Proposta de um modelo para desagregar projeções demográficas de grandes áreas em seus componentes geográficos

Proposal for a model for the desaggregation of demographic projections relating to large areas into their geographical components

ARTIGO ORIGINAL

Proposta de um modelo para desagregar projeções demográficas de grandes áreas em seus componentes geográficos

Proposal for a model for the desaggregation of demographic projections relating to large areas into their geographical components

Célia Landmann Szwarcwald; Euclides Ayres de Castilho

Centro de Informações para a Saúde/Fundação Oswaldo Cruz – Av. Brasil, 4.365 – 21040 – Rio de Janeiro, RJ – Brasil

RESUMO

Com o objetivo de tabular informações de mortalidade no Estado do Rio de Janeiro (Brasil), segundo município, e construir indicadores regionais (municipais), foi estudada a questão metodológica da estimativa dos denominadores; ou seja, de procedimentos para estimar populações de subáreas geográficas em anos posteriores ao censo de 1980. No Brasil, as estimativas oficiais de populações de subdivisões geográficas são feitas pela Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística pelo método localmente conhecido como "método A_iB_i". Analisa-se este procedimento e propõe-se um modelo matemático alternativo que satisfaz a condição de fechamento, isto é, a soma das alternativas para as áreas menores é igual a estimativa da população total. Uma aplicação do modelo foi feita para projetar as populações dos municípios do Estado do Rio de Janeiro, de 1981 a 1990.

Descritores: Estimativas de população, métodos. Projeções de população, métodos.

ABSTRACT

The problem of the preparation of estimates of the total population of geographic subdivisions after the 1980 census is studied with a view to the tabulation on mortality data of Rio de Janeiro State (Brazil) by municipal districts and the estimation of regional mortality rates. In Brazil, the calculation of the official population estimates is undertaken by the Brazilian Institute of Geography and Statistics. The method employed to estimate the population of geographic subdivisions is known as the "A_iB_i method". This procedure is analysed and an alternative mathematical model is proposed that also satisfies the closure condition, that is, the projected values for the sum of the segments up to the total population projection. As an application of the proposed model, estimates of the population of the municipal districts of Rio de Janeiro State were prepared covering the period from 1981 to 1990.

Keywords: Population estimates, methods. Populations projection, methods.

INTRODUÇÃO

Subordinados aos propósitos de tabular informações de mortalidade no Estado do Rio de Janeiro desagregadas por município, defrontamo-nos com o problema teórico da estimativa dos denominadores, ou seja, da projeção de tamanhos de populações de subáreas geográficas em anos posteriores ao censo de 1980.

Diferentes métodos são aplicados, em geral, a estimativas de populações de áreas menores, como sub-regiões de um estado, municípios e distritos. Mesmo em países que contam com bom sistema de registro civil, onde as estimativas anuais de crescimento para anos posteriores ao censo são feitas pelo método direto de componentes⁹ (pelas estatísticas de nascimentos, mortes e migração), a menor disponibilidade de dados locais, em particular registros de migração interna, apresenta-se como problema a requerer procedimentos não usuais.

Alguns métodos foram propostos para estimar o componente local de migração interna, baseados em séries de dados locais administrativos, sob a suposição que os dados de migração interna são relacionados com determinado segmento da população⁹.

Ainda envolvendo o uso de uma ou mais séries de dados locais (tais como ocupação das escolas, número de instalações elétricas, de gás ou água, auto-registro, estatísticas de nascimento e morte), outros métodos são também utilizados para estimar diretamente as populações das subáreas, ao invés de meramente o componente de migração⁹.

Em países onde há ausência ou deficiências na cobertura de dados locais em subáreas geográficas, recorre-se ao uso de modelos matemáticos, apesar de reconhecidamente mais imprecisos¹¹. As funções mais comumente empregadas para este propósito são retas e exponenciais, apesar de que outras curvas também sejam ocasionalmente utilizadas, como a logística ou polinômios de maior grau.

A princípio, todos os modelos matemáticos devem estar sujeitos a restrição de fechamento, isto é, a soma das estimativas das áreas menores tem que ser igual ao resultado obtido para a estimativa da população total. Quanto à interpolação linear, esta é usada não somente para a população mas também para os seus segmentos cuja propriedade de fechamento é sempre satisfeita. No entanto, sabe-se que a projeção linear só deve ser utilizada quando existe razão de se acreditar que o tamanho da população varia uniformemente no período considerado.

No que se refere à projeção geométrica, geralmente são encontradas taxas de crescimento para as subpopulações diferentes da obtida para a população total. Por esta razão, a interpelação geométrica não satisfaz a restrição de fechamento e um ajuste faz-se necessário sempre que este método é empregado.

