uma aproximação esparsa da inversa da matriz de Hodge. Nesta abordagem, a inversa da Matriz de Hodge deve ser explicitamente calculada para obter uma aproximação esparsa, e isso acarreta custos computacionais consideráveis.

Ainda em ⁵ é apresentado uma técnica de esparsificação para inversa da matriz de Hodge pelo particionamento recursivo da matriz em blocos. A ideia fundamental é aproximar as submatrizes por matrizes esparsas durante o processo de inversão por blocos. Experimentos numéricos mostram que o método leva a um menor número de operações no processo de inversão (ou seja, a um menor custo computacional) e é incondicionalmente estável.

Neste paper será mostrado que a utilização do algoritmo de Cuthill-McKee ² sobre as matrizes de Hodge pode diminuir de uma maneira considerável o tempo de processamento para esparsificação recursiva.

2 MATRIZES DE HODGE

As Matrizes de Hodge são matrizes geradas a partir das relações constitutivas dos meios materiais. A essência destas matrizes está relacionada ao tipo de discretização, ou seja, serão construidas em função do tipo de malha utilizada. Se durante a discretização é utilizada uma malha estruturada como FDTD, obtêm-se as matrizes de Yee-Hodge, por outro lado, se forem utilizadas malhas não estruturadas como no FEM, têm-se as matrizes do tipo Galerkin-Hodge ⁶.

As matrizes de Yee-Hodge, geradas a partir de malhas hexaédricas, são diagonais. Com isso, o cálculo dos graus de liberdade das Equações de Maxwell, que envolve a inversão da matriz de Hodge, se torna algo trivial. Por outro lado, a discretização com elementos de Whitney gera a matrizes de Galerkin-Hodge, que são não diagonais, definida positiva, simétrica e esparsa. Essas matrizes possuem inversas tipicamente cheias, o que motiva o uso de técnicas para obtenção de uma matriz diagonal aproximada para a inversa dessa classe de matrizes. Em ⁵ encontramos o Método da Esparsificação. De maneira geral as Matrizes de Galerkin-Hodge podem ser calculadas pela expressão

onde α denota um dos campos escalares: ϵ (permissividade elétrica), α (relutividade) ou α (condutividade elétrica do meio). (ⁱ_p e (^j_p são 1 ou 2-formas de Whitney e Ω é o domínio de integração.

A motivação para se obter explicitamente a inversa esparsa da matriz de Hodge é para calcular a solução do problema dado pelo sistema,

Esse sistema representa as Equações de Maxwell em sua forma discreta acrescida das relações constitutivas inseridas via as matrizes de Hodge M₁(ϵ) e M₁() em cada passo de tempo. No sistema, temos que b e e são vetores grau de liberdade localizados nas faces e bordas da malha primal, R é a matriz de incidência face-aresta, M₂(ϵ) e M₂() são matrizes de Hodge.

Em (2.2), b é naturalmente explícito. Para se obter um método explícito para o sistema é necessário resolver a segunda equação em (2.2) para e, e para isso é preciso calcular a inversa da matriz de Hodge M₁(ϵ).

3 O MÉTODO DA ESPARSIFICAÇÃO RECURSIVA

O fato das Matrizes Yee-Hodge serem diagonais dispensa o uso do método da esparsificação recursiva, pois a inversa dessa classe de matrizes são facilmente obtidas sem grandes custos computacionais. Contudo, as Matrizes de Galerkin-Hodge são não diagonais, e por vezes, o cálculo de sua inversa envolve um custo computacional considerável. Sendo assim, o uso de técnicas como o Método da Esparsificação Recursiva torna-se aplicável a fim de diminuir esse custo computacional.

A técnica de Esparsificação Recursiva da inversa da matriz de Hodge consiste no particionamento recursivo desta matriz em blocos. A ideia fundamental é aproximar as submatrizes por matrizes esparsas durante o processo de inversão por blocos. Experimentos numéricos apresentados em ⁵ mostram que o método leva a um menor número de operações no processo de inversão (ou seja, a um menor custo computacional) e é incondicionalmente estável.

O método de esparsificação recursiva da inversa da matriz de Hodge é baseada na seguinte fórmula de inversão por bloco:

onde e

As expressões em (3,1) e (3.2) surgem a partir do particionamento de uma matriz que é descrito da seguinte maneira:

Note que a inversão da matriz D₀ de ordem n ? n se reduz a inversão de uma matriz D₁ de ordem (n - q ( n - q) e uma matriz Q₁ de ordem (q( q), onde 0 < q < n. A fórmula de inversão pode ser aplicada recursivamente na matriz D₁, levando a uma sequência de tamanho decrescente de matrizes.

onde

e Di é o bloco de Di-1, para i = 1, 2, ..., k, tal que a inversa M^-1 é obtida pelas substituições sucessivas através da sequência

As matrizes em (3.6) podem ser aproximadas por matrizes esparsas, para se obter uma sequência de matrizes esparsas

para aproximar a sequência descrita em (3.6).

