EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS COM TRATAMENTOS PRIMÁRIOS EM BLOCOS INCOMPLETOS PARCIALMENTE BALANCEADOS: II. ANÁLISE INTRABLOCOS

EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS COM TRATAMENTOS PRIMÁRIOS EM BLOCOS INCOMPLETOS PARCIALMENTE BALANCEADOS: II. ANÁLISE INTRABLOCOS¹

A.R. de MORAIS²; M.C.S. NOGUEIRA³

² Depto. de Ciências Exatas-UFLA, C.P. 37, CEP: 37200-000 - Lavras, MG.

³ Depto. de Matemática e Estatística-ESALQ/USP, C.P. 9, CEP: 13419-900 - Piracicaba, SP.

RESUMO: O objetivo do presente trabalho foi desenvolver uma metodologia adequada para análise intrablocos de experimentos em parcelas subdivididas quando os tratamentos primários estão dispostos em uma estrutura de delineamento em blocos incompletos parcialmente balanceados. Usando o método dos mínimos quadrados foram determinadas as expressões para as várias somas de quadrados que compõem a análise de variância e a composição do teste F.

Descritores: delineamento experimental, análise intrablocos, blocos incompletos, parcelas subdivididas

SPLIT-PLOT EXPERIMENTS WITH MAIN TREATMENTS IN PARTIALLY BALANCED INCOMPLETE BLOCKS: II. INTRABLOCK ANALYSIS

ABSTRACT: The objective of this study was to develop a suitable methodology for the intrablock analysis of experiments in split-plot involving a two-way treatment structure when the design structure for whole plot experimental units is a partially balanced incomplete block design. Using the least square procedure expressions were developed to determine the sums of squares of the variance analysis and the justification of the F test.

Key Words: experimental design, intrablock analysis, incomplete blocks, split-plot

INTRODUÇÃO

A análise intrablocos, em que somente as comparações entre parcelas do mesmo bloco são usadas nas estimativas dos efeitos de tratamentos, para os delineamentos experimentais, em geral, pode ser vista em Chakrabarti (1962), Raghavarao (1971), Gomes (1968), Das & Giri (1986) e Iemma (1987), dentre outros.

Gomes (1968), salientou que a análise intrablocos pode ser utilizada para qualquer tipo de experimento em blocos incompletos e se baseia em métodos exatos.

Detalhes de sua utilização na prática, bem como vários aspectos teóricos, como dedução de expressões para o efeito de tratamentos são dadas em Bose & Nair (1939), John (1980), Barbosa (1986) e Das & Giri (1986); Oliveira (1985), que deduziu expressões para a estimativa dos efeitos de tratamentos, no caso de PBIB com tratamentos comuns em todos os blocos e, Riboldi (1988), que apresentou a decomposição das somas de quadrados de tratamentos ajustada em v-1 contrastes ortogonais.

O caso da utilização de experimentos em parcelas subdivididas quando os tratamentos primários estão dispostos segundo uma estrutura de delineamento em blocos incompletos balanceados (BIB) foi abordado por Iemma (1981), segundo o qual existe uma lacuna quanto ao uso desses experimentos em blocos incomletos. Desse modo, considerou um experimento em parcelas subdivididas no qual os v tratamentos primários estivessem presentes em r dos a blocos incompletos equilibrados (r < a); onde cada bloco era formado por k parcelas e cada par de tratamentos primários ocorresse em l blocos. Entretanto, existem situações em que o delineamento em BIB não é viável, pois pode exigir um número elevado de repetições, tornando-se impossível sua utilização na prática.

Desse modo, o delineamento em blocos incompletos parcialmente balanceados, introduzido por Bose & Nair (1939) possui um vasto campo de aplicação.

O presente trabalho tem como objetivo apresentar uma análise intrablocos para os experimentos em parcelas subdivididas quando os tratamentos primários estão dispostos numa estrutura de blocos incompletos parcialmente balanceados, no que se refere a dedução das fórmulas que compõem a análise da variância e a composição do teste F.

METODOLOGIA

a) Um modelo linear: Para o desenvolvimento da metodologia adotou-se o seguinte modelo linear:

(1)

onde com: i = 1,2,...,v tratamentos primários; j = 1,2,...,b blocos; l = 1,2,..., u tratamentos secundários; y_ijl é o valor observado na subparcela correspondente ao l-ésimo tratamento secundário, dentro do i-ésimo tratamento primário, no j-ésimo bloco; m é uma constante que representa a média geral; b_j é o efeito do j-ésimo bloco; t_i é o efeito do i-ésimo tratamento primário; é o efeito do l-ésimo tratamento secundário; d_il é o efeito da interação entre o i-ésimo tratamento primário e o l-ésimo tratamento secundário; e_ijl é o erro aleatório atribuído a observação y_ijl considerado como o componente do resíduo.