No Brasil, tanto as estimativas oficiais de populações de subdivisões geográficas como as estimativas de todos os municípios do País, para anos terminados em 5, são feitas pela Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (FIBGE) com um método localmente conhecido como o "método A_iB_i"¹. Amplamente divulgado por Madeira⁷, este método objetiva estimar populações de áreas menores, com o compromisso de fechamento, sob a suposição que os tamanhos das subpopulações são uma função linear da estimativa da população total.

No presente trabalho, analisa-se o chamado método A_iB_i e propõe-se um modelo matemático alternativo para calcular "subprojeções", ou seja, estimar populações de sub-regiões que totalizem em cada ano o valor estimado para a população total.

Duas formas do modelo geral foram desenvolvidas e aplicadas à projeção das populações das meso-regiões do Estado do Rio de Janeiro para o ano de 1980, utilizando-se os dados dos censos de 1960 e 1970. A comparação dos modelos propostos com o método A_iB_i foi feita pelo confronto entre os valores projetados e aqueles observados no censo de 1980.

O modelo de melhor adequação foi então aplicado para projetar as populações dos municípios do Estado do Rio de Janeiro, de 1981 a 1990.

MÉTODO A_iB_i

Este método parte da pressuposição de que a população de cada subárea i – denotada por P_i(t) – é expressa como uma regressão linear da subpopulação P(t), para todo tempo t. Matematicamente:

Se t₀ e t₁ correspondem a dois anos censitários, a solução é dada por:

Obviamente, como e a propriedade de fechamento é sempre cumprida.

Um problema que surge, além de outros, da utilização do método A_iB_i, é que o modelo de crescimento da subpopulação fica determinado pelo da população total. Assim é que quando a interpelação linear é usada para a população total, as subpopulações são conseqüentemente projetadas linearmente, o que nem sempre é uma suposição apropriada. Vale reconhecer, contudo, que este procedimento carrega consigo a vantagem de independência na seqüência de desagregações sucessivas.

Quando se supõe que a população total tem um modelo geométrico de crescimento, , onde l é a taxa de crescimento, então:

Ou seja, a taxa de crescimento da subpopulação P_i não é proporcional ao seu tamanho, argumento que, em geral, é inválido.

MODELO PROPOSTO

O procedimento ora proposto tem o objetivo de projetar populações de subáreas em anos posteriores ao censo demográfico, com a restrição de que as subpopulações devem totalizar a população de toda a área.

Para sua proposição, consideremos conhecidas as populações de k subáreas geográficas nos anos censitários t₀ e t₀ + 10 e definamos:

P_i(t) = população da subárea i no ano t₀ + t, t ³0. i = 1, ..., k.

P(t) = população da área total no ano t₀ + t, t³0.

A restrição é traduzida matematicamente por:

O modelo geral de crescimento de uma população é dado por uma equação diferencial do tipo:

= F(N(t) ).N(t), onde N(t) é a população notempo t.

Em geral a função F é considerada constante quando obtemos o modelo de crescimento geométrico ou é uma função linear decrescente de N, correspondente ao modelo logístico de crescimento.

Consideremos que o modelo de crescimento para a população da área toda P(t) é definido pela equação diferencial:

O valor do incremento anual na população total, dado por

é estabelecido através do modelo (2) e de constantes calculadas a partir de observações nos dois anos censitários t₀ e t₀+ 10.

Da mesma forma, a partir da proposição de uma curva teórica de crescimento para a população da subárea i.

onde os parâmetros são estimados através de observações feitas em anos censitários, os valores de F_i,t assim definidos:

Para satisfazer a condição de fechamento (1), as estimativas requerem ajustamento. Sendo assim, propõe-se que para cada ano t₀ + t a população da subárea i seja obtida através da equação de diferenças:

A demonstração que o modelo definido em (6) satisfaz a restrição (1) do problema, é feita de forma indutiva:

i) Para t = 0

Então:

ii) Suponhamos válido para t. Então:

A utilização do modelo (6) é feita de maneira recursiva. Primeiramente, os valores de (1) i = 1, ..., k e P(1) são obtidos através dos modelos propostos respectivamente para o crescimento das subáreas i e da área total. Nota-se que os valores de (1) não totalizam P(1). A partir das equações (3) e (5) são obtidos os valores de DP₀ e F_i,0, i = 1, ..., k e substituindo-os no modelo (6) são encontrados os valores de P_i(1), cuja soma é P(1). Recursivamente, as estimativas de P_i(2) são feitas através de DP₁ F_i,1 e P_i(1) e assim sucessivamente.