Após cada inversão das matrizes em (3.6), a respectiva matriz é esparsificada para uma matriz de maneira que os coeficiente fora da diagonal da matriz = [d_ij ] são zerados quando

onde 0 < r < 1 é o parâmetro threshold.

Este critério é utilizado devido os maiores valores da matriz de Hodge estarem localizados em sua diagonal, induzindo desta forma naturalmente um valor de corte, que é dado por uma fração do menor coeficiente diagonal.

O interesse do método está em se obter de uma maneira eficiente uma aproximação para a inversa da matriz de Hodge que seja esparsa e que não perca as características da matriz inversa original, tais como a positividade definida e a forte localização dos elementos.

Em ⁵ é mostrado que o método não afeta a estabilidade do sistema apresentado em (2.2), devido ao fato do sinal dos autovalores não ser alterado e de se manter a forte concentração dos termos de maior grandeza em torno da diagonal principal.

4 ALGORITMO DE CUTHILL-McKEE

Dada uma matriz simétrica M = (m_i,j ), de dimensões n ? n, define-se largura de banda como sendo a maior distância de um elemento não nulo à diagonal principal, que é dada por:

O algoritmo de Cuthill-Mckee trabalha com o objetivo de diminuir a largura de banda (β) dessa matriz M, que é tratada pelo algoritmo como uma matriz de adjacência de um grafo.

A ideia básica do algoritmo é encontrar e efetuar uma permutação em M de forma que as entradas não nulas se aproximem da diagonal principal. Para encontrar tal permutação ele percorre todas as entradas da matriz verificando as não nulas e armazenado os valores i e j de sua posição numa matriz unidimensional que é gerada durante o processo, esses valores representam os nós de um grafo gerado pela matriz, que posteriormente será percorrido partindo sempre dos nós que possuem menos ligações, gerando assim a permutação que será aplicada em M.

Na Figura 1 a seguir, note que o grafo é gerado a partir da matriz M, a qual se deseja diminuir a largura de banda, a partir do grafo a permutação q = {4, 1, 5, 2, 3} é construída e aplicada na matriz M, gerando assim a matriz M', onde já pode ser observado a alocação dos elementos não-nulos da matriz próximos à diagonal. Observe que a permutação q = {4, 1, 5, 2, 3} é obtida partindo do número 4 que possui apenas uma ligação e seguindo a ordem crescente de ligações no grafo, atingindo assim todos os nós.

Figura 1:
(a) Matriz Simétrica M, (b) Grafo que gera a permutação q = {41523}, (c) Matriz M_, que é obtida a partir da aplicação da permutação q sobre a matriz M.

Dessa forma o Algoritmo de Cuthill-Mckee faz com que os elementos não nulos de uma matriz fiquem concentrados próximo à diagonal principal, diminuindo a largura de banda da matriz e possibilitando obter ganhos computacionais quando utilizado juntamente com o método da esparsificação recursiva na inversão da Matriz de Hodge, como será visto posteriormente.

5 APLICAÇÃO DO ALGORITMO DE CUTHILL-McKEE COM O MÉTODO DA ESPARSIFICAÇÃO RECURSIVA

A aplicação do algoritmo de Cuthill-Mckee juntamente com o método da esparsificação recursiva tem como objetivo reduzir o tempo de processamento para a inversa da Matriz de Hodge, porém sem perder as características da matriz inversa original, como a positividade definida e a forte localização dos elementos não nulos próximo à diagonal.

Na Figura 1, pôde ser visto que o Algoritmo de Cuthill-Mckee aplica uma permutação na matriz M, e essa permutação faz com que os elementos não nulos de M se aproximem da diagonal principal, diminuindo assim a largura de banda da matriz. Na Figura 2 é mostrado uma Matriz de Hodge convencional e sua configuração após ser tratada pelo Algoritmo de Cuthill-Mckee.

Figura 2:
(a) Matriz de Hodge convencional. (b) Matriz de Hodge tratada pelo algoritmo de Cuthill-Mckee.

Ao combinar o método da esparsificação recursiva com o algoritmo de Cuthill-Mckee pode ser observado que alguns blocos da matriz de Hodge será composta em grande parte por elementos nulos, esses blocos se referem a Bi e apresentados em (3.3). Os elementos não nulos estarão concentrados na parte referente aos blocos Ai e Di, conforme separação em blocos apresentada em (3.3).

