Compensadores dinâmicos para sistemas discretos no tempo com parametros variantes e aplicação a um sistema fuzzy Takagi-Sugeno

Dynamic compensators for discrete-time systems with varying parameters and application to a Takagi-Sugeno fuzzy system

TEORIA DE CONTROLE

Compensadores dinâmicos para sistemas discretos no tempo com parametros variantes e aplicação a um sistema fuzzy Takagi-Sugeno

Dynamic compensators for discrete-time systems with varying parameters and application to a Takagi-Sugeno fuzzy system

Michael Klug^I; Eugênio B. Castelan^II

^IGrupo de Controle de Sistemas Mecatronicos - CSM Depto. de Automação e Sistemas - DAS Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC Florianópolis, 88040-900, SC, Brasil. [e-mail]

^IIGrupo de Controle de Sistemas Mecatronicos - CSM Depto. de Automação e Sistemas - DAS Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC Florianópolis, 88040-900, SC, Brasil. [e-mail]

RESUMO

Neste artigo, considera-se o problema de síntese de compensadores dinâmicos por realimentação de saídas para sistemas lineares, discretos no tempo, com parâmetros variantes. Sob a hipótese que os parâmetros variantes podem ser medidos ou estimados em tempo-real, são consideradas duas estruturas de compensadores dinâmicos, com ordem igual a da planta: uma parcialmente dependente e outra completamente dependente dos parâametros. A estabilidade e o desempenho do sistema em malha-fechada são garantidos via a utilização de uma funçao de Lyapunov dependente de parâmetros e condiçõs LMIs são estabelecidas e utilizadas para a síntese dos controladores. Um aspecto importante considerado, e que objetiva a aplicação prática dos resultados, particularmente no controle de sistemas não lineares, é a validade do modelo LPV utilizado para representar localmente o sistema a controlar. Os resultados propostos são aplicados sobre um sistema não linear representado localmente por um modelo fuzzy de Takagi-Sugeno.

Palavras-chave: Compensadores dinâmicos, Sistemas LPV, Controle dependente de parâmetros, Modelos fuzzy Takagi-Sugeno, LMIs.

ABSTRACT

In this article we consider the synthesis of dynamic output feedback compensators for linear discrete-time parameter-varying systems. By assuming that the time-varying parameters can be measured or estimated in real-time, two full-order compensators are considered: one that is partially dependent on the parameters and other that is totally dependent. Closed-loop stability and time performance are verified via a parameter dependent Lyapunov function. LMI conditions are given for the synthesis of the controllers. To cope with practical applications, particularly in the case where the time-varying linear model represents locally the dynamics of a nonlinear plant, additional conditions are also considered to take into account the local validity of the model. The proposed results are applied to a nonlinear system that is locally represented by a Takagi-Sugeno fuzzy model.

Keywords: Dynamic compensators, LPV systems, Parameter dependent control, Takagi-Sugeno fuzzy models, LMIs.

1 INTRODUÇÃO

Sistemas lineares com parâmetros variantes (ou, sistemas LPV) tem recebido atenção especial da comunidade cientifica, particularmente na área de controle, pois permitem, por exemplo, modelar ou aproximar o comportamento dinâmico de sistemas não lineares entre diferentes pontos de funcionamento ou numa dada região do espaço de estados. Dentre as formas de representação de sistemas LPV, a modelagem na forma politópica tem sido largamente explorada na literatura, com contribuições interessantes de vários pesquisadores brasileiros com colaboradores, reportadas em revistas e congressos nacionais (p.ex.: Oliveira et al., 2002; Leite et al., 2004; Araújo et al., 2010) e internacionais (p.ex.: Trofino and Souza, 2001; Geromel and Colaneri, 2006; Montagner et al., 2005; Souza and Trofino, 2005; Oliveira and Peres, 2008; Mozelli and Palhares, 2011); veja também a bibliografia mencionada nestas referências.

