Conceptualizaciones de la Pendiente en Libros de Texto de Matemáticas

Flores, Crisólogo Dolores; Dolores, Gerardo Ibáñez

doi:10.1590/1980-4415v34n67a22

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Artículo • Bolema 34 (67) • Ago 2020 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v34n67a22 copiar

Conceptualizaciones de la Pendiente en Libros de Texto de Matemáticas

Slope Conceptualizations in Mathematics Textbooks

Autoría SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Resumen

En este artículo se reportan los resultados de una investigación que tiene por objetivo explorar qué conceptualizaciones de pendiente tienen presencia en los libros de texto de matemáticas del bachillerato y cuáles predominan. Para ello utilizamos el método de Análisis de Contenido, en donde los objetos de análisis se encuentran en la exposición del contenido, ejemplos resueltos y los ejercicios o problemas propuestos en los libros de texto. Como marco referencial utilizamos las once conceptualizaciones de pendiente identificadas por Stump (1999)STUMP, S. Secondary mathematics teachers' knowledge of slope. Mathematics Education Research Journal, Sydney, v. 11, n. 2, p. 124–144, 1999. y Moore-Russo, Conner y Rugg (2011MOORE-RUSSO, D.; CONNER, A.; RUGG, K. Can slope be negative in 3-space? Studying concept image of slope through collective definition construction. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 76, n. 1, p. 3–1, 2011.). Nuestros hallazgos indican la presencia de la mayoría de las conceptualizaciones, con predominio de aquellas que se desprenden de la definición analítica de pendiente como coeficiente paramétrico, razón algebraica y concepción trigonométrica y la que se aplica dentro de la misma geometría en la determinación del paralelismo o perpendicularidad entre rectas, como lo es la propiedad determinante. Estas conceptualizaciones, por un lado, inducen a la formación de la idea de que la pendiente tiene sentido sólo en el contexto intramatemático, y por otro lado, privilegian el desarrollo del conocimiento procedimental en detrimento del conocimiento conceptual. La comprensión de la pendiente requiere de la formación de redes internas como producto de conexiones entre conceptualizaciones en el plano intra y extra matemático, además del desarrollo armónico del conocimiento conceptual y el procedimental. Lograr la comprensión de los conceptos es fundamental en la Educación Matemática, sin embargo, nuestros resultados indican que los textos que utilizan los profesores difícilmente pueden contribuir a este logro.

Palabras clave:
Libros de texto de matemáticas; Conceptualizaciones de pendiente; Bachillerato; Comprensión matemática

Categoría	La pendiente como…	Código
Razón geométrica	Razón del desplazamiento vertical sobre el desplazamiento horizontal en la gráfica de una recta (a menudo vista como el triángulo rectángulo en la gráfica de una recta que resalta el desplazamiento horizontal y el vertical).	G
Razón algebraica	Cambio en y sobre el cambio en x; representación de la razón con expresiones algebraicas (a menudo visto como $\frac{Δ y}{Δ x}$ o $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ ).	A
Propiedad física	Propiedad de la recta a menudo descrita con expresiones como: grado, inclinación, ladeo, declive, empinado, qué tan alto sube una recta.	P
Propiedad funcional	Razón de cambio constante entre variables o cantidades (por ejemplo, cuando x aumenta 2, y aumenta 3) presente en varias representaciones de funciones; a veces se vé en situaciones que involucran razones relacionadas o constantes de proporcionalidad (donde la tasa unitaria es la pendiente).	F
Coeficiente paramétrico	Coeficiente m (o su valor numérico) en $y = m x + b$ o en $y - y_{1} = m (x_{2} - x_{1})$ que actúa como un parámetro.	PC
Concepción trigonométrica	Propiedad relacionada con el ángulo que una recta forma con una recta horizontal (usualmente el eje positivo x); tangente del ángulo de inclinación.	T
Concepción en Cálculo	Medida relacionada con la derivada como la pendiente de la tangente a una curva, de una recta secante, o cómo razón de cambio instantánea para cualquier función (incluso no lineal).	C
Situación del mundo real	Situación física (estática, por ejemplo: una rampa, escalera etc.)	R
Situación del mundo real	Situación funcional dinámica que relaciona dos variables (v.g., distancia vs tiempo, velocidad vs tiempo, costo vs tiempo).	R
Propiedad determinante	Propiedad que determina si las rectas son paralelas o perpendiculares entre sí; propiedad con la cual una recta puede ser determinada si un punto de la recta es también dado.	D
Constante lineal	Recta o plana, ausencia de curvatura de una recta que no se ve afectada por la traslación; propiedad única de las rectas (puede ser referenciada como lo que hace que una línea sea recta o la rectitud de una línea); mención de que cualesquiera dos puntos de una recta pueden ser utilizados para determinar la pendiente.	L
Indicador de comportamiento	Propiedad que indica el crecimiento, decrecimiento, tendencia horizontal de una recta o la propiedad que indica la cantidad (o severidad) del aumento o disminución de una recta; si no es cero, indica que la recta tiene una intersección con el eje x.	B

Frases	Argumentos	Conceptua- lizaciones
Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de una de ellas es la recíproca negativa de la pendiente de la otra… Se sabe que: $t a n (90^{o} + θ_{1})$ = $c o t θ_{1}$ . Sustituyendo el valor de θ₂, $t a n θ_{2} = - \cot θ_{1} = \frac{- 1}{\tan θ_{1}}$ . Expresando esto en términos algebraicos queda: $m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}$ . Fuenlabrada y Fuenlabrada (2014FUENLABRADA, S.; FUENLABRADA, I. R. Geometría Analítica. 4. ed., México, D. F., Mc Graw Hill Education, 2014., p. 35-36).	La condición de perpendicularidad indica la presencia de la conceptualización propiedad determinante. Las expresiones del tipo: $t a n (90^{o} + θ_{1})$ indican la presencia de la concepción trigonométrica. En la expresiones $m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}$ está presente la conceptualización coefiente paramétrico.	D, T, PC.
Por ejemplo: Si la recta pasa por los puntos $A (- 1, 6)$ y $m = - 4$ , entonces su ecuación corresponde a: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ . Sustituyendo valores: $\begin{array}{l} y - 6 = - 4 [x - (- 1)] \\ y - 6 = - 4 [x + 1] \end{array}$ Esta es la forma de representar la recta pero … Esta es la forma más común que aparece: $y - 6 = - 4 x - 4$ $y = - 4 x - 4 + 6$ $y = - 4 x + 2$ $4 x + y + 2 = 0$ Ecuación lineal con dos variables. Salazar (2018)SALAZAR, P. Matemáticas 3. México. D. F.: Compañía Editorial Nueva Imagen, 2018., p. 80	El uso de las variables m y su valor numérico evidencían la presencia de la conceptualización coeficiente paramétrico. La representación en la gráfica del desplazamiento en x e y para representar la pendiente denota la utilización de la conceptualización razón geométrica.	PC, G.
“Una empresa recibe un préstamo por $120 000 con un interés simple de 4% sobre el capital inicial. Haz la gráfica y determina el valor de la pendiente”. Méndez (2013MÉNDEZ, A. Matemáticas III. 2. ed. México D. F.: Editorial Santillana S. A. de C. V, 2013., p. 54)	Es una situación funcional dinámica porque relaciona las variables: dinero y tiempo, por tanto utiliza la conceptualización del mundo real. Está presente la razón de cambio constante en el interés simple, por tanto puede utilizarse la conceptualización propiedad funcional. La construcción de la gráfica puede inducir al uso de la razón geométrica y el cálculo de la pendiente al uso del coeficiente paramétrico.	R, F, G, PC.

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