Efeito da falta de normalidade em testes de homogeneidade das variâncias

Conagin, Armando; Nagai, Violeta; Igue, Toshio; Ambrósio,

doi:10.1590/S0006-87051993000200010

Resumos

Em experimentos de campo, é freqüente o aparecimento de tratamentos com variâncias heterogêneas, decorrente, muitas vezes, do tipo dos tratamentos que estão sendo estudados. Os dados desses ensaios são usualmente submetidos à análise da variância, cuja aplicação correta exige que as observações tenham uma variância comum. A falta de homogeneidade pode surgir, também, segundo alguns autores, quando, os erros experimentais têm distribuição assimétrica. A falta de normalidade dos erros tem sido considerada como um fator que pode distorcer os resultados de testes empregados para verificar a hipótese de igualdade de médias ou das variâncias. Para avaliar a influência da falta de normalidade sobre os testes de Bartlett, Cochran e Hartley (Fmáx), com e sem correção para blocos, e os de Han e de Shukla, também indicados para verificar a hipótese de nulidade das variâncias homocedásticas, foram simulados 6.000 experimentos em blocos ao acaso. Na simulação, foram considerados dois níveis de precisão experimental, três magnitudes de efeitos de blocos e cinco níveis de assimetria e curtose, incluindo assimetria zero e curtose três. Em todos os testes, à medida que se aumentou a assimetria positiva e a curtose, cresceu a porcentagem de rejeição da hipótese de variâncias iguais, sendo esse aumento maior no teste de Shukla e nos de Bartlett, Cochran e Fmáx aplicados sem a correção para blocos, principalmente quando o efeito de blocos foi pequeno. As porcentagens de rejeição, pelo teste de Han, nos diferentes níveis de assimetria e curtose, não diferiram das obtidas pelo Fmáx, com correção, e estiveram próximos dos resultados dos testes de Bartlett e Cochran, feitos também com correção; nestes, as porcentagens de rejeição da hipótese de variâncias iguais foram superiores à esperada, de 5%, quando os coeficientes de assimetria e de curtose foram maiores que 1,11 e 4,04 respectivamente. Quando o efeito de blocos foi pequeno, os testes sem correção superestimaram as porcentagens de rejeição da hipótese de nulidade de variâncias iguais.

testes de homogeneidade das variâncias; assimetria; curtose

The mean and standard deviation of distributions with five different levels of assimetry and kurtosis were used to simulate 6,000 experiments, in a randomized complete block design with five treatments and six replications, considering two levels of precision and three levels of block effects. The tests of homogeneity of variance proposed by Han and Shukla, for randomized block design, and those of Bartlett, Cochran and Hartley, developed for one-way classification were applied to the simulated data. The last three tests were also used after correcting for block effects. The amount of rejection of the null hypothesis increased with the levels of assimetry and kurtosis in all tests. The percentage of rejection of the hypothesis of homogeneity of variances using Shukla's test and those of Bartlett, Cochran and Hartley, without block correction, were strongly affected by non-normality mainly when the block effect was small. The rejection of the null hypothesis when used Han's test or those of Bartlett, Cochran and Hartley tests, adjusted for block effects, were larger than 5% when the coefficients of assimetry and kurtosis were higher than 1.11 and 4.04 respectively.

tests of homogeneity of variances; assimetry; kurtosis

XII. METODOLOGIA E TÉCNICAS EXPERIMENTAIS

Efeito da falta de normalidade em testes de homogeneidade das variâncias¹ 1 Trabalho apresentado no 4 ° Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação Agronômica e 36, Reunião Anual da Região Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria, realizados em Goiânia (GO), de 15 a 19 de julho de 1991. Com apoio financeiro do CNPq.