Na representação politópica, as matrizes do sistema pertencem à um politopo de matrizes, definido por seus vértices e por um vetor de parâmetros dependente do tempo e pertencente ao simplex unitário. Caso este vetor de parâmetros possa ser medido ou seus elementos possam ser estimados em tempo real, pode-se buscar o atendimento das especificações desejadas para o sistema em malha fechada via a utilização de uma lei de controle dependente dos parâmetros. Para a síntese dessas leis de controle variantes no tempo, técnicas baseadas na utilização de Funções de Lyapunov Dependentes de Parâmetros e em formulações via Desigualdades Matriciais Lineares têm sido exploradas na busca de soluções menos conservadoras para os diversos problemas relacionados. Do ponto de vista prático, diversas aplicações têm sido reportadas na literatura e, em particular, a utilização da modelagem fuzzy de Takagi-Sugeno (Wang et al., 1996) apresenta-se como uma área interessante para a aplicação de técnicas de controle LPV e, também, para o desenvolvimento de novos resultados teóricos (p.ex.: Guerra and Vermeiren, 2004; Khiar et al., 2007; Andrea et al., 2008; Tognetti et al., 2009; Montagner et al., 2010; Zheng et al., 2001; Zhou et al., 2007).

Na representação fuzzy de Takagi-Sugeno (T-S) o parâmetro variante consiste em funções peso normalizadas, geralmente dependente dos estados do sistema, que controlam a interpolação entre os modelos locais (regras). Estas regras podem então ser calculadas e utilizadas para o controle digital de sistemas não lineares, via o modelo T-S. Uma outra característica importante é que o modelo obtido representa exatamente, ou aproxima, o sistema não linear original somente na região do espaço de estados considerada para a obtenção do modelo T-S. Esta característica, importante do ponto de vista da aplicação prática de controladores, e que também pode estar presente quando se modela o sistema a controlar por outras técnicas para obtenção de modelos LPV, e geralmente desconsiderada na fase de projeto, quando condições de estabilidade ou desempenho globais são usadas para a síntese do controlador.

Dentro do contexto brevemente descrito anteriormente, os objetivos principais deste artigo são:

1. Apresentar duas estruturas de compensadores dinâmicos por realimentação de saída para sistemas LPV, com dependência parcial e dependência total dos parâmetros variantes, especializando os resultados propostos em (Castelan et al., 2010; Klug et al., 2011) para o caso de sistemas LPV considerados no presente trabalho;

2. Levar em consideração a região de validade do modelo na fase de projeto dos compensadores: o objetivo, neste caso, será determinar uma região de condições iniciais, So, contida no domínio de validade e tão grande quanto possível, com a garantia que as trajetórias que iniciam em

   S₀ evoluam no interior do domínio de validade do modelo LPV considerado;

3. Aplicar e comparar as técnicas desenvolvidas em um determinado modelo

   fuzzy T-S.

O artigo é organizado da forma seguinte: na Seção 2 é apresentado o sistema LPV considerado e o problema de controle a ser desenvolvido; na Seção 3 mostram-se alguns resultados preliminares e definições utilizadas neste trabalho; na seção 4 são deduzidas as condições de síntese dos controladores dinâmicos, são abordadas as condições adicionais para modelos locais e formulados os problemas de programação convexa utilizados para a síntese dos controladores; um exemplo numérico e comentários são apresentados na Seção 5; por fim apresentam-se as conclusões obtidas.

Notações. Para um vetor x ∈ Rⁿ, x ≥ 0 significa que todos os componentes de x, denotados por x(i), são não negativos. Os elementos de uma matriz A ∈ R^mxn são denotados por A(_i,j),i = 1,...,m,j = 1,...,n. A(_i) denota a iésima linha da matriz A. Para duas matrizes simétricas, A e B, A > B significa que A — B e positiva definida. A denota a transposta de A. I_m denota a matriz identidade de ordem m e diag(x) denota a matriz diagonal obtida do vetor x. O símbolo * representa blocos simétricos e ● representa um elemento que não possui influencia no desenvolvimento.

