Controle ótimo H2 e H<FONT FACE=Symbol>¥</FONT> com modificação de zeros para o problema de rastreamento usando LMI

Resumos

Uma metodologia de modificação de zeros é proposta para resolver o problema de rastreamento de sinal de referência, sendo que considera-se ainda a existência de um sinal de entrada exógena de perturbação ou distúrbio na planta. Em um primeiro momento projeta-se um controlador para minimizar a norma H2 do sistema a fim de diminuir o efeito desta perturbação. A seguir, através da modificação de zeros, minimiza-se a norma H<FONT FACE=Symbol>¥</FONT> entre o sinal de referência e o erro entre o sinal de saída e a referência, constituindo portanto um rastreador de sinal. Os projetos são equacionados utilizando-se desigualdades matriciais lineares, que permitem descrever problemas de otimização convexa. É apresentada a obtenção do ótimo global da solução do problema através da modificação de zeros. Por fim, um exemplo numérico ilustra a viabilidade da abordagem proposta.

LMI; Controle Ótimo; Modificação dos Zeros; Normas H2 e H<FONT FACE=Symbol>¥</FONT>

The problem of signal tracking, with disturbance in the plant, is solved using a zero variation methodology. A controller is designed in order to minimize the H2-norm of the closed-loop, such that the effect of the perturbation is attenuated. The modification of the zeros is used to minimize the H<FONT FACE=Symbol>¥</FONT>-norm from the reference input signal to the error signal, where the error is taking as the difference between the reference and the output signals, i.e., a tracking problem. The design is formulated on the linear matrix inequalities framework, such that the global optimum of the problem is obtained. A example illustrates the effectiveness of the proposed method.

LMI; Optimal Control; Zero Variation; H2 and H<FONT FACE=Symbol>¥</FONT>-Norm

SISTEMAS LINEARES

Controle ótimo H₂ e H_¥ com modificação de zeros para o problema de rastreamento usando LMI

Edvaldo Assunção; Cristiano Quevedo Andrea; Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira

Unesp - Universidade Estadual Paulista - Campus de Ilha Solteira, Departamento de Engenharia Elétrica Caixa Postal 31, CEP 15385-000, Ilha Solteira, SP, Brasil [e-mail], [e-mail], [e-mail]

RESUMO

Uma metodologia de modificação de zeros é proposta para resolver o problema de rastreamento de sinal de referência, sendo que considera-se ainda a existência de um sinal de entrada exógena de perturbação ou distúrbio na planta. Em um primeiro momento projeta-se um controlador para minimizar a norma H₂ do sistema a fim de diminuir o efeito desta perturbação. A seguir, através da modificação de zeros, minimiza-se a norma H_¥ entre o sinal de referência e o erro entre o sinal de saída e a referência, constituindo portanto um rastreador de sinal. Os projetos são equacionados utilizando-se desigualdades matriciais lineares, que permitem descrever problemas de otimização convexa. É apresentada a obtenção do ótimo global da solução do problema através da modificação de zeros. Por fim, um exemplo numérico ilustra a viabilidade da abordagem proposta.

Palavras-chave: LMI, Controle Ótimo, Modificação dos Zeros, Normas H₂ e H_¥.

ABSTRACT

The problem of signal tracking, with disturbance in the plant, is solved using a zero variation methodology. A controller is designed in order to minimize the H₂-norm of the closed-loop, such that the effect of the perturbation is attenuated. The modification of the zeros is used to minimize the H_¥-norm from the reference input signal to the error signal, where the error is taking as the difference between the reference and the output signals, i.e., a tracking problem. The design is formulated on the linear matrix inequalities framework, such that the global optimum of the problem is obtained. A example illustrates the effectiveness of the proposed method.

Keywords: LMI, Optimal Control, Zero Variation,H₂ and H_¥-Norm.

1 INTRODUÇÃO

Na vasta literatura sobre sistemas de controle, como por exemplo (Ogata, 1997) e (Assunção e Peres, 2001), pode-se verificar facilmente a utilização de alocação de pólos em sistemas de malha fechada, enquanto para os zeros, há menor quantidade de textos publicados abordando este assunto. Um texto clássico de controle que trata o tópico alocação de zeros de forma mais detalhada pode ser encontrado em (Franklin et al., 1977). Ainda, entre os primeiros trabalhos publicados que tratam o assunto estão (Murdoch, 1975) e (Murdoch, 1977), que abordam a potencialidade da alocação de zeros em sistemas de múltiplas entradas.