Essa nova configuração da matriz de Hodge proporciona uma diminuição considerável no tempo de processamento para obtenção de sua inversa esparsa através da utilização da esparsificação recursiva. A seguir apresentamos alguns resultados numéricos que evidenciam essa observação.

6 RESULTADOS

O objetivo desta seção é expor os resultados obtidos a partir da utilização da esparsificação recursiva juntamente com o algoritmo de Cuthill-Mckee na inversão das Matrizes de Hodge. Nela, compara-se o tempo de processamento computacional na aplicação da diagonalização de Cuthill-Mckee com o método da Esparsificação Recursiva e é feita uma simulação de guia de onda retangular 2D.

6.1 Guia de onda retangular 2D

Considere o guia de onda retangular , cujas paredes na direção z são condutoras eletricamente perfeitas (PEC - perfect electric conductor) e cujo material interno é o ar.

O esquema Leap-frog ⁴ em termos de e e b para este problema será dado por

onde G é a matriz de incidência nó-aresta e M₀(ϵ) e M₁ () são as as matrizes de Galerkin-Hodge ⁵.

A Figura 3 apresenta a distribuição do campo elétrico na região central do guia (x = a/2) com 17.400 passos de tempo, em contraste com a solução analítica. Observe que a solução do método com formas diferenciais é concordante com a solução analítica e, o campo é completamente absorvido pela camada PML.

Figura 3:
Campo elétrico E_y no meio do guia x = a/2 com 17.400 passos de tempo.

6.2 Tempo de Processamento

Para se mostrar a redução do tempo de processamento devido a aplicação da diagonalização de Cuthill-McKee, é fixado o parâmetro threshold em r = 1 ( 10^-5 e comparamos o tempo de processamento do método da esparsificação recursiva com e sem a aplicação da diagonalização da matriz, para matrizes de Hodge de ordem n ? n, com n variando entre 50.000 a 75.000.

A Tabela 1 mostra os resultados obtidos neste experimento, percebe-se uma redução significativa no tempo de processamento pela aplicação da diagonalização. Destacamos que para uma matriz de ordem 65.000 ? 65.000 obtivemos um redução de 90% no tempo de processamento.

Tabela 1:
Tempo de Computação: Cuthill-Mckee (CM) × Esparsificação Recursiva (ER).

Tamanho da matriz n	CM (s)	ER (s)	Speedup CM/ER
50.000	17,58	28,85	0,6094
55.000	21,70	46,48	0,4667
60.000	29,27	76,99	0,3815
65.000	42,42	422,87	0,1003
70.000	396,41	1002,4	0,3955
75.000	853,08	1513,9	0,5635

7 CONCLUSÃO

Neste trabalho pôde ser observado uma redução expressiva no tempo de processamento para o método da Esparsificação Recursiva com o uso do algoritmo de Cuthill-Mckee. Este fato ocorre em decorrência da geração de blocos quase-nulos após a diagonalização da matriz proporcionando desta forma uma redução de operações a serem efetuadas.

REFERÊNCIAS

• ¹
  A. Bossavit. "Computational Electromagnetism: Variational Formulation, Complementarity, Edge Elements", Academic Press, San Diego (1994).
• ²
  A. George & J.W.H Liu. "Computer Solution of Large Sparse Positive Definite Systems", Prentice-Hall (1981).
• ³
  B. He & F.L. Teixeira. Geometric finite element discretization of Maxwell equations in primal and dual spaces. Physics Letters A, 349 (2006), 1-14, Elsevier.
• ⁴
  J. Keranen, J. Kangas, A. Ahola & L. Kettunen. Implicit Yee-like scheme on tetrahedral mesh.Magnetics, IEEE Transactions, 32(2) (2002), 717-720.
• ⁵
  A.S. Moura, R.R. Saldanha, E.J. Silva, A.C. Lisboa, W.G. Facco & N.Z. Lima. A recursive sparsification of the inverse hodge matrix. Magnetics, IEEE Transactions, 48 (2012), 611-614.
• ⁶
  A.S. Moura, R.R. Saldanha, E.J. Silva, A.C. Lisboa & W.G. Facco. Discretization of the CFS-PML for computational electromagnetics using discrete differential forms. Microwave and Optical Technology Letters, 55(2) (2013), 351-357.
• ⁷
  A. Quaterorni, R. Sacco & F. Saleri. Numerical Mathematics. Texts in Applied Mathematics, 37 (2007), Springer Berlin Heidelberg.

• †
  Trabalho apresentado no Congresso de Matemática Aplicada e Computacional-Nordeste, em novembro de 2012, Natal-RN.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  Ago 2015

Histórico

• Recebido
  29 Nov 2013
• Aceito
  28 Maio 2015