2 APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA

Considere um sistema linear em tempo discreto com parâmetros variantes no tempo, representado por:

em que x_k ∈ Rⁿ, u_k ∈ R^m e y_k ∈ R^p são, respectivamente, os vetores dos estados, das entradas de controle e das saídas do sistema. Além disso, h_k ⊂ R^r e um vetor de parâmetros, variante no tempo, mensurável ou possível de ser estimado em tempo real, e limitado no simplex unitário Ξ = {h_k ∈ R^r; Σ^r_i=1h_k(i) = 1, h_k(i) ≥ 0,i = 1, ...r}.

A estrutura das matrizes do sistema possui a forma seguinte:

e , com .

O problema de controle a ser investigado consiste da síntese de um controlador dinâmico por realimentação de saída (CDRS) que garanta a estabilidade para o sistema correspondente em malha fechada, obedecendo um certo requisito de desempenho a ser definido posteriormente.

Para o CDRS, admite-se dois casos:

CASO 1 - CDRS Parcialmente Dependente de Parâmetros

Seja o controlador dinâmico

em que . Considera-se a seguinte estrutura das matrizes do controlador

e , na qual . Como as matrizes da equação de saída, C_c e D_c, não dependem do parâmetro variante, nomeia-se este controlador de CDRS-PDP (Parcialmente Dependente de Parâmetros).

Considerando a interconexão u_ck = y_k e y_ck = u_k, tem-se o seguinte sistema em malha fechada:

Então, definindo o vetor de estados aumentado ç_k = [xfc x_c fc] , o sistema em malha fechada pode ser representado por:

com

Observa-se de (5) que a matriz K pode ser vista como uma realimentação constante dos estados do sistema aumentado.

CASO 2 - CDRS Totalmente Dependente de Parâmetros

Seja o controlador dinâmico

com a seguinte estrutura das matrizes do controlador:

sendo

Como as matrizes da equação de saída, C_c(h_k) e D_c(h_k), dependem do parâmetro variante, nomeia-se este controlador de CDRS-TDP (Totalmente Dependente de Parâmetros).

Considerando a interconexão u_ck = y_k e y_ck = u_k, tem-se o sistema em malha fechada:

Como anteriormente, tem-se

com

Observa-se de (9) que a matriz K(h_k) pode ser vista como uma realimentação dependente de parâmetros dos estados do sistema aumentado.

Observação 1 A estrutura diferenciada (7), proposta para A_c(h_k) e B_c(h_k), e necessária para a obtenção dos parâmetros do CDRS-TDP a partir das condições de estabilização que serão propostas sob a forma de LMIs na seção 4. Conforme sera explicado posteriormente, a utilização de uma estrutura simplificada, utilizando (4) e (8) conjuntamente, inviabiliza este procedimento de obtenção dos parâmetros do compensador.

Observação 2 Pode-se verificar a partir de (4), (7) e (8) que o CDRS-TDP apresenta maior complexidade de implementação do que o CDRS-PDP. A complexidade de implementação dos compensadores propostos está relacionada ao número de operações que devem ser realizadas à cada iteração e ao número de parâmetros que devem estar disponíveis on-line para obter o valor do controle, u_k. A verificação desta complexidade e de interesse, por exemplo, em aplicações críticas embarcadas onde restrições econômicas e de consumo de energia requerem a utilização de dispositivos para calculo com limitações em termos de processamento e de disponibilidade de memória (Arzen and Cervin, 2005).

3 RESULTADOS PRELIMINARES

Para o estudo de estabilidade e a garantia de um certo desempenho temporal para o sistema em malha fechada, considera-se uma Função de Lyapunov Dependente de Parâmetro (FLDP) tal que , visando reduzir o conservadorismo inerente à utilização de Funções de Lyapunov constantes ou independentes de parâmetros.