Existem resultados práticos que demonstram que a alocação de zeros em um sistema de controle pode afetar não somente a resposta transitória do sistema, mas também características de robustez, rejeição a perturbação, esforços de controle e até mesmo aspectos de implementação do controlador (Pierri, 1999). Ainda, em (Schmidt e Benson, 1995) é apresentada uma proposta de imposição de zeros, onde é utilizada uma variação da síntese LQG/LTR.

Em (Moore e Bhattacharyya, 1990) é considerado um problema de largo interesse em controle, que é projetar controladores através de alocação de zeros que resultem em sistemas de malha fechada com características no domínio no tempo, tais como porcentagem de overshoot e tempo de estabelecimento. Ainda em (Haukdóttir, 2000) utiliza-se a alocação ótima dos zeros para redução da ordem de modelos.

Um projeto para o controle de rastreamento robusto confiável para o problema de falhas em atuadores e controle de defeitos na superfície de aeronaves é apresentado em (Liao et al., 2002), sendo abordado um método baseado em um controle misto linear quadrático (LQ)/H_¥ no desempenho de um rastreador e a otimização multiobjetivo é realizada em termos de inequações lineares quadráticas.

Enfim, a alocação de zeros vem sendo utilizada em diversos assuntos em sistema de controle, mas não existe na literatura uma parametrização convexa do problema de modificação dos zeros e a otimização das normas H₂ e/ou H_¥ em sistemas de controle automático. Em (Pierri, 1999), os autores conseguem otimizar a norma H_¥ de um sistema de controle através da alocação de zeros, porém, a parametrização do problema em função de uma variável, torna-o não-linear.

Neste trabalho, descreve-se a formulação da otimização deste problema na forma de desigualdade matriciais lineares - LMIs (do inglês, Linear Matrix Inequalities), representando uma formulação convexa do problema. O método proposto é de simples equacionamento em relação a outras técnicas de rastreamento e o principal resultado é que o ótimo global do problema é obtido com pequeno esforço computacional, pois as LMIs podem ser resolvidas usando-se algoritmos de programação linear de convergência polinomial (Boyd et al., 1994). Um exemplo ilustra a metodologia proposta.

2 FORMULAÇÃO DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO PARA O RASTREADOR DE SINAIS

Considere o seguinte sistema linear invariante no tempo descrito na forma de variáveis de estado:

sendo A Î Â^n×n, B₁Î Â ^n×1, B₂Î Â^n×1, C Î Â^1×n, x(t) é o vetor de estados, y(t) é a saída de interesse do sistema, u(t) a entrada de controle e w(t) é uma entrada exógena (do tipo distúrbio ou perturbação).

Considera-se a estrutura ilustrada na Figura 1 para o problema ótimo de rejeição do sinal de perturbação e rastreamento de sinal de controle.

Inicialmente projeta-se o controlador K, que é um compensador H₂, segundo a lei de controle u(t)=-Kx(t). Tal controlador é formulado em termos de LMIs e minimiza a norma H₂ de w(t) para y(t) conforme descrito na Figura 2.

Na etapa seguinte, projeta-se um estimador de Kalman (Gahinet et al., 1995) (Kalman, 1960) para reconstruir os estados e por fim obtêm-se o ganho N e o vetor M, indicados na Figura 1, através de um processo de otimização descrito na forma de LMIs. N e M modificam as posições dos zeros de r(t) para u(t) de forma a otimizar a norma H_¥ entre a saída e(t) e a entrada de controle r(t).

O diagrama de blocos da Figura 1 pode ser descrito através das variáveis de estado x(t) e (t):

sendo:

O sistema (2) pode ser representado na forma compacta,

sendo,

Aplicando-se a Transformada de Laplace no sistema (1), para (0)=0, e realizando-se algumas manipulações algébricas, pode-se determinar a relação entre a saída Y(s) e as entradas W(s) e R(s), conforme descrito em (6):

Considerando-se o sinal de entrada r(t) nulo na equação (6), verifica-se que norma H₂ de w(t) para y(t) pode ser minimizada devido ao projeto inicial do controlador K, que é um compensador H₂; isto implica na minimização do efeito do sinal de perturbação presente na planta ao desempenho da saída do sistema.

