Um cálculo da espessura da camada limite

A calculation of the boundary layer thickness

Um Cálculo da Espessura da Camada Limite

A calculation of the boundary layer thickness

G. F. Leal Ferreira

CP 369, 13560-970, São Carlos, SP

Recebido em 15 de janeiro, 2002. Aceito em 1 de fevereiro, 2002.

Revisita-se o problema da camada limite viscosa sobre um perfil plano, derivando-se as equações de Prandtl e depois a de Blasius. Daí, através de procedimento simplificado, uma solução aproximada é obtida cuja precisão ombreia com aquela fornecida pelo conhecido método de von Kármán.

The viscous boundary layer problem over a plane is re-visited and the Prandtl system and the Blasius equation are derived. From the latter, a simplified solution is obtained which shows to be close to that generated by the well known von Kármán method.

I Introdução

Em artigo recente nesta revista [1], discutiu-se a questão do perfil de velocidade horizontal na camada limite. Para os leitores menos familiarizados com este conceito, ele foi introduzido por Prandtl no início do século passado [2] para descrever a região de contacto entre um fluido incompressível (=líquido, ou fluido simplesmente) em movimento em relação a um sólido. O líquido adere, por viscosidade, ao sólido a partir da linha de contacto e atinge, na direcão normal, a distâncias crescentes - a espessura variável da camada limite -, a velocidade do líquido não perturbada, U. Estamos já imaginando, por simplicidade, que o líquido se desloca em relacão a um plano de espessura desprezível em cuja borda de entrada a velocidade é zero. A camada limite é aí também zero, e vai crescendo (direção y) à medida que o líquido avança na direção x. Prandtl [1] admitiu que a velocidade horizontal u(x,y) é da forma Uf(), em que d(x) é a espessura da camada limite em x. A função f satisfaz certas condições de contorno [1], que serão especificadas adiante. O interesse no presente trabalho é a determinação de d(x).

II Fluxos horizontal e vertical na camada limite

Como mencionado acima, o perfil de velocidade horizontal u(x,y) é suposto da forma

sendo h = = a(x)y, ou seja, a(x) =, com f(0) = 0 e f(1) = 1.

A Fig. 1 mostra esquematicamente o fluido se aproximando da placa plana, fixa, P, com velocidade uniforme U e atingindo-a em O, a partir de onde se mede a abcissa x. A curva (em verdade, superfície) C delimita a região do fluido fortemente perturbado, contemplado na aproximação, sendo d(x), a espessura da camada limite, a grandeza que queremos calcular. No elemento dx, a velocidade horizontal do fluido u(x,y) obedece a Eq.1. É interessante notar que para y constante, a velocidade u diminui para x crescente (derivada de u para y constante) e sendo o fluido incompressível, isto significa que há também um movimento vertical, v(x,y), que em d(x) atravessa C. Pela equação da continuidade

e da Eq.1

em que o ponto significa derivada em relação a h e a linha, derivada em relação a x. Na maioria dos casos, as variáveis h e x não serão mostradas explicitamente. Da Eq.2

ou

Mas para x constante, temos y = e ¶y = e a Eq.5 integrada dá

É razoavelmente intuitivo que v(x,d(x)) deve ser bem menor que U na aproximação proposta. De outra forma, isto é, se u e v fossem da mesma ordem, nenhuma aproximação poderia ser tentada. Supondo-se ser este o caso, e 1) considerando-se os termos no parêntesis da Eq.6 como da ordem da unidade, e 2) que a(x) = , vê-se que

e, então, concluímos que

III A Equação de Prandtl

Tratando-se de escoamento viscoso, devemos usar a Equação de Navier-Stokes. Notemos, porém, que pela Eq.3

é da ordem de U, de ordem inferior a , que é da ordem de . Portanto as derivadas horizontais de u podem ser desprezadas em frente às suas derivadas verticais.

Com isso, a Equação de Navier-Stokes (sem gradiente horizontal de pressão) se simplifica, havendo no termo de força viscosa somente a derivada segunda de u em relação a y. Ela é

sendo r a densidade do líquido e m a viscosidade. Apesar de v ser bem menor que u, os dois termos no parêntesis da Eq.9 são da mesma ordem de grandeza. Isto porque, por compensação, é bem menor que . A Eq.9 foi proposta por Prandtl [3].