Definição 1: Considere um escalar não negativo. A origem do sistema descrito em (5) ou (9) e robustamente assintoticamente estável, com coeficiente de contratividade λ (Milani and Coelho, 2002), se

Na sequência, assume-se a FLDP da seguinte forma

com :

Então, considerando que (5) e (9) podem ser escritos sob a forma

com A_MF(h_k) = A(h_k) + B(h_k)K para o CDRS-PDP e A_MF(h_k) = A(h_k) + B(h_k)K(h_k) para o CDRS-TDP. Desta forma obtém-se

sendo

Note que (13) e verificada se e somente se M(h_k+1, h_k) < 0, ou, de forma equivalente (por complemento de Schur) (Boyd et al., 1994)

Para a obtenção de condições que permitam a síntese dos controladores dinâmicos com as estruturas desejadas, pre e pós multiplica-se (14) por diag([I U]) e sua transposta, considerando o fato que, para qualquer matriz invertível U ∈ S^2nx2n, tem-se (Daafouz and Bernussou, 2001)

Portanto, uma condição suficiente para a verificação de (14) pode ser formulada como a desigualdade matricial dependente de parâmetros:

A partir de (15) podemos então estabelecer as condições para análise de estabilidade e do desempenho temporal associado ao coeficiente de contratividade λ, descritas em função dos vértices dos politopos de matrizes, associadas às duas estruturas de controladores dinâmicos sob investigação.

Lema 1 Estabilidade CASO 1 - CDRS-PDP

Sejam A_ci, B_ci, C_c e D_c matrizes conhecidas que formam o controlador (3). Para um dado escalar real λ ∈ (0,1], considere a existência de matrizes simétricas definidas positivas Q_i ∈ R^2nx2n e da matriz U ∈ R^2nx2n, satisfazendo:

Então, a origem do sistema em malha fechada (5) é robustamente assintoticamente estável, com coeficiente de contratividade λ, para qualquer condição inicial ς₀ ∈ Rⁿ.

Prova: Para a demonstração considere:

A partir de (16), para cada i, multiplica-se a desigualdade correspondente j = 1, ...,r por hk+1(j) e soma-se. Na sequência multiplicam-se as desigualdades resultantes i = 1, ...,r por h_k(_i) e somam-se, obtendo-se:

Com base nas estruturas definidas em (2) e (4), e dos valores admissíveis aos parâmetros

, pode-se reescrever:

que corresponde à condição de estabilidade apresentada em (15).

Lema 2 Estabilidade CASO 2 - CDRS-TDP

Sejam Aci, Aciq, Bci, Bciq, Cci e Dci matrizes conhecidas que formam o controlador (6). Para um dado escalar real λ G (0,1], considere a existência de matrizes simétricas definidas positivas e da matriz , satisfazendo:

Então, a origem do sistema em malha fechada (9) é robustamente assintoticamente estável, com coeficiente de contratividade λ, para qualquer condição inicial .

Prova: Para o caso totalmente dependente de parâmetros, considera-se a condição (15) com

Das estruturas matriciais definidas em (2) e (8) pode-se reescrever a parcela a_mf (h_k) como

De maneira análoga para os demais termos, pode-se reescrever (15) como

Então, considerando-se os valores admissíveis dos parâmetros , as condições estabelecidas pelo lema garantem que (19) e verificada.

Observa-se de (16), (17) e (18), que a matriz e obrigatoriamente invertível. Além disso, à FLDP (11) utilizada para a verificação da estabilidade e desempenho do sistema em malha fechada, pode-se associar conjuntos de tipo Lyapunov, dados por (Hu et al., 2002; Castelan et al., 2010):

em que são conjuntos elipsoidais.

Como consequência do Lema 1 e do Lema 2, e um conjunto robustamente λ-contrativo (com respeito as trajetórias do sistema (5) ou (9)); para maiores detalhes, veja por exemplo, (Corso et al., 2009). Esta noção de conjunto contrativo, que garante que toda trajetória que inicia em permanece neste domínio e converge assintoticamente para a origem, será utilizada mais adiante para caracterizar domínios de estabilidade quando o modelo LPV representa um sistema não linear num domínio de validade local.