O procedimento geral foi desenvolvido com dois casos de funções particulares f e f₁, comumente usadas em modelos de crescimento de populações.

Primeiro Caso:

Suponhamos primeiramente modelos de crescimento geométrico tanto para população da área toda como para a subárea i.

Consideremos, então que:

Então DP_t = P(t+1) - P(t) = q P(t) onde

q = e^r-1 e F_i,t = = q_i onde

q_i = e^ri - 1

Substituindo os valores de P_t e F_i,t em (6), a fórmula recursiva de obtenção de P_i(t), temos:

Obtém-se primeiramente o valor de P_i(1) a partir de P_i(0):

O valor de P_i(2) a partir de P_i(1) e assim sucessivamente.

Segundo Caso:

Suponhamos agora que a população da área total cresce geometricamente (i.e. P(t) = P(0) e^r(t-t0)) enquanto que a população de cada subárea tem um "fator inibidor" ao seu crescimento que é a população total P(t), sendo definida pela equação diferencial:

Em estudos de dinâmicas de populações, este modelo representa o crescimento de espécies competitivas⁸. No nosso caso, as espécies são as subpopulações competindo pelo tamanho limitado que é o da população total. O parâmetro a_i representa a taxa natural de crescimento da subpopulação i caso não houvesse a presença de outros fatores, como as migrações internas.

Para obter a solução diferencial acima proposta, façamos:

E integrando-se, obtemos:

Para satisfazer a condição inicial = P_i(0) no ponto t = t₀, obtemos:

(7) = P_i(0) exp{a_i(t-t₀) - b_ir(P(t) - P(0) )}

que é a solução.

O parâmetro a_i pode ser estimado diretamente pela diminuição entre a taxa de natalidade e a taxa de mortalidade para cada subárea em ano censitário, já que ele representa a taxa natural de crescimento caso não houvesse a presença do "fator inibidor".

O parâmetro b_i é obtido a partir da seguinte equação:

Do modelo (7) deduzimos o valor de F_i,t:

As subpopulações P_i(t) são estimadas através da equação recursiva (6).

ADEQUAÇÃO DOS MODELOS

Foram testadas empiricamente as adequações de três modelos: o primeiro caso do modelo proposto, que denominamos de Modelo 1: o segundo caso de Modelo 2 e o método A_iB_i de Modelo A_iB_i.

Para os testes foram utilizadas as populações das meso-regiões do Estado do Rio de Janeiro:

i) Fluminense do Grande Rio

ii) Industrial do Médio Paraíba

iii) Litoral Sul

iv) Baixadas Litorâneas

v) Serrana

vi) Norte

vii) Município do Rio de Janeiro

Os dados populacionais observados nos censos de 1960 e 1970¹ foram utilizados para os cálculos dos parâmetros dos três modelos. As subpopulações das regiões do Estado foram então projetadas para o ano de 1980 pelos três métodos diferentes e comparados com os valores observados no censo de 1980⁴. (Tabela 1). Supôs-se sempre uma taxa de crescimento anual para o conjunto do Estado de 2,25% da década de 70-80, estimativa esta resultante da projeção linear das taxas de crescimento observadas para as décadas de 1950-60 e 1960-70.

Na aplicação do Modelo 2, os dados de nascimento foram obtidos pelo censo de 1970³, e corrigidos pelo fator resultante da aplicação do método de Brass² de correção da fecundidade no Estado. Os dados de óbito regionais para o ano de 1970 foram obtidos pela publicação da Fundação Instituto de Desenvolvimento Econômico e Social (FIDERJ)⁶ e corrigidos conjecturando-se uma cobertura do sistema de 95%.

O critério escolhido para avaliação do grau de discrepância entre o modelo e os dados observados baseou-se na estimativa de uma regressão linear entre os valores projetados pelo modelo e os valores observados para o ano de 1980. Na suposição de valores projetados idênticos aos observados, o coeficiente angular b seria igual a 1 e o coeficiente linear a seria igual a 0.

De posse das estimativas de â e para os três modelos, considerou-se as hipóteses de que b = 1 e a = 0, testadas pelas estatísticas t de Student¹⁰. Os resultados estão dispostos na Tabela 2. Segundo este critério, o "melhor" foi o Modelo 2, que mostrou a melhor aceitação para as hipóteses consideradas, pelo menos no que tange aos dados do Rio de Janeiro. Seguiu-se o Modelo 1 também demonstrando aceitação. A hipótese nula H: b = 1 foi rejeitada na aplicação do método A_iB_i com valor da estatística t maior que o valor crítico (p<5%).