Na Figura 1 observa-se a adição do termo Mr(t) na estrutura do estimador, o parâmetro M tem somente a função de alterar os zeros da função de transferência de r(t) para u(t) e não modificar os pólos estabelecidos no projeto inicial do estimador, pois a função de transferência de W(s) para Y(s) não é modificada por N ou M, vide equações (4) e (6). Os pólos do sistema não são modificados, pois A_m em (4) e (6) não dependem de M ou N. Com isso a convergência do estimador não é comprometida.

Para o projeto do rastreador ótimo, considera-se a relação entre o sinal de erro e o sinal de referência descrito em (7), com o sinal de perturbação w(t) nulo

Neste caso, através da modificação dos zeros pode-se projetar um rastreador de sinal minimizando a norma H_¥ entre o sinal de referência e o sinal de erro do sistema. O processo de modificação de zeros não interfere no projeto de rejeição de perturbação, pois segundo (6) a função de transferência de W(s) para Y(s) não depende de B_m. Em (7) utiliza-se a posição dos zeros, implícitos na especificação de N e M em B_m, para o processo de minimização do erro do rastreamento.

Note em (4) que os parâmetros M e N modificam completamente B_m, porém o vetor M modifica apenas a partição inferior de B_m, correspondente aos zeros de r(t) para u(t), sendo que N é um escalar e não modifica os zeros da planta.

3 PROJETO DE UM COMPENSADOR H₂

O problema de otimização da norma H₂ de (A, B₁,B₂,C) ilustrado na Figura 2 consiste em determinar um controlador K de tal forma que a influência da perturbação w(t) na saída y(t) do sistema seja a menor possível. Portanto, deseja-se minimizar a norma H₂ entre a entrada w(t) (perturbação) e a saída y(t) e o projeto do controlador K pode ser obtido através do seguinte problema de otimização descrito na forma de LMIs (Peres, 1997):

sendo Q = Q' e o controlador K é obtido pela expressão: K = YQ^-1, sendo Q e Y soluções ótimas de (8).

Neste caso, foi suposto realimentação de todos os estados e então otimizou-se a norma H₂, após é projetado um estimador (L) para permitir a realimentação apenas da saída. O uso a posteriori do estimador modifica levemente o ótimo obtido em (8).

4 ALOCAÇÃO DE ZEROS

Considerando-se o sistema (A, B₂,C), pode-se projetar um sistema que possibilite a modificação dos zeros de r(t) para u(t) conforme a estrutura ilustrada na Figura 3. Neste processo seleciona-se M e N de modo que os zeros de malha fechada sejam alocados em lugares arbitrários de escolha do projetista, sendo M Î Â^n×1 e N Î Â (Assunção et al., 2002). O sinal u₁(t) é a saída de controle do regulador.

O estimador de estados utilizado no sistema de modificação de zeros é um estimador de Kalman (Kalman, 1960) e é projetado segundo (Gahinet et al., 1994) de modo que não afete no desempenho do sistema.

Considerando a Figura 3, se existir um zero de transmissão de r(t) para u(t), então necessariamente existe um zero de transmissão de r(t) para y(t), a menos que ocorra cancelamento de pólos e zeros. Com isso, a equação característica dos zeros r(t) para u(t) pode ser descrita por (Franklin et al., 1994):

sendo que as soluções, s = z_i, são os zeros modificados de r(t) para u(t).

Os parâmetros M e N permitem a modificação dos zeros de r(t) para u(t) e neste trabalho é tratado o caso SISO. Ainda, neste trabalho os zeros são modificados para otimizar a norma H_¥ do erro de rastreamento.

5 OTIMIZAÇÃO DA NORMA H_¥ UTILIZANDO A MODIFICAÇÃO DE ZEROS

Um sistema dinâmico linear, invariante no tempo e SISO é "pequeno" caso sua função de transferência H(s) possua pequenas magnitudes em todas as freqüências. Uma norma que quantifica esta medida para sistemas é a norma H_¥.