4 RESULTADOS PRINCIPAIS

Para obtenção das condições de síntese dos controladores sob investigação, definem-se, da mesma forma que em (Castelan et al., 2010), as seguintes matrizes adaptadas de (Scherer et al., 1997):

Para estas matrizes, tem-se

em que, por construção:

Ainda, de , tem-se

Alem disso, particionando , pode-se definir:

Os teoremas descritos a seguir estabelecem condições de estabilização robusta, com desempenho temporal associado ao coeficiente de contratividade λ, sob a forma de LMIs. Estas condições são obtidas a partir das condições (16), (17) e (18).

4.1 CDRS Parcialmente Dependente de Parâmetros

Teorema 1 Dado , considere que existem matrizes simétricas definidas positiva , e matrizes , satisfazendo as seguintes condições:

nas quais:

Seja uma matriz não singular qualquer, determine:

Então, as matrizes do controlador CDRS-PDP (3) obtidas por

são tais que a origem do sistema em malha fechada (5) e robustamente assintoticamente estável com coeficiente de contratividade λ.

Prova: Multiplica-se a condição de estabilidade (16) do Lema 1, à esquerda por diag [θ θ] e a direita pela sua transposta, conforme abaixo exposto:

Desenvolvendo o produto e efetuando a substituição de variáveis

verifica-se a equivalência das desigualdades (20) e (16).

Com vistas à sintese do controlador CDRS-PDP, a LMI (20) proposta no teorema anterior pode ser utilizada para formular problemas de programação convexa, podendo-se adicionar outras restrições e/ou reformular o problema para tratar outros critérios, como custo garantido e controle .

4.2 CDRS Totalmente Dependente de Parâmetros

Teorema 2 Dado , considere que existem matrizes simétricas definidas positiva , e matrizes , satisfazendo as seguintes condições:

nas quais:

Seja uma matriz não singular qualquer, determine Z a partir de (21). Então, as matrizes do controlador CDRS-TDP (6) obtidas por

são tais que a origem do sistema em malha fechada é robustamente assintoticamente estável com coeficiente de contratividade λ.

Prova: Multiplica-se as condições de estabilidade (17) e (18) do Lema 2, à esquerda por diag e à direita pela sua transposta, conforme abaixo exposto

Desenvolvendo os produtos e efetuando a substituição de variáveis

verifica-se a equivalência das desigualdades (22) e (23) com (17) e (18).

A proposição deste teorema permite, tal como o Teorema 1, a formulação de problemas de programação convexa. E importante destacar também que o CDRS-PDP pode ser visto como um caso particular do CDRS-TDP, eliminando-se a condição (23) do Teorema 2, fazendo para a condição (22), e utilizando a mesma estrutura matricial representada em (4).

Observação 3 Uma estrutura simplificada de CDRS-TDP consiste em considerar as matrizes de estado e de entrada do compensador com a estrutura (4) e as matrizes associadas a saída do compensador com a estrutura (8). Neste caso, tem-se, em particular:

Então redefinidona demonstração do Lema 2, e possível verificar que as LMIs (17) e (18) também permitem concluir sobre a estabilidade do compensador com estrutura simplificada.

Note, entretanto, que o desenvolvimento para esta estrutura simplificada dos produtos utilizados na demonstração do Teorema 2, leva a substituição das variáveis Â_iq e mostrada a seguir, a qual impossibilita a construção das matrizes Aci e Bci:

4.3 Estabilização Local num Domínio de Validade do Sistema

Os resultados apresentados anteriormente consideram que o sistema com parâmetros variantes (1) e válido para todo Rⁿ, e, desta forma, que a estabilidade e o desempenho serão validos em todo o espaço de estados do sistema em malha fechada (12).

Entretanto, em vários problemas práticos o modelo (1) e valido apenas localmente (regionalmente), e descreve o comportamento do sistema somente num subconjunto do espaço de estados, , denominado de domínio de validade do modelo. Nestes casos, para garantir a estabilidade e o desempenho do sistema controlado via uma das estruturas de CDRS apresentadas, pode-se incluir uma condição adicional às condições de estabilidade dos Lemas 1 e 2, com o objetivo de garantir a inclusão de um domínio λ-contrativo na região de validade do sistema em malha fechada, i.e., com

Desta forma, garante-se que para qualquer condição inicial , a trajetória correspondente evolui no interior de e tende assintoticamente a origem. Portanto, a evolução das trajetórias dos estados da planta e confinada no interior do domínio de validade .