Effect of non-normality on testes of equality of variances

Armando Conagin^I; Violeta Nagai^II; Toshio Igue^II; Luís A. Ambrósio^II

^IPesquisador Científico, aposentado, Instituto Agronômico (IAC), Caixa Postal 28, 13001-970 Campinas (SP)

^IISeção de Técnica Experimental e Cálculo, IAC

RESUMO

Em experimentos de campo, é freqüente o aparecimento de tratamentos com variâncias heterogêneas, decorrente, muitas vezes, do tipo dos tratamentos que estão sendo estudados. Os dados desses ensaios são usualmente submetidos à análise da variância, cuja aplicação correta exige que as observações tenham uma variância comum. A falta de homogeneidade pode surgir, também, segundo alguns autores, quando, os erros experimentais têm distribuição assimétrica. A falta de normalidade dos erros tem sido considerada como um fator que pode distorcer os resultados de testes empregados para verificar a hipótese de igualdade de médias ou das variâncias. Para avaliar a influência da falta de normalidade sobre os testes de Bartlett, Cochran e Hartley (F_máx)_, com e sem correção para blocos, e os de Han e de Shukla, também indicados para verificar a hipótese de nulidade das variâncias homocedásticas, foram simulados 6.000 experimentos em blocos ao acaso. Na simulação, foram considerados dois níveis de precisão experimental, três magnitudes de efeitos de blocos e cinco níveis de assimetria e curtose, incluindo assimetria zero e curtose três. Em todos os testes, à medida que se aumentou a assimetria positiva e a curtose, cresceu a porcentagem de rejeição da hipótese de variâncias iguais, sendo esse aumento maior no teste de Shukla e nos de Bartlett, Cochran e F_máx aplicados sem a correção para blocos, principalmente quando o efeito de blocos foi pequeno. As porcentagens de rejeição, pelo teste de Han, nos diferentes níveis de assimetria e curtose, não diferiram das obtidas pelo F_máx, com correção, e estiveram próximos dos resultados dos testes de Bartlett e Cochran, feitos também com correção; nestes, as porcentagens de rejeição da hipótese de variâncias iguais foram superiores à esperada, de 5%, quando os coeficientes de assimetria e de curtose foram maiores que 1,11 e 4,04 respectivamente. Quando o efeito de blocos foi pequeno, os testes sem correção superestimaram as porcentagens de rejeição da hipótese de nulidade de variâncias iguais.

Termos de indexação: testes de homogeneidade das variâncias, assimetria, curtose.

ABSTRACT

The mean and standard deviation of distributions with five different levels of assimetry and kurtosis were used to simulate 6,000 experiments, in a randomized complete block design with five treatments and six replications, considering two levels of precision and three levels of block effects. The tests of homogeneity of variance proposed by Han and Shukla, for randomized block design, and those of Bartlett, Cochran and Hartley, developed for one-way classification were applied to the simulated data. The last three tests were also used after correcting for block effects. The amount of rejection of the null hypothesis increased with the levels of assimetry and kurtosis in all tests. The percentage of rejection of the hypothesis of homogeneity of variances using Shukla's test and those of Bartlett, Cochran and Hartley, without block correction, were strongly affected by non-normality mainly when the block effect was small. The rejection of the null hypothesis when used Han's test or those of Bartlett, Cochran and Hartley tests, adjusted for block effects, were larger than 5% when the coefficients of assimetry and kurtosis were higher than 1.11 and 4.04 respectively.

Index terms: tests of homogeneity of variances, assimetry, kurtosis.

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Recebido para publicação em 26 de maio e aceito em 1 de outubro de 1993.