A norma H_¥ do sistema dinâmico próprio H(s), estável, representado na forma de espaço de estados (A_s,B_s,C_s,D_s):

sendo A_s Î Â^n×n, B_s Î Â^n×m, C_s Î Â^p×n e D_s Î Â^p×m supostamente conhecidas, pode ser obtida através do seguinte problema de otimização, descrito na forma de LMIs (Boyd et al., 1994):

A matriz de transferência do sistema é dada por H(s)=C_s(sI - A_s)^-1B_s+D_s.

O problema de otimização da norma H_¥ de H_m=(A_m,B_m,-C_m,D_m) indicado em (7) consiste em determinar o valor dos parâmetros M e N (presentes em B_m e que determinam a posição dos zeros do sistema) que minimizem a norma H_¥ do sistema H_m, isto é, modificar os zeros de tal modo que a norma H_¥ de r(t) para e(t) seja mínima, constituindo-se um rastreador de sinal (Andrea, 2002).

Para o projeto de M e N, utiliza-se a equação (11) para minimizar a norma H_¥ do sistema H_m. Neste instante substitui-se A_m, B_m, -C_m e D_m em (11), o que resulta no seguinte problema de otimização descrito na forma de LMIs (Andrea, 2002):

sendo Q = Q'.

Particionado-se Q na forma

com Q₁₁Î Â^n×n, Q₁₂Î Â^n×n, Q₂₂Î Â^n×n e a equação (4), a equação (12) pode ser reescrita de acordo com a equação (13), sendo M e N as soluções ótimas de (13).

O vetor M e o ganho N determinam a posição dos zeros de r(t) para u(t) e como seus valores são ótimos, então os valores de M e N encontrados minimizam a norma H_¥ de H_m = (A_m,B_m,-C_m,D_m).

A norma H_¥ é o maior valor da resposta em freqüência do sistema, podendo existir uma faixa de freqüência com grande atenuação e outra com menor grau de atenuação. Para que o rastreador opere adequadamente, a norma H_¥ do sistema H_m deve ser atenuada para a freqüência do sinal de referência. Porém esta norma não é totalmente atenuada para todo o espectro de freqüência, e conseqüentemente o rastreador não funcionará para qualquer tipo de sinal a ser rastreado. É interessante que o rastreador execute suas funções segundo uma faixa de freqüência contida nas especificações de projeto. Para isso, propõe-se o rastreador com peso na freqüência.

6 PROJETO DO RASTREADOR COM PESO NA FREQUÊNCIA

A utilização de peso na freqüência em sistemas de controle tem como objetivo atingir especificações de projeto em malha fechada. Pode-se verificar a utilização de pesos em freqüência descritos na forma de desigualdades matriciais bilineares - BMIs (do inglês, Bilinear Matrix Inequalities) para redução de modelos em (Valentin e Duc, 1997). Para o projeto do rastreador deseja-se encontrar a solução global que otimize o problema descrito a seguir:

sendo W(s) = (A_w,B_w,C_w,D_w) o peso na freqüência de entrada, V(s) = (A_v,B_v,C_v,Dv) o peso na freqüência de saída e considera-se H_m = (A_m,B_m,-C_m,D_m) uma realização do sistema linear invariante no tempo e estável indicado em (7). Na Figura 4 é ilustrada a estrutura de inclusão de peso na freqüência:

Pode-se representar o sistema indicado na Figura 4 através de variáveis de estado em função de x_m(t), x_w(t) e x_v(t), através das equações abaixo:

Com isso, uma possível realização em espaço de estado de = W(s)H_m(s)V(s) é:

Para sistemas MIMO deve existir peso na freqüência nas saídas e nas entradas, porém para sistemas SISO é necessário incluir peso somente em um dos lados, pois o peso na entrada e na saída são equivalentes. Este trabalho restringe-se ao sistema SISO.

Para o projeto do rastreador com peso na freqüência, substitui-se , , e de (15) na equação (11). Isto resulta no problema de otimização descrito em (16), que é equacionado na forma de LMIs. Deste processo determina-se o ganho N e o vetor M, e estes parâmetros minimizam a norma H_¥ de r(t) para e(t) (rastreador de sinais).