Seja, por exemplo, o domínio de validade definido por um conjunto poliedral

em que . A extensão de ao espaço de estados do sistema aumentado, denotada X₀, e dada por

com . A inclusão pode ser descrita pela seguinte restrição convexa (Boyd et al., 1994; Castelan et al., 2010)

equivalente a

nas quais:

Portanto, com base nas condições dos Lemas 1 e 2, e na condição estabelecida em (24), é possível apresentar os seguintes resultados de estabilidade e desempenho locais.

Corolário 1 Sejam A_ci, B_ci, C_c e D_c matrizes conhecidas que formam o controlador (3). Para um dado escalar real , considere a existência de matrizes simétricas definidas positivas e da matriz , satisfazendo as condições definidas em (16) e (24). Então, o conjunto e robustamente absolutamente λ-contrativo e tal que .

Corolário 2 Sejam A_ci, A_ciq, B_ci, B_ciq, C_ci e D_cimatrizes conhecidas que formam o controlador (6). Para um dado escalar real , considere a existência de matrizes simétricas definidas positivas e da matriz , satisfazendo as condições definidas em (17), (18) e (24). Então, o conjunto e robustamente absolutamente λ-contrativo e tal que .

Portanto, a partir dos Colorários 1 e 2, garante-se que a origem do sistema (5) ou (9) será assintoticamente estável para qualquer condição inicial ς₀ G , e, seguramente, as trajetórias que emanam de ς₀ permanecem em X₀. Como consequência, pode-se utilizar as condições dos Teoremas 1 e 2, conjuntamente com a condição de inclusão (25) para estabelecer os resultados de estabilização local.

Para a síntese dos ganhos dos controladores, o domínio C_V deve ser o maior possível. Assim, para a otimização do domínio contrativo , e possível adotar, como em (Corso et al., 2009), um conjunto modelo para síntese. Tal conjunto pode ser adotado com a forma da própria região de validade. O objetivo consiste em maximizar o fator escalar β tal que a inclusãotambém seja verificada. Considerando μ = 1/β², a condição pode ser descrita por

equivalente a

Desta forma, para a síntese do CDRS-PDP aplicado a sistemas lineares com parâmetros variantes, considerando um domínio de validade Vo, propõe-se o seguinte problema de programação convexa:

e, para o CDRS-TDP:

Nota-se que as condições adicionais não implicam em maior complexidade de implementação dos compensadores dinâmicos, apenas alteram a complexidade numérica de solução do algoritmo.

Observação 4 A complexidade numérica para a solução de problemas baseados em LMIs está relacionada ao número escalar de variáveis de decisão e ao número de linhas das LMIs consideradas (Leite et al., 2004). Assim, pode-se verificar que o algoritmo (28) e numericamente mais complexo que o (27). Entretanto, é importante destacar que a complexidade numérica está relacionada somente aos cálculos realizados off-line. Devido à grande capacidade de cálculo disponível atualmente, mesmo em computadores pessoais, a complexidade numérica não coloca restrição forte em relação à utilização do CDRS-TDP frente ao CDRS-PDP, mesmo para sistemas de maior ordem.

5 APLICAÇÃO A UM SISTEMA FUZZY TAKAGI-SUGENO

5.1 Apresentaçao do Sistema e Modelo Fuzzy

Sejam as equações de movimento descritas em (Cannon, 1967), representando o problema de equilibrar um pêndulo invertido em um carro

sendo: x₁ o ângulo (em radianos) do pêndulo em relação a vertical; x₂ a velocidade angular (em radianos por segundo); g = 9.8m/s² a aceleração da gravidade; m a massa (em quilogramas) do pêndulo; M a massa (em quilogramas) do carro; 21 o comprimento (em metros) do pêndulo e u a forca (em Newton) aplicada ao carro. Define-se a = 1/(m + M).