Na forma matricial, o modelo linear é dado por:

(2)

onde: y é um vetor de realizações de variáveis aleatórias, com dimensões (vru) x (1); X é uma matriz dos coeficientes dos parâmetros do modelo (matriz do modelo adotado), com dimensões (vru) x (1+v+b+u+vu); q é um vetor de parâmetros desconhecidos do modelo, com dimensões (1+v+b+u+vu) x (1); e é um vetor de variáveis aleatórias não observáveis, com dimensões (vru) x (1), as quais são assumidas serem independentes e normalmente ditribuidas com e ~ N(Æ, å), cuja estrutura de erros é dada por:

(3)

Conforme Gomes (1968) e Iemma (1981), efetuou-se a partição da matriz X, da seguinte maneira:

onde: X₁ é o vetor dos coeficientes associados à constante , de dimensões (vru) x (1); X₂ é a matriz dos coeficientes associados aos blocos, de dimensões (vru) x (b); X₃ é a matriz dos coeficientes associados aos tratamentos primários, de dimensões (vru) x (v); X₄ é a matriz dos coeficientes associados aos tratamentos secundários, de dimensões (vru) x (u); X₅ é a matriz dos associados às interações d_il, de dimensões (vru) x (vu).

A partição do vetor dos parâmetros correspondente à partição da matriz X é dada por:

b) Análise da variância: Obtida uma solução para o sistema de equações normais como em Morais & Nogueira (1995), pode-se determinar as somas de quadrados do modelo (1).

b.1) Obtenção das somas de quadrados: De acordo com o modelo linear , sabe-se que a soma de quadrados do resíduo é dada por

(5)

onde: é definida como a soma de quadrados total, representada por SQTot; e é definida como a soma de quadrados de parâmetros ou a redução devida aos parâmentros, representada por SQP, é dada por:

(6)

sendo G o total geral observado, B vetor com os totais de blocos, de dimensões b x 1, T vetor com os totais de tratamentos primários, de dimensões v x 1, T* vetor com os totais de tratamentos secundários, de dimensões u x 1 e D vetor com os totais de interação, de dimensões vu x 1.

Desenvolvendo (6), tem-se que

(7)

onde: é a soma de quadrados da média ou correção;

é a soma de quadrados de tratamentos primários ajustada para blocos; é a soma de quadrados de blocos, obtida de maneira usual; é a soma de quadrados de tratamentos secundários, obtida de maneira usual; é a soma de quadrados de tratamentos primários, obtida de maneira usual, sem o ajuste para blocos; é a soma de quadrados da interação tratamentos primários x tratamentos secundários, obtida de maneira usual.

A obtenção da soma de quadrados de tratamentos primários ajustada pode ser desenvolvida com o auxílio da TABELA 3, usada para a composição da análise da variância do exemplo numérico.

b.2) Soma de quadrados de resíduo: De acordo com o modelo adotado em (1), a soma de quadrados de resíduo pode ser particionada, de maneira conveniente, em

SQRes = SQR(a) + SQR (b).

Reportando-se a (1), tem-se que o modelo de parcelas subdivididas pressupõe que o erro aleatório de cada observação , pode ser decomposto em duas fontes independentes de erros: e_ijl é o termo do erro a nível de subparcelas e h_ij é o termo do erro específico da medida efetuada no tratamento i no bloco j, ou simplesmente, é o erro a nível de parcelas. De acordo com Chackrabarti (1962), tem-se que

(8)

sendo que h_ij agora se comporta como um parâmetro a mais do modelo, e para obter soluções de mínimos quadrados, deve-se tornar mínima a seguinte soma de quadrados de erros

(9)

Minimizando esta soma de quadrados, verifica-se que a soma de quadrados relativa ao resíduo(a) a nível de parcelas, representada por SQR(a), é SQR(a) = SQPar - SQB - SQTP(aj), sendo

é a soma de quadrados de parcelas.

Mas, como então, a soma de quadrados de resíduo a nível de subparcelas é

c) Esperança matemática das somas de quadrados: Para a determinação das esperanças matemáticas das formas quadráticas, que fornecem as somas de quadrados, usou-se o seguinte teorema auxiliar, enunciado em Graybill (1961): Teorema 1 - Seja y um vetor multinormal, tal que y ~ N(Cq,å), então

sendo: P o núcleo da forma quadrática; tr indica o operador traço de uma matriz e é a matriz de covariâncias.

Do posto de P, obtém-se o número de graus de liberdade para a causa de variação estudada; ou a seguinte definição, dada por Iemma (1987): Define-se o número de graus de liberdade de uma soma de quadrados, como o posto da matriz da forma quadrática correspondente.