A matriz Q é particionada da seguinte forma Q_ij = Q_ij', i, j= 1, 2, 3,4 e as matrizes A_w, B_w e C_w que representam a dinâmica do filtro, são particionadas como segue:

O vetor M e o ganho N são soluções ótimas de (16) e minimizam a norma H_¥ entre o sinal de referência e o sinal de erro do sistema considerando peso na freqüência.

Os filtros utilizados no equacionamento do rastreador somente são usados em projeto com o objetivo de ajustar os parâmetros M e N para uma determinada faixa de freqüência, neste contexto o processo de otimização da posição dos zeros descrito na forma de LMIs considera a dinâmica do filtro para ajustar a operação do rastreador em uma determinada faixa de freqüência. Mas na implementação ou simulação do sistema estes filtros são descartados.

7 EXEMPLO DE APLICAÇÃO

Neste exemplo considera-se um sistema linear invariante no tempo de terceira ordem e projeta-se um rastreador com rejeição à perturbação que está presente em sua estrutura. Seja o sistema descrito na forma de variáveis de estado dado por:

sendo x(t) o vetor de estados, u(t) o sinal de controle e w(t) é um sinal de perturbação acrescentado ao sistema.

Como especificação de projeto, o rastreador deve operar em sinais de baixa freqüência (até 10 rad/s), então é proposto o filtro W₁(s) com ordem igual ao dobro da ordem do sistema, a fim de que se possa determinar uma realização mínima para o sistema aumentado.

sendo:

O diagrama de Bode de W₁ ilustrado na Figura 5 demonstra que o filtro projetado atende as especificações de projeto.

Utilizando-se a estrutura dada na Figura 1 para o sistema descrito em (17), projeta-se um controlador K para minimizar a norma H₂ de w(t) para y(t) utilizando-se a equação (8), depois um estimador de estados de Kalman e na seqüência projeta-se o rastreador para baixas freqüências de até 10 rad/s minimizando-se norma H_¥ de r(t) para e(t) utilizando o projeto de modificação de zeros com peso na freqüência, conforme descrito em (16).

O compensador H₂ projetado para este sistema, bem como o ganho L do estimador de Kalman são:

A norma H₂ de w(t) para y(t) atingida no projeto é 6, 5449×10^-13, o que implica em uma grande atenuação do sinal de perturbação. A Figura 6 ilustra a resposta em freqüência da função transferência Y(s)/W(s), módulo sem uso de dB.

Na modificação de zeros minimiza-se a norma H_¥ de r(t) para e(t) para sinais de baixa freqüência (até 10 rad/s), sendo e(t) o erro entre a saída e a entrada, afim de constituir um seguidor de referência. O valor da norma H_¥ do sistema tomando com base todo o espectro de freqüência é 6, 68; enquanto para a faixa de freqüência de operação especificada em projeto foi 0, 02, isto implica que para a faixa de freqüência especificada em projeto, o rastreador opera adequadamente.

A Figura 7 ilustra a resposta em freqüência de E(s)/R(s) descrito em (7) e pode-se verificar que a norma H_¥ do projeto na faixa de freqüência de operação (até 10 rad/s) atende às características para um sistema rastreador de sinal e os parâmetros de modificação de zeros obtidos são:

O problema foi formulado de forma a alcançar o ótimo global que proporcionou uma elevadíssima atenuação da perturbação. Para isto, os ganhos K, L, N e M são elevados. Para se obter ganhos menores, deve-se utilizar uma otimização subótima que ainda é objeto de pesquisas dos autores.

A resposta em freqüência de Y(s)/R(s) é ilustrado na Figura 8. Este diagrama é outra forma de verificar o funcionamento do rastreador para baixas freqüências, pois observa-se que o sistema apresenta ganho unitário para a faixa de freqüência especificada em projeto. A Figura 8 também apresenta o diagrama de fase, onde constata-se que o sistema não possui deslocamento de fase para sinais de baixa freqüência (até 10 rad/s).