De acordo com a metodologia apresentada em (Tanaka and Wang, 2001), o sistema em (29) pode ser descrito por um modelo linear a parâmetros variantes, denominado de modelo fuzzy Takagi-Sugeno. A região de validade V₀ considerada para o modelo e definida pelos intervalos , sendo para este caso x_1max = /3 e x_2max = 5. Desta forma, tem-se

com

Então, agregando os somatórios temos

sendo i = m + 2(l - 1) + 4(k - 1) + 8(j - 1) e hi = EjMkNlSm com , , , , , , , , , z2 = sen(x1), z3 = x2sen(2x1), z4 = cos(x1) e q1 = max(z1), q2 = min(z1), b1 = 1, , c1 = max(z3), d1 = max(z4), d2 = min(z4), nas quais os valores máximos e mínimos são calculados para a região de validade do modelo.

É interessante ressaltar que as funções hi dependem apenas da variável x₁, que e definida como a saída do sistema. Desta forma, e suficiente a medição da saída para calcular a lei de controle.

5.2 Exemplo Numérico

Para o exemplo elege-se: m = 2.0kg, M = 8.00kg e 21 = 1.0m. Discretiza-se cada regra em (30) para um tempo de amostragem fixo T_s = 0.1s, com a utilização das seguintes relações (Li et al., 2001)

Desta forma, obtém-se as matrizes que compõem o sistema (1), dispostas no ^Anexo deste artigo. É importante observar que o modelo em tempo discreto obtido é uma aproximação do modelo fuzzy T-S, devido à variação dos parâmetros ao longo do tempo. Portanto, a escolha do período de amostragem é mais crítica do que no caso de sistemas lineares e invariantes no tempo. Neste trabalho, consideramos uma escolha de T_s, suficientemente pequeno, e verificamos via simulações que os resultados obtidos garantem o funcionamento seguro, assintoticamente estável, do sistema amostrado em malha-fechada para as condições iniciais pertencentes ao domínio de estabilidade a ser calculado, . Cabe salientar que todas as simulações devem ser realizadas considerando a utilização do modelo em tempo discreto do CDRS-PDP ou TDP, com os valores das funções de pertinência calculadas à cada instante de amostragem, e o modelo não linear em tempo contínuo do sistema a controlar.

Como o modelo apresentado é válido localmente, utilizam-se das condições apresentadas nos algoritmos (27) e (28) para síntese dos CDRSs, com

Na tabela 1 observam-se os valores mínimos do coeficiente de contratividade para os quais os algoritmos (27) e (28) permanecem factíveis. Nota-se que para o CDRS-TDP (algoritmo (28)) obtém-se um menor valor do fator de contratividade, possibilitando uma faixa maior para o ajuste de desempenho.

Considere a região de estabilidade (RE), definida por:

em que

A RE define o conjunto de condições iniciais ς₀ = [ x₀ 0 ] , para as quais as trajetórias do sistema ficam limitadas na região de confinamento (RC). A região RC e a projeção ortogonal de sobre o hiperplano formado pelos estados da planta, definida como

com

Nas figuras 1 (λ = 1) e ² (λ = 0.7) observam-se as regiões de estabilidade (RE), representadas por "x", para o CDRS-PDP (CASO 1), e "+", para o CDRS-TDP (CASO 2), e as regiões de confinamento das trajetórias (RC) no espaço de estados da planta, representadas por uma linha contínua para o CASO 1, e uma linha tracejada para o CASO 2.

Nota-se que a exigência de um maior desempenho (menor fator contrativo) provoca uma diminuição das regiões RE e RC, ou seja, observa-se o compromisso existente entre desempempenho e tamanho das regiões de estabilidade e confinamento. Tal fator deve ser considerado pelo projetista. Verifica-se também um menor conservadorismo em termos de tamanho das regiões RE e RC para o CDRS-TDP (algoritmo (28)), devido ao maior número de graus de liberdade presente na estrutura deste compensador..

