Praxeologias do Professor: análise comparativa do livro didático no ensino de equações polinomiais do primeiro grau

Barbosa, Edelweis Jose Tavares; Lima, Anna Paula Avelar Brito

doi:10.1590/1980-4415v33n65a18

Edelweis Jose Tavares Barbosa Endereço pra correspondência, BR 104, km 59, S/N, bairro Nova Caruaru, Pernambuco, Brasil, CEP 55002-970. Email: edelweisb@yahoo.com.br.

Doutor em Ensino das Ciências pela Universidade Federal Rural de Pernambuco (UFRPE). Professor do Núcleo de Formação Docente- UFPE/CAA, Caruaru, Pernambuco, Brasil

http://orcid.org/0000-0001-6032-9367

Anna Paula Avelar Brito Lima Endereço para correspondência: Rua Manuel de Medeiros S/N, bairro Dois Irmãos, Pernambuco, Brasil. CEP 52171-900, Email: apbrito@gmail.com

Doutora em educação pela Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), Pernambuco, Brasil. Professora do departamento de Educação da Universidade Federal Rural de Pernambuco (UFRPE)

http://orcid.org/0000-0003-1471-228X

Endereço pra correspondência, BR 104, km 59, S/N, bairro Nova Caruaru, Pernambuco, Brasil, CEP 55002-970. Email: edelweisb@yahoo.com.br.

Endereço para correspondência: Rua Manuel de Medeiros S/N, bairro Dois Irmãos, Pernambuco, Brasil. CEP 52171-900, Email: apbrito@gmail.com

$T_{1} : a x + b = c (2x + 2 = 10)$
τ principal	Testar a igualdade (τ_TI) por tentativa e erros; Transpor termos ou coeficientes (τ_TTC) invertendo as operações;
$T_{2} : A (x) = c (2 (x + 1) + x = 20)$
τ principal	■ Reagrupar os termos semelhantes (τ_RTS) invertendo o sinal dos termos transpostos.
τ mista	■ τ_{DRE_TTC:} desenvolver ou reduzir expressões/transpor termos ou coeficientes; ■ τ_{DRE_NTC}: desenvolver ou reduzir expressões/neutralizar termos ou coeficientes; ■ τ_{DRE_RTS}: desenvolver ou reduzir expressões/reagrupar termos semelhantes.
$T_{3} : a_{1} x + b_{1} = a_{2} x + b_{2} (2 x - 10 = 6 x - 2)$
τ principal	Transpor termos ou coeficientes (τ_TTC) invertendo as operações; Neutralizar termos ou coeficientes (τ_NTC) efetuando a mesma operação nos doismembros da igualdade; Reagrupar os termos semelhantes (τ_RTS) invertendo o sinal dos termos transpostos.
$T_{4} : A_{1} (x) = A_{2} (x) 6 (x - 10) + 3 x = 4 x - 2$
τ principal	■ Reagrupar os termos semelhantes (τ_RTS) invertendo o sinal dos termos transpostos.
τmista	■ τ_{DRE _ TTC:} desenvolver ou reduzir expressões/transpor termos ou coeficientes; ■ τ_{DRE _ NTC}: desenvolver ou reduzir expressões/neutralizar termos ou coeficientes; ■ τ_{DRE _ RTS}: desenvolver ou reduzir expressões/reagrupar termos semelhantes.

T_{1} : a x + b = c (2x + 2 = 10)

θ _POI: Propriedades das operações inversas em ℝ (conjunto dos números reais) ou leis da transposição de termos;
θ _PEE: Princípios de equivalência entre equações: equações com as mesmas soluções ou raízes;
θ _PGI: Propriedades gerais da igualdade ou lei do cancelamento.

T_{2} : A (x) = c (2 (x + 1) + x = 20)

θ _PDM: Propriedades distributivas da multiplicação;
θ _POI: Propriedades das operações inversas em ℝ (conjunto dos números reais) ou leis da transposição de termos;
θ _PEE: Princípios de equivalência entre equações: equações com as mesmas soluções ou raízes.

T_{3} : a_{1} x + b_{1} = a_{2} x + b_{2} (2 x - 10 = 6 x - 2)

θ _POI: Propriedades das operações inversas em ℝ (conjunto dos números reais) ou leis da transposição de termos;
θ _PGI: Propriedades gerais da igualdade ou lei do cancelamento;
θ _PEE: Princípios de equivalência entre equações: equações com as mesmas soluções ou raízes.

T_{4} : A_{1} (x) = A_{2} (x) 6 (x - 10) + 3 x = 4 x - 2

θ _PDM: Propriedades distributivas da multiplicação;
θ _POI: Propriedades das operações inversas em ℝ (conjunto dos números reais) ou leis da transposição de termos;
θ _PEE: Princípios de equivalência entre equações: equações com as mesmas soluções ou raízes.