IV A Equação de Blasius

Blasius transformou a Eq.9 numa equação diferencial em h. Para isto, da Eq.3 temos

Da Eq.1

e

resultando para a Eq.9, com m_c = m/r o coeficiente de viscosidade cinemática,

usando-se as Eqs.1,6,10-12. Notemos que ocorre cancelamento dos dois primeiros termos do lado esquerdo e que

em que se definiu K(x) uma função de x.Após um certo re-arranjo, a Eq.13 pode ser escrita assim

de onde se conclui que o lado esquerdo, função de h, e o lado direito, função de x, são iguais a uma constante, que chamaremos de K. Com

a Eq.15 torna-se

equação que Blasius procurou resolver [3]. Na verdade, por uma redefinição de g, o fator K na Eq.17 pode ser eliminado. Tomaremos, porém, aqui um outro rumo mais simples, procurando determinar K de uma forma aproximada pela Eq.17 e retornando depois à Eq.14 para a determinação de d(x).

V Determinação aproximada de K e de d (x)

Vamos determinar K impondo um perfil aproximado para f(h).Para a solução exata, a Eq.17 é satisfeita para todos os valores de h, 0 < h < 1. Com um perfil aproximado, vamos impor que a igualdade entre o lado esquerdo e direito da Eq.17 se dê em média, ou seja

No tratamento usual do problema devido a von Kármán, no qual se iguala a perda de momento do líquido com o atrito viscoso sobre a placa, usa-se o perfil proposto por Prandtl, dado por

que satisfaz as condições especificadas abaixo da Eq.1 (isto é, f(0) = 0 e f(1) = 1) e, adicionalmente, f(1) = 0, ou seja, a velocidade horizontal, Eq.1, atinge suavemente o valor U em C. Das Eqs.16 e 19 obtêm-se

e substituindo-se as Eqs.20-22 na Eq.16, obtém-se

e retornando-se à Eq.14, tem-se agora

ou seja,

O fato de d(x) ser inversamente proporcional a U e a r,este através de m_c, mostra que as forças inerciais têm um papel preponderante na formação da camada, ou seja, uma maior densidade de momento do líquido impõe camada limite mais fina. A força viscosa sobre a placa deve ser, grosso modo, diretamante proporcional a U e inversamente proporcional a d(x). Vemos, então, que a força de arraste sobre a placa, de acordo com Eq.25, vai com U.

VI Comentários

A solução de von Kármán [2] leva ao coeficiente numérico 4,65 na Eq.25 (não sabemos se ela é matematicamente equivalente àquela dada acima e a diferença, 4,65 e 4,64 adviriam de aproximacões diferentes). Por outro lado, a de Blasius, a partir da equação diferencial da Eq.17 [3], por solução em série, dá o valor convencionado de 4,52.

Mesmo para escoamentos turbulentos, há formação de camada limite viscosa na região próxima de x = 0 [2]. Tomando-se escoamento de água, com m_c 1,2 ^-2 cm²/s, com velocidade de 1 m/s, para a qual já há turbulência, a Eq.25 dá para d(x) » 5^–2 10^–2 cm, isto é, uma camada bem estreita.

O que aconteceria se usássemos para o perfil de velocidades f(h), Eq.19, um polinômio de ordem superior a três, mantendo-se as mesmas três condições de contorno abaixo da Eq.19, como determinado em [1]? Evidentemente, o perfil dependeria agora de um parâmetro extra, b, f(h,b). Obtidos, então, os correspondentes g, a Eq.18 forneceria uma função, vamos dizer, H(K,b) = 0. Impondo-se agora um mínimo (na verdade um extremo) para H(K,b), isto é, ¶H/¶b = 0, K poderá ser determinado. Quer dizer, a eventual arbitrariedade na definição do perfil pode ser eliminada 'dinamicamente ' pela Eq.18 e imposição de um mínimo em relação aos parâmetros excedententes.

Por fim, vamos testar se a condição de validade da aproximação na Eq.7¢ de fato se verifica. Temos

mostrando que para pontos próximos à borda de entrada (ponto O na Fig.1) a aproximação não é boa. Para o caso do escoamento considerado acima, isto ocorreria para x << 6,5x10^–4 cm. Como a perturbacão causada pela própria borda não foi considerada, isto parece não prejudicar muito a solução, que seria válida para x suficientemente grande, eventualmente transicionando para a camada limite turbulenta, para x ainda maiores [2].

Agradecimentos

O autor agradece ao CNPq a bolsa de produtividade.

• [1] Katia B. de Lacerda e A. E. A. Amorim, Rev. Brasil. Ensino Física, textbf23, 196 (2001).
• [2] Victor L. Streeter, Mecânica dos Fluidos, Editora McGraw-Hill do Brasil;, Ltda.,1974,Cap.V.
• [3] J. W. Daily e D. R. F. Harleman, Fluid Dynamics, Addison-Wesley Publ. Co. Inc., 1973, Cap.10.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  10 Dez 2002
• Data do Fascículo
  Mar 2002

Histórico

• Aceito
  01 Fev 2002
• Recebido
  15 Jan 2002