Redução do menisco no contato líquido-bastão cilíndrico

Meniscum rise in the liquid-cylindrical rod contact

ARTIGOS GERAIS

Redução do menisco no contato líquido-bastão cilíndrico

Meniscum rise in the liquid-cylindrical rod contact

G.F. Leal Ferreira¹

Instituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, SP, Brasil

RESUMO

Estuda-se a redução da ascenção (externa) de líquido em bastões cilíndricos gerado pela sua curvatura.

Palavras-chave: tensão superficial e curvatura, menisco externo.

ABSTRACT

We study the shorter meniscum rise in the contact liquid - cylindrical rod caused by its curvature.

Keywords: surface tension and curvature, external meniscum.

1. Introdução

A literatura de hoje em Física Geral e Experimental trata o caso da ascenção de líquido no inteior de tubos capilares cilíndricos (as leis de Jurin) [1], e, na mais antiga, resolvia-se mesmo o problema da ascenção em paredes ou placas planas [2] (ver também [3]). Mas o caso da ascenção na parede externa de um tubo cilíndrico, ou como chamaremos aqui, da ascenção em bastão cilíndrico, não era mencionado, certamente pelas dificuldades da integração (ver seção 4), que só agora podem ser superadas. Mas este caso é interessante de ser estudado porque ele introduz no problema uma segunda curvatura ao menisco, imposta pela simetria do bastão, que se contrapõe àquela da película, indicando, qualitativamente, a diminuição da curvatura total e o enfraquecimento da ascenção. No que segue, pretendemos quantificar esta previsão.

2. Teoria, placa plana

Na Fig. 1, considere-se a parte da figura à esquerda da linha AA', representando esquematicamente a subida de líquido numa placa plana. O nível do líquido, longe de AA' está em L e o perfil do menisco é LPM. Em P, de ordenada z, a normal é NP e a tangente TPS subentende o ângulo q com o eixo horizontal LTA. A pressão exterior em P é a atmosférica p₀ e no interior do líquido é p. Tem-se:

em que g é a tensão superficial e R o raio de curvatura em P. Mas no plano LA a pressão atmosférica também é p₀, logo:

de maneira que das Eqs. (1) e (2) tem-se:

sendo por sua vez o raio de curvatura R igual a:

sendo q o ângulo que a tangente TPS faz com o eixo horizontal (veja Fig. 1).

Por sua vez, pela Fig. 2,

relação que considerada com as Eqs. (3) e (4), gera a equação diferencial:

que pode ser integrada de q = 0 e z = 0 dando:

A altura total de subida, h, será, em termos do ângulo de contato a em AA', complemento do ângulo q,

Quando o líquido 'molha' a parede, a = 0 e então h = h_m igual a:

Para fins futuros, vamos obter também a dependência entre q e x, este contado de AA'. De acordo com a Fig. 2,

o sinal negativo indicando que o aumento em z se dá com a dimuição de x. Com o auxílio das Eqs. (6) e (7) obtem-se a equação diferencial:

cuja integral é:

em que a constante C será determinada aqui para o caso em que o líquido molha a placa (q = 90^° ou a = 0) em x = 0, obtendo-se:

3. Teoria, bastão cilíndrico

Consideremos a Fig. 1 na totalidade de seus elementos, isto é, incluindo aqueles à direita da linha AA'. Agora, o eixo vertical OO' é o eixo do bastão, o novo eixo dos z. O raio do bastão é r₀ e r é a coordenada cilíndrica radial do ponto P, introduzindo uma segunda curvatura à película de perfil LPA'. Devido a esta curvatura, aparece uma tensão 'centrípeta' g/r, cuja componente na direção da normal (principal) é -gsenq/r, ver Fig. 3. Note que na direção da normal NP, tudo se passa como o novo raio de curvatura, maior, fosse P0'', que vai de P ao eixo do bastão em O¢. Assim, em vez da Eq. (3) temos agora:

R sendo ainda o raio de curvatura do perfil da película. Adotando as novas variáveis z¢ e r¢ tais que:

a Eq. (14), tendo em conta as Eqs. (4) e (5), pode ser escrita adimensionalmente como:

Para o caso da água em que g ~ 75 dyn/cm, a ~ 0,25. Devido à presença da variável r¢ na Eq. (16), temos agora de considerar uma segunda equação entre as variáveis z e r, ou z¢ e r¢, que a Fig. 2 nos dá, em vez da Eq. (10), como:

A seguir discutimos como proceder para integrar o sistema de equações diferenciais dadas pelas Eqs. (16) e (17). Notemos que para q ~ 90^°, que ocorre junto ao cilindro quando o líquido molha o sólido, dz¢/dq ~ 1, pela Eq. (5) e a Eq. (16) permite antever um 'colapso' da ascenção para r¢ = 1 ou r ~ 0,25 cm, isto é, bastões finos de vidro em água.

4. A integração

Notemos em primeiro lugar que, para grandes r¢, a Eq. (16) (que se reduz àquela da parede plana) dá, aproximadamente, a Eq. (7), e especialmente para q pequenos,

ou seja, que sendo cos q ~ 1 - q²/2, então:

Vamos adicionalmente escolher q como variável independente para a integração do sistema constituído pelas Eqs. (16) e (17). É fácil ver que este sistema pode ser escrito como:

sistema que foi integrado de forma aproximada, para cada raio do bastão, r₀¢, da maneira seguinte. Em princípio, a integração deveria começar, das vizinhanças de z¢ ~ q ~ 0, e r¢ ~ ¥. Dois inconvenientes logo aparecem: esta divergência em r¢, e os denominadores do lado direito das Eqs. (20) que se anulam, obrigando a se recorrer a outro caminho. Notemos em primeiro lugar que para grandes r¢ as Eqs. (20) e (6) coincidem e que, portanto, a aproximação dada na Eq. (19) permanece válida. Decidimos então, 1) usar a condição z¢ ~ q¢ para grandes r¢ e 2) estimar, para um valor grande de x¢, vamos dizer x_i¢, qual seria o valor de z¢ usando as Eqs. (12) e (13), no caso de parede plana. No caso do bastão de raio r₀¢ , o correspondente valor de z¢ deve ser menor, vamos dizer z_i¢, que irá sendo então escolhido tentativamente; 3) o sistema de Eqs. (20) é integrado de r_i¢ = x_i¢+r₀¢ e com o valor inicial escolhido de z_i¢, mantendo-se o valor inicial de q igual a z_i¢, de acordo com 1) acima; 4) a integração é então realizada com o MathCad Plus 6 até o valor final de q = 90^°. Observa-se então que, para valores superestimados de z_i¢, o valor final de r¢ é maior que r₀¢ e que para valores subestimados ele é menor. Por aproximações sucessivas chega-se ao 'correto' valor inicial de z_i¢ que faz a integração terminar em r₀¢ para q = 90^° e o correspondente valor final de z¢, h¢, é anotado, permitindo obter-se h¢ vs. r₀¢ ao se variar r₀¢ . Usou-se 2,04 para x_i¢. Acreditamos que a aproximação atingida seja somente de uns poucos porcentos devido, principalmente, à variação rápida de z¢ nas proximidades do bastão, para tangenciá-lo. A Fig. 4 mostra h¢ em função de r₀¢. A linha tracejada dá a altura, , para r₀¢ ® ¥,o mesmo da parede plana, correspondendo à h_m, Eq. (9).

5. Resultados

Mostramos na Fig. 4, a dependência encontrada entre h¢ e r₀¢. O valor da altura para o caso da placa, igual a , está indicado. Na Fig. 5, mostra-se o perfil calculado para o caso de r₀¢ =0,75 e, para comparação, aquele da placa plana. Note-se que embora o ângulo de contato imposto para os dois casos seja nulo, não é isso o que a figura parece indicar.

Recebido em 13/12/2005; Aceito em 4/4/2006

• [1] F.W. Sears e M.W. Zemanski, Física: Calor, Ondas, Óptica (Livro Técnico e Científico, Rio de Janeiro, 1977).
• [2] G. Bruhat, Mecânica (Difusăo Européia do Livro, Săo Paulo, 1963), v. 2, cap. XX.
• [3] F.H. Newman and V.H.L. Searle, The General Properties of Matter (Edward Arnold & Co., London, 1951), cap. 6.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  16 Out 2006
• Data do Fascículo
  Jun 2006

Histórico

• Aceito
  04 Abr 2006
• Recebido
  13 Dez 2005