Categorias (momentos didáticos)	Critérios de Análise
Primeiro Momento	De que maneira o professor faz a introdução da equação polinomial do primeiro grau com incógnita para os alunos?
Segundo momento	Como é exploração do tipo de tarefas T em sala de aula? Há elaboração das técnicas τ relativa a esse tipo de tarefas em sala?
Terceiro Momento	Como se dá a constituição do ambiente tecnológico-teórico relativo à técnica?
Quarto Momento	Como é o trabalho do professor em relação às técnicas?
Quinto Momento	Como é concretizada a institucionalização pelo professor? No início, meio e/ou ao final do livro?
Sexto Momento	De que maneira se realiza a avaliação? No início, meio e/ou ao final da aula, ou apenas ao final do conteúdo?

Tipos de tarefas	TÉCNICAS
Tipos de tarefas	P1	P2	P3
T₁	Mover o número de membro, invertendo o sinal. Transferir o número para o segundo membro com sinal trocado e fazer a operação aritmética.	Mover o número de membro, invertendo o sinal. Transferir o número para o segundo membro com sinal trocado e fazer a operação aritmética.	Usar as operações opostas (aritméticas).
			Mover o número de membro, invertendo o sinal.
			Eliminar denominadores. Mudar de membro, invertendo o sinal.
T₂	Não apresentou.	Transferir o número para o segundo membro, dividindo e fazendo a operação aritmética.	Desenvolver a multiplicação dos parênteses, fazendo a operação aritmética.
T₃	Não apresentou.	Neutralizar termos e coeficientes.	Não apresentou.
T₄	Não apresentou.	Desenvolver ou reduzir expressões e neutralizar termos ou coeficientes.	Não apresentou.

Tipo de tarefas	TECNOLOGIA/TEORIA
Tipo de tarefas	P1	P2	P3
T₁	Adicionar ou subtrair valores iguais e manter o equilíbrio.	Propriedades das operações inversas.	Propriedades gerais da igualdade.
T₁	Propriedade geral da igualdade e as propriedades das operações inversas.	Propriedades das operações inversas.	Propriedades das operações inversas.
T₂	Não apresentou	Propriedades das operações inversas.	Propriedade distributiva da multiplicação.
T₂	Não apresentou	Propriedade distributiva da multiplicação.	Propriedades das operações inversas.
T₃	Não apresentou	Princípio do equilíbrio entre equações.	Não apresentou
T₃	Não apresentou	Princípio gerais de igualdades	Não apresentou
T₄	Não apresentou	Propriedade distributiva da multiplicação.	Não apresentou
		Propriedades gerais da igualdade

Tipos de tarefas	Tarefas propostas professora P1		Livro Didático da professora		Tarefas propostas professora P2		Livro Didático da professora		Tarefas propostas professor P3		Livro Didático do professor
		%		%		%		%		%		%
T₁	38	100	12	32	11	46	52	37	10	67	47	44
T₂	0	0	04	10	01	4	12	9	03	20	22	20
T₃	0	0	06	16	10	42	10	7	-	-	10	09
T₄	0	0	16	42	02	8	65	47	02	13	29	27
Total	38	100	38	100	24	100	139	100	15	100	108	100

