Meta-análise sobre Conhecimento para Ensinar Divisão de Frações

Moriel, Jeferson Gomes; Wielewski, Gladys Denise; Carrillo, José

doi:10.1590/1980-4415v33n65a02

Jeferson Gomes Moriel JuniorEndereço para correspondência: Rua Profa. Zulmira Canavarros, 95, Centro Norte, Cuiabá, MT, Brasil, CEP: 78048-076. E-mail: jeferson.moriel@cba.ifmt.edu.br.

Doutor em Educação em Ciências e Matemática pela Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT-REAMEC). Professor do Instituto Federal de Mato Grosso (IFMT) e do Programa de Pós-graduação em Ensino do IFMT/UNIC, campus Cuiabá, Mato Grosso, Brasil

UNIC, IFMT, Cuiabá, Mato Grosso, Brasil

http://orcid.org/0000-0003-1526-8002

Gladys Denise Wielewski Endereço para correspondência: Av. Fernando Corrêa da Costa, 2367, Boa Esperança, Cuiabá, MT, Brasil, CEP: 78060-900. E-mail: gladysdw@brturbo.com.br.

Doutora em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC). Professora do Depto. de Matemática e do Doutorado em Educação em Ciências e Matemática (REAMEC) da Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT), Cuiabá, MT, Brasil

http://orcid.org/0000-0002-2473-2957

José Carrillo Endereço para correspondência: Avda. 3 de marzo, s/n, Huelva, España, E-21007. E-mail: carrillo@uhu.es.

Doutor em Filosofia e Ciências da Educação pela Universidade de Sevilla (US). Catedrático de Didática da Matemática e do Programa de Doutorado em Investigação em Ensino e Aprendizagem das Ciências (IEACAD) da Universidade de Huelva (UHU), campus El Carmen, Huelva, Espanha

http://orcid.org/0000-0001-7906-416X

Endereço para correspondência: Rua Profa. Zulmira Canavarros, 95, Centro Norte, Cuiabá, MT, Brasil, CEP: 78048-076. E-mail: jeferson.moriel@cba.ifmt.edu.br.

Endereço para correspondência: Av. Fernando Corrêa da Costa, 2367, Boa Esperança, Cuiabá, MT, Brasil, CEP: 78060-900. E-mail: gladysdw@brturbo.com.br.

Endereço para correspondência: Avda. 3 de marzo, s/n, Huelva, España, E-21007. E-mail: carrillo@uhu.es.