Para simulação da evolução temporal dos estados e do esforço de controle, são consideradas as condições iniciais ς₀ = [ x₀ 0 ], com x₀ = [ 0.7293 2 ] e x0 = [ 0.7569 3 ], para o CDRS-PDP e o CDRS-TDP, respectivamente. Nota-se que as condições são escolhidas na fronteira das respectivas regiões de estabilidade.

Nas figuras 3 e 4 observa-se a evolução temporal dos estados da planta para λ =1, sendo que "+" representa os estados para o CDRS-PDP e "o" para o CDRS-TDP. Nota-se que os estados, para todo instante de tempo, permanecem dentro da região de validade V₀. Na figura 5 observam-se os esforços de controle para a mesma condição de simulação anterior.

Por fim, deve-se salientar que para outras condições iniciais não pertencentes à RE sob consideração, a convergência das trajetórias para a origem não é garantida, mas poderá ocorrer nos casos particulares em que a condição inicial pertencer a região de atração para a origem do sistema não linear em malha-fechada; por exemplo, pode-se verificar via simulação, para o CDRS-TDP com coeficiente λ =1, que as condições iniciais e x₀ = 0 3.8158 , pertencem à região de atração, e que as condições iniciais com x₀ = 0.7085 -3.7573 e x₀ = 0.1279 4.8392 implicam em trajetórias instáveis.

6 CONCLUSÃO

Neste artigo foram apresentadas duas estruturas de compensadores dinâmicos por realimentação de saída para o controle de sistemas LPV. Nas estruturas, considera-se a dependência de parâmetros na forma parcial e total.

Para a obtenção de estabilidade e um certo desempenho temporal, utilizou-se de funções de Lyapunov dependente de parâmetros e metodologias adaptadas de (Corso et al., 2009), (Daafouz and Bernussou, 2001) e (Scherer et al., 1997), obtendo-se condições sob a forma de LMI's, e portanto, de solução numérica confiável.

Um aspecto prático de importância discutido no presente artigo está relacionado ao domínio de validade do modelo com parâmetros variantes considerado. Mostrou-se, então, como restrições adicionais podem ser acrescentadas na fase de projeto para garantir a estabilidade local e a evolução das trajetórias do sistema em malha fechada no interior da região de validade do modelo utilizado. Cabe salientar que alguns conceitos utilizados para tratar este aspecto, como a contratividade de conjuntos em relação as trajetórias do sistema em malha fechada e a inclusão de conjuntos, são ferramentas conhecidas e utilizadas, particularmente, na área de controle de sistemas sob restrições (veja (Castelan et al., 2010; Corso et al., 2009) e suas referências).

Finalmente, um exemplo numérico aplicado a um sistema não linear modelado pela técnica fuzzy Takagi-Sugeno foi exposto, permitindo mostrar alguns aspectos das estratégias de síntese propostas, tais como a relevante consideração prática do domínio de validade mencionado e o compromisso existente entre a exigência de desempenho temporal e o tamanho das regiões de estabilidade e de confinamento para o sistema em malha-fechada. Com vistas à uma escolha adequada do período de amostragem e à garantia de estabilidade do sistema de controle, um ponto importante para investigação futura é a análise da região de estabilidade, calculada a partir do modelo discretizado de sistemas LPV, quando da implementação sobre o sistema em tempo contínuo.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao Editor e aos Revisores pelos comentaórios e sugestoães realizados, e à CAPES e ao CNPq pelo suporte financeiro.

Artigo submetido em 16/06/2011 (Id.: 1346)

Revisado em 25/09/2011, 01/12/2011

Aceito sob recomendação do Editor Associado Prof. Luis Fernando Alves Pereira

Matrizes que compõem a estrutura do sistema para o exemplo numérico:

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Anexo

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  18 Out 2012
• Data do Fascículo
  Out 2012

Histórico

• Recebido
  16 Jun 2011
• Revisado
  01 Dez 2011