As esperanças matemáticas dos quadrados médios que compõem a análise da variância do modelo de (1), estão apresentadas na TABELA 1.

d) Distribuição e independência das formas quadráticas: Para verificar a distribuição e independência das formas quadráticas, reportou-se a Halperin (1951), McElroy (1967) e Scariano & Davenport (1987), aplicando-se o seguinte teorema citado em Graybill (1961):

Teorema 2- Seja y um vetor multinormal de dimensões (m x 1), tal que y ~N(Cq,V), onde Cq é o vetor de médias e V é a matriz de variâncias e covariâncias da distribuição multinormal e sejam A_i(i=1,...,p) matrizes simétricas, de posto

simétrica, de posto k. Então as formas quadráticas têm distribuição c² com k_i graus de liberdade e com parâmetro de não centralidade, , são independentes duas a duas, e ainda , y,A_iy tem distribuição c² com k graus de liberdade e parâmetro de não centralidade se e somente se ocorrer:

( I ) quaisquer duas alternativas são verdadeiras:

( a ) A_iV é idempotente, para todo i = 1, ...,p,

( b ) A_iVA_j= 0 para todo i < j,

( c ) AV é idempotente;

ou ( II ) ( c ) é verdadeira e ( d ) ou

( III ) ( c ) é verdadeira e A₁V,...A_p-1V( e ) são idempotentes e A_pV é definida não negativa.

Sejam as matrizes de variâncias e covariâncias dadas por , onde V é tal que:

= (10)

sendo são formas quadráticas que fornecem as somas de quadrados de interesse para a análise da variância, com matrizes de projetores ortogonais, simétricas e idempotentes

Sob normalidade dos erros,o vetor de erros tendo distribuição multinormal onde V Î F e s² é uma constante positiva, então as condições necessárias e suficientes do Teorema 2 aplicadas a (i = 1, ..., p) garantem que:

(11)

e, , são mutuamente independentes, onde é o parâmetro de não centralidade. Em consequência, a família de variáveis aleatórias

(12)

para V Î F e . Verifica-se que, quando c₁=c₂=1, então F₁₂(1,1)=F é a estatística "usual" do teste F, se ocorrer V = I.

As somas de quadrados em termos de formas quadráticas, do modelo de (1), podem ser escritas como

onde Q_i, com i = 0,1,....,7 são os núcleos das formas quadráticas, ou projetores de y sobre algum subespaço de C(X), que fornecem as somas de quadrados de total, correção, blocos, tratamentos primários, resíduo(a), tratamentos secundários, interação e resíduo (b) respectivamente.

Usando o Teorema 2, de (11), obtiveram-se os seguintes resultados com respeito à distribuição das formas quadráticas:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

e são independentes entre si. Também de (12), tem-se que a variável aleatória F₃₄(c₃,c₄)é dada por

ou seja,

(20)

e, que

ou seja,

(21)

e que,

(22)

e) Esquema de análise da variância: O esquema de análise da variância com as respectivas esperanças matemáticas de quadrados médios está apresentado na TABELA 1.

f) Exemplo numérico: Para ilustrar a análise proposta, considerou-se um experimento com quatro (4) tratamentos primários (variedades de cana-de-açucar) dispostos num delineamento de blocos incompletos parcialmente balanceados com duas classes de associados e três (3) tratamentos secundários (cortes). Os dados de produção de massa verde, em t/ha, adaptados de Rosa et al.(1993), encontram-se na TABELA 2, os cálculos auxiliares para obtenção de médias ajustadas e soma de quadrados de tratamentos primários na TABELA 3 e a análise da variância na TABELA 4.

Os parâmetros desse PBIB (2) são:

v = 4, k = 2, b = 4, u = 3,

E, as estimativas foram obtidas de acordo com Morais & Nogueira (1995), e através da expressão: foram determinados os efeitos de tratamentos primários.

CONCLUSÕES

1. A análise da variância apresentou duas partes distintas e independentes: i) a primeira envolvendo tratamentos primários e blocos e resíduo(a), seguiu o comportamento dos experimentos em blocos incompletos balanceados e ii) a segunda envolvendo tratamentos secundários, interação e resíduo(b), seguiu o comportamento dos experimentos em parcelas subdivididas instalados em blocos casualizados.

2. O teste F para tratamentos primários, tratamentos secundários e interação são exatos. Não existe um teste exato para blocos.

Recebido para publicação em17.10.95

Aceito para publicação em 11.02.96

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¹

Parte da tese do primeiro autor, apresentada à ESALQ/USP.

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  26 Fev 1999
• Data do Fascículo
  Jan 1996

Histórico

• Aceito
  11 Fev 1996
• Recebido
  17 Out 1995