BARTLETT, M.S. Properties of sufficiency and statistical tests. Proceedings of the Royal Society of London, serie A, London, 160:268-282, 1937.
BOX, G.E.P. Non-normality and tests on variances. Biometrika, London, 40:318-335, 1953.
BOX, G.E.P. Some theorems on quadratic forms applied in the study of analysis of variance problems: I. Effect of inequality of variance in the one-way classification. Annals of Mathematical Statistics, Baltimore, 25:290-302, 1954.
COCHRAN, W.G. The distribution of the largest of a set of estimated variances as a fraction of their total. Annals of Eugenics, London, 22(11):47-52, 1947.
COCHRAN, W.G. & COX, G.M. Experimental designs. 2.ed. London, John Wiley, 1957. 611p.
CONAGIN, A. Uso do teste de Bartlett nos delineamentos fundamentais. In: SEMINÁRIOS DE ESTATÍSTICA APLICADA, 3., Piracicaba, 1950. Campinas, Instituto Agronômico, 1950. p.109--113.
HAN, C.-P. Testing the homogeneity of variances in a two-way classification. Biometrics, Tucson, 25(1):153-158, 1969.
HARTLEY, H.O. The use of range in analysis of variance. Biometrika, London, 37:271-280, 1950.
NAGAI, V.; CONAGIN, A. & IGUE, T. Sensibilidade de diferentes testes de homogeneidade das variâncias. Revista de Agricultura, Piracicaba, 66(1):65--76,1991.
PIMENTEL GOMES, F. Curso de estatística experimental. 11.ed. São Paulo, Nobel, 1985. 466p.
SHUKLA, G.K. An invariant test for the homogeneity of variances in a two-way classification. Biometrics, Raleigh, 28(4):1063-1072, 1972.
WADA, R.S. A questão da heterocedasticia na comparação de duas médias. Piracicaba, 1985. 108p. Dissertação (Mestrado em Agronomia) - ESALQ--USP, 1985.

¹

Trabalho apresentado no 4

^° Simpósio de Estatística Aplicada à Experimentação Agronômica e 36, Reunião Anual da Região Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria, realizados em Goiânia (GO), de 15 a 19 de julho de 1991. Com apoio financeiro do CNPq.

Datas de Publicação

Publicação nesta coleção
16 Out 2007
Data do Fascículo
1993

Histórico

Aceito
01 Out 1993
Recebido
26 Maio 1993

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[1] BARTLETT, M.S. Properties of sufficiency and statistical tests. Proceedings of the Royal Society of London, serie A, London, 160:268-282, 1937.

[2] BOX, G.E.P. Non-normality and tests on variances. Biometrika, London, 40:318-335, 1953.

[3] BOX, G.E.P. Some theorems on quadratic forms applied in the study of analysis of variance problems: I. Effect of inequality of variance in the one-way classification. Annals of Mathematical Statistics, Baltimore, 25:290-302, 1954.

[4] COCHRAN, W.G. The distribution of the largest of a set of estimated variances as a fraction of their total. Annals of Eugenics, London, 22(11):47-52, 1947.

[5] COCHRAN, W.G. & COX, G.M. Experimental designs. 2.ed. London, John Wiley, 1957. 611p.

[6] CONAGIN, A. Uso do teste de Bartlett nos delineamentos fundamentais. In: SEMINÁRIOS DE ESTATÍSTICA APLICADA, 3., Piracicaba, 1950. Campinas, Instituto Agronômico, 1950. p.109--113.

[7] HAN, C.-P. Testing the homogeneity of variances in a two-way classification. Biometrics, Tucson, 25(1):153-158, 1969.

[8] HARTLEY, H.O. The use of range in analysis of variance. Biometrika, London, 37:271-280, 1950.

[9] NAGAI, V.; CONAGIN, A. & IGUE, T. Sensibilidade de diferentes testes de homogeneidade das variâncias. Revista de Agricultura, Piracicaba, 66(1):65--76,1991.

[10] PIMENTEL GOMES, F. Curso de estatística experimental. 11.ed. São Paulo, Nobel, 1985. 466p.

[11] SHUKLA, G.K. An invariant test for the homogeneity of variances in a two-way classification. Biometrics, Raleigh, 28(4):1063-1072, 1972.

[12] WADA, R.S. A questão da heterocedasticia na comparação de duas médias. Piracicaba, 1985. 108p. Dissertação (Mestrado em Agronomia) - ESALQ--USP, 1985.