ESTIMATIVAS DAS POPULAÇÕES DOS MUNICÍPIOS DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO: 1981 A 1990

Tendo sido o Modelo 2 aquele que mostrou melhor adequação aos dados observados, escolheu-se este método para projetar as populações dos municípios do Estado do Rio de Janeiro no período de 1981 a 1990.

Foi confeccionado um aplicativo em linguagem BASIC que encontra-se à disposição no Centro de Informações para a Saúde/ Fundação Oswaldo Cruz (FIOCRUZ).

Supôs-se para a população total um modelo geométrico de crescimento, com uma taxa de crescimento de 1,64% ao ano, na década de 1980-90. Esta estimativa é a projeção das taxas de crescimento encontradas para o Estado nas décadas de 1950-60, 1960-70 e 1970-80.

Para estimativas dos parâmetros a_i, as taxas de natalidade municipais foram obtidas pelo censo de 1980⁴ enquanto os dados de óbitos municipais, para o ano de 1980, o foram pelas Estatísticas de Registro Civil⁵. Tanto o número de óbitos como o de nascidos vivos foram corrigidos segundo método proposto em trabalho anterior³.

As estimativas das populações dos municípios do Estado do Rio de Janeiro, no período de 1981 a 1990, resultantes da aplicação do segundo caso do modelo proposto, encontram-se dispostas na Tabela 3. As subpopulações totalizam a cada ano a população projetada para o Estado.

AGRADECIMENTOS

Aos redatores da Revista de Saúde Pública pelas valiosas sugestões.

Recebido para publicação em 30/6/1988

Reapresentado em 7/6/1989

Aprovado para publicação em 8/6/1989.

Parte do projeto "Perfil de Mortalidade no Estado do Rio de Janeiro no período de 1976 a 1984, financiado pela Financiadora de Estudos e Projetos (FINEP) (Processo 43.86.0020.00/40)

• 1 . ANUÁRIO ESTATÍSTICO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 1981. (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro), Rio de Janeiro, 1981.
• 2. BRASS, W. et al. The demography of tropical Africa. Princeton, N.J., Princeton University Press, 1968.
• ³
  FUNDAÇÃO IBGE. Censo demográfico: Rio de Janeiro. Rio de Janeiro, 1973. v.1, t.1. (VIII Recenseamento Geral do Brasil – 1970).
• ⁴
  FUNDAÇÃO IBGE. Censo demográfico: Rio de Janeiro. Rio de Janeiro, 1983, v.1, t.4, n.18. (IX Recenseamento Geral do Brasil – 1980).
• ⁵
  FUNDAÇÃO IBGE. Estatísticas do registro civil: 1980. Rio de Janeiro, 1981. v.7.
• 6. FUNDAÇÃO INSTITUTO DE DESENVOLVIMENTO ECONÔMICO E SOCIAL (FIDERJ/DIGEST/ SIPE). Estado do Rio de Janeiro: estatísticas do sistema de saúde. Rio de Janeiro, 1977.
• 7. MADEIRA, J.L. & SIMÕES, C.C.S. Estimativas preliminares da população urbana e rural segundo as Unidades da Federação de 1960/1980 por urna nova metodologia. Rev. bras. Estat., Rio de Janeiro, 33(129):3-11, 1972.
• 8. PIELOU, E.C. An introduction to mathematical ecology. New York, John Wiley & Sons, 1969.
• 9. SHRYOCK, H.S. et al. Population estimates. In: U.S. Bureau of the Census. The methods and materials of demography. 3^rd ed., Washington, D.C., U.S. Government Printing-Office, 1975. p.725-70.
• 10. SNEDECOR, G.W. & COCHRAN, W.G. Statistical methods. 6^th ed. Iowa, The Iowa State University Press, 1967.
• 11. ZITTER, M. & SHRYOCK, H.S. Accuracy of methods of preparing postcensal estimates for states and local areas. Demography, 1(1):227-41, 1964.

1

LINS, I.B. – Um método que estima população para áreas menores – uma aplicação prática ao caso brasileiro. [Dados inéditos].

2

Entende-se

log por logaritmo neperiano.

3

Szwarcwald, C.L. – A mortalidade infantil no Brasil de 1977 a 1985: uma proposta de método de cálculo a partir das estatísticas vitais. [Dados inéditos]

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  23 Nov 2004
• Data do Fascículo
  Ago 1989

Histórico

• Aceito
  08 Jun 1989
• Recebido
  30 Jun 1988
• Revisado
  07 Jun 1989