Para efeito de comparação, ilustra-se na Figura 9 a resposta em freqüência da função de transferência de E(s)/R(s) para duas situações de projeto para o rastreador: em princípio considera-se o peso na freqüência através da presença do filtro, (16), e em seguida, projeta-se o controlador sem a inclusão do filtro, (13), ou seja, sem peso na freqüência.

Para simulação considera-se um sinal de entrada r(t) = sen(10t) e um sinal de perturbação w(t) que apresenta amplitudes aleatórias e para a simulação considera-se que a máxima amplitude deste sinal é 10, 0.

Para o sinal de perturbação presente no sistema foi projetado em (8) o compensador H₂, dado em (18), que atenuou totalmente o sinal de perturbação, anulando o seu efeito no sistema. Utilizando a modificação de zeros projetou-se um rastreador de sinal para as entradas: r(t) e w(t), cujo M e N são dados em (19). Tem-se o resultado de simulação ilustrado na Figura 10.

Para este exemplo os zeros do sistema são: -0,14; -6,629; -289,17±j289, 36 e os pólos em malha fechada: -0,14; -6,469; -26,47±j369, 15;-289, 17±j289, 21.

Note na Figura 11 que os quatro zeros praticamente cancelaram quatro pólos. A solução ótima do problema de rastreamento, na forma como foi formulada, levou a estes cancelamentos. Ainda, se a função de transferência de R(s) para Y(s) for igual a 1 (na faixa de freqüência), este seria o rastreamento ideal.

Neste exemplo foi abordado um rastreador para sinais de baixa freqüência, mas a metodologia proposta neste trabalho permite executar projetos para sistemas rastreadores em qualquer outra faixa de freqüência, utilizando-se um filtro passa-faixa no projeto, ou rastreadores para sinais de alta freqüência, utilizando-se um filtro passa-alta no projeto (Andrea, 2002).

8 CONCLUSÃO

Neste trabalho é proposta uma metodologia para o problema de um rastreador de sinais em sistemas de controle. Considerando-se o sistema ilustrado na Figura 1, pode-se otimizar a norma H₂ de w(t) para y(t) e também a norma de H_¥ de r(t) para e(t). Como existe uma atenuação do sinal de perturbação no sistema através do compensador H₂, e minimiza-se a norma H_¥ entre o sinal de referência e o sinal de erro, de modo que esta norma atinja valores de pequenas grandezas, cria-se um rastreador de freqüência.

No projeto do rastreador ótimo com rejeição a perturbação, os pólos são responsáveis pela atenuação do sinal de perturbação, enquanto os zeros proporcionam o rastreamento, estando desacoplado o primeiro processo do segundo.

A inclusão de peso na freqüência para o projeto do rastreador é importante, pois permite ao projetista criar um seguidor de referência que funcione em uma faixa de freqüência desejada, inclusas nas especificações de projeto, o que não ocorre em projetos sem peso na freqüência, por exemplo no projeto via modelo interno (Dorf, 2001).

A questão da robustez do rastreamento frente a variações paramétricas, que é contemplado no projeto via modelo interno, está sendo investigado pelos autores tendo em vista que o método proposto baseia-se em LMIs e permite a inclusão de incertezas paramétricas.

O projeto do filtro é de extrema importância neste trabalho, pois o mesmo determina as freqüências que serão mais importantes na construção do rastreador.

Os métodos de projeto são equacionados na forma de LMIs, eliminando a natureza não-linear do problema (Pierri, 1999). Assim, este projeto pode ser facilmente resolvido utilizando-se algoritmos de convergência polinomial ((Gahinet et al., 1995), (Oliveira et al., 1997)) disponíveis na literatura.

9 AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem aos revisores pelos comentários úteis e construtivos e também à FAPESP, ao CNPq e à FUNDUNESP pelo apoio financeiro a esta pesquisa.

Artigo submetido em 30/04/2003

1a. Revisão em 5/05/2003; 2a. Revisão 6/02/2004

Aceito sob recomendação do Ed. Assoc. Prof. Liu Hsu

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  11 Fev 2005
• Data do Fascículo
  Dez 2004

Histórico

• Aceito
  06 Fev 2004
• Revisado
  05 Maio 2003
• Recebido
  30 Abr 2003