Momentos Didáticos	Critérios realizados por P1	Critérios realizados por P2	Critérios realizados por P3
Primeiro Momento	A professora introduziu o conteúdo de equação do primeiro grau por meio da alusão à balança de dois pratos (balança de feira livre), seguindo o exemplo (x+3=50) registrado no livro didático.	A professora iniciou o tema equação com a leitura do capítulo 10 intitulado “Comunicando ideias por símbolos”. Escreveu na lousa o exemplo do livro (a+3ª) e disse: “Quando digo assim, eu sei qual o valor de a”? “Eu chamo este a de variável, é número natural qualquer e aí eu pego o valor de a, multiplicado por três e terei o resultado. E isso é equação”?	O professor iniciou a aula indagando os estudantes sobre o que é uma equação? Trabalhou a língua materna (por exemplo: o dobro de um número) para a linguagem algébrica (2x) e fez uso de fórmulas para expressar sentenças matemáticas. Em seguida, definiu o que é uma equação polinomial do primeiro grau.
Segundo Momento	Ocorreu na terceira aula, quando a professora enunciou o seguinte: conjunto universo e conjunto solução de uma equação.	Aconteceu, quando a professora explorou o capítulo do livro “Letras para descobrir números desconhecidos”.	Esse segundo momento foi vivenciado a partir da enunciacao do conjunto universo e conjunto solucao de uma equação. Assim, ocorreu a exploracao dos quatros tipos tarefas e suas técnicas.
Terceiro Momento	Adicionando ou subtraindo valores iguais, se manterá o equilíbrio (propriedades gerais da igualdade e propriedades das operações inversas).	Se por meio das seguintes tecnologias: princípio de equilíbrio entre equações; princípios gerais de igualdade. Princípio de equilíbrio entre equações; princípios gerais da igualdade; propriedade distributiva da multiplicação; propriedades gerais da igualdade.	A constituição desse momento se deu por meio das seguintes tecnologias: propriedades gerais da igualdade, propriedade distributiva da multiplicação e propriedades das operações inversas.
Quarto Momento	Foi instituído na sexta, sétima e oitava aulas, quando foi proposta aos estudantes a resolução dos exercícios em classe e indicadas atividades a serem feitas em casa.	Foi estabelecido na sétima, oitava, nona, décima, décima primeira e décima segunda aula, quando P2 propôs exercícios referentes às equações para os alunos resolverem.	Foi posto na sexta, sétima, oitava, nona, décima, décima primeira e décima segunda aula quando foi proposto que os alunos resolvessem os exercícios referentes às equações.
Quinto Momento	A institucionalização foi concretizada na constituição das técnicas “transpor termos e coeficientes ou neutralizar termos ou coeficientes”.	As técnicas foram trabalhadas de forma simultânea quando, a partir do exemplo, a professora procurou fazer a institucionalização das técnicas (transpor termos e coeficientes ou neutralizar termos ou coeficientes [metáfora da balança] e desenvolver ou reduzir expressões).	As técnicas foram trabalhadas de forma simultânea: o exemplo do professor fez a institucionalização das técnicas (transpor termos e coeficientes e/ou desenvolver ou reduzir expressões, eliminar denominadores).
Sexto Momento	Esse momento não ocorreu de forma pontual, mas associado a outros momentos didáticos. Ao final das 12 aulas, foi realizada uma avaliação escrita com base no conteúdo estudado.	Esse momento não ocorreu de forma pontual, mas associado a outros momentos didáticos. Ao final das 12 aulas, foi realizada uma avaliação escrita com base no conteúdo estudado.	Esse momento não ocorreu de forma pontual, mas associado a outros momentos didáticos. Ao final das 13 aulas, foi realizada uma avaliação escrita com base no conteúdo estudado.

Topos esperados pelo autor	Topos realizados pela professora P1
Compreender ideias iniciais da utilização da álgebra	✓ Evidenciamos que a professora P1 desenvolveu esses topos esperados pelo autor do livro em sala de aula. ✓ Identificou os termos semelhantes de uma equação. ✓ Identificou o que é uma equação como uma igualdade entre termos; resolveu e identificou as soluções das equações em sala de aula.
Identificar termos semelhantes
Utilizar equações para representar situações de igualdade
Identificar equações do 1° grau numa incógnita
Identificar solução de uma equação do 1° grau e resolver equações do 1° grau

Topos esperados pelo autor	Topos realizados pela professora P2
Conceituar uma equação e solucionar equações	P2 desenvolveu esses topos em sala de aula. Conceituou uma equação e resolveu equações; realizou os procedimentos de resolução de equações com base na inversão de operações e na propriedade das igualdades.
Compreender a lógica dos procedimentos de resolução de equações com base na inversão de operações e na propriedade das igualdades
Resolver equações
Resolver problemas, usando equações, inclusive problemas envolvendo proporcionalidade.	P2 apenas não trabalhou o último tópico que envolveu problemas de proporcionalidade. Um dos fatores disso foi o fato de que iria trabalhar no quarto bimestre esse tema.

Topos geral esperado pelo autor	Topos realizados por P3
Reconhecer a linguagem algébrica como instrumento de representação e solução de problemas	Constatamos que P3 desenvolveu esses topos ao longo das 13 aulas.
Topos específicos
Descrever alguns padrões numéricos, utilizando a linguagem algébrica	Esses topos específicos foram assumidos por P3 no curso de suas aulas, na medida em que descrevia os padrões numéricos e a linguagem algébrica, reconhecendo e resolvendo as equações polinomiais do primeiro grau. Conceituou uma equação e resolveu as equações; realizou os procedimentos de resolução de equações com base na inversão de operações e na propriedade das igualdades.
Reconhecer e resolver equações do primeiro grau
Utilizar equações para representar, resolver e analisar problemas.

[1] Endereço pra correspondência, BR 104, km 59, S/N, bairro Nova Caruaru, Pernambuco, Brasil, CEP 55002-970. Email: edelweisb@yahoo.com.br.

Brasil

Brasil

Praxeologias do Professor: análise comparativa do livro didático no ensino de equações polinomiais do primeiro grau

Teacher Praxeologies: comparative analysis of the didactic book in the teaching of first-degree polynomial equations

Resumo