Foco		Quantidade (referências)
Conhecimento docente sobre divisão de frações	29	(BALL, 1990BALL, D. L. Prospective elementary and secondary teachers’ understanding of division. Journal for research in mathematics education, Delaware, v. 21, n. 2, p. 132-144, 1990.; BARBOSA, 2011BARBOSA, E. P. Os Por Quês Matemáticos dos Alunos na Formação dos Professores. In: Conferência Interamericana de Educação Matemática - CIAEM, 13., 2011, Recife. Anais… Recife, 2011. p. 1-12. Disponível em: http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/1/schedConfs/1/papers/611/public/611-9763-1-PB.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conf... ; BAYOUD, 2011BAYOUD, J. M. A comparison of pre-service and experienced elementary teachers’ pedagogical content knowledge (PCK) of common error patterns in fractions. 2011. 180 p. Thesis (Master of Arts). Departament of Education, American University of Beirut, Beirut.; CHARALAMBOUS; HILL; BALL, 2011CHARALAMBOUS, C. Y.; HILL, H. C.; BALL, D. L. Prospective teachers’ learning to provide instructional explanations: how does it look and what might it take? Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 14, n. 6, p. 441-463, 2011.; CHINNAPPAN; DESPLAT, 2012CHINNAPPAN, M.; DESPLAT, B. Contextualisation of Fractions: Teachers’ Pedagogical and Mathematical Content Knowledge for Teaching. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia, Gelugor, v. 35, n. 1, p. 43-59, 2012.; GARCÍA, 2013GARCÍA, A. I. M. Conocimiento profesional de un grupo de profesores sobre la división de fracciones. 2013. 72 p. Dissertação (Mestrado Didática da Matemática) - Universidad de Granada, Granada, 2013.; GREEN; PIEL; FLOWERS, 2008GREEN, M.; PIEL, J. A.; FLOWERS, C. Reversing Education Majors’ Arithmetic Misconceptions with Short-Term Instruction Using Manipulatives. Journal of Educational Research, Philadelphia, v. 101, n. 4, p. 234-242, 2008. Disponível em: http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.3200/JOER.10L4.234-242. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.32... ; ISIKSAL; CAKIROGLU, 2007ISIKSAL, M.; CAKIROGLU, E. Pre-service teachers’ representations of division of fractions. In: PANTAZI, D. P.; PHILIPPOU, G. (Ed). Proceedings of the Fifth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. Cyprus: European Research in Mathematics Education V, 2007. p. 1916-1924.; KRIBS-ZALETA, 2006KRIBS-ZALETA, C. Invented strategies for division of fractions. In: ALATORRE, S. et al (Ed.). Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Meridia: Universidad Pedagógica Nacional, v. 2, 2006. p. 371-376.; LI; KULM, 2008; LIN et al., 2013LIN, C.-Y.; BECKER, J.; BYUN, M.-R.; YANG, D.-C.; HUANG, T.-W. Preservice Teachers’ Conceptual and Procedural Knowledge of Fraction Operations: A Comparative Study of the United States and Taiwan. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 113, n. 1, p. 41-51, 2013. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.2012.00173.x. Acesso em: 14 out. 2014. http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.20... ; LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.; LO; MCCRORY, 2010LO, J.-J.; MCCRORY, R. Teaching Teachers through Justifying Activities. Teaching Children Mathematics, Reston, v. 17, n. 3, p. 149-155, 2010. Disponível em: http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+knowledge&pg=2&id=EJ902166. Acesso em: 14 out. 2014. http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+... ; LUBINSKI; FOX; THOMASON, 1998LUBINSKI, C. A.; FOX, T.; THOMASON, R. Learning to Make Sense of Division of Fractions: One K-8 Preservice Teacher's Perspective. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 98, n. 5, p. 247-259, 1998. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.1998.tb17298.x. Acesso em: 14 out. 2014.; LUO; LO; LEU, 2011LUO, F.; LO, J.-J.; LEU, Y.-C. Fundamental Fraction Knowledge of Preservice Elementary Teachers: A Cross-National Study in the United States and Taiwan. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 111, n. 4, p. 164-177, 2011. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.2011.00074.x. Acesso em: 14 out. 2014. http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.20... ; MA, 1999MA, L. Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers’ understanding of fundamental mathematics in China and the United States. New York: Taylor & Francis, 1999. 198 p.; NEWTON, 2008NEWTON, K. J. An Extensive Analysis of Preservice Elementary Teachers’ Knowledge of Fractions. American Educational Research Journal, Michigan, v. 45, n. 4, p. 1080-1110, dec. 2008. Disponível em: http://aer.sagepub.com/content/45/4Z1080. Acesso em: 14 out. 2014. http://aer.sagepub.com/content/45/4Z1080... ; NILLAS, 2003NILLAS, L. Division of fractions: Preservice teachers’ understanding and use of problem solving strategies. The Mathematics Educator, Athens, v. 7, n. 2, p. 96-113, 2003.; OLANOFF, 2011OLANOFF, D. E. Mathematical Knowledge for Teaching Teachers: The Case of Multiplication and Division of Fractions. 2011. 236f. Thesis (Doctor of Mathematics Education). Syracuse University, New York, 2011.; OZEL, 2013OZEL, S. An Analysis of In-service Teachers’ Pedagogical Content Knowledge of Division of Fractions. Anthropologist, New York, v. 16, n. 1-2, p. 1-5, 2013.; PIEL; GREEN, 1994PIEL, J. A.; GREEN, M. De-Mystifying Division of Fractions: The Convergence of Quantitative and Referential Meaning. Focus on learning problems in mathematics, Framingham, v. 16, n. 1, p. 4450, 1994. Disponível em: http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+knowledge&pg=3&id=EJ485504. Acesso em: 14 out. 2014. http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+... ; REDMOND, 2009REDMOND, A. Prospective Elementary Teachers’ Division of Fractions Understanding: A Mixed Methods Study. 2009. 178 p. Thesis (Doctor of Philosophy) - University of Phoenix, Stillwater, 2009.; RIZVI; LAWSON, 2007RIZVI, N. F.; LAWSON, M. J. Prospective teachers’ knowledge: Concept of division. International Education Journal, Adelaide, v. 8, n. 2, p. 377-392, 2007. Disponível em: http://ehlt.flinders.edu.au/education/iej/articles/v8n2/Rizvi/paper.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://ehlt.flinders.edu.au/education/ie... ; RULE; HALLAGAN, 2006RULE, A. C.; HALLAGAN, J. E. Preservice Elementary Teachers Use Drawings and Make Sets of Materials to Explain Multiplication and Division by Fractions. In: Annual Preparing Mathematicians to Educate Teachers, 2006, New York. Proceedings… New York, 2006. p. 1-22. Disponível em: http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED494956.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED4949... ; SALINAS, 2009SALINAS, T. M. Beyond the Right Answer: Exploring How Preservice Elementary Teachers Evaluate Student-Generated Algorithms. The Mathematics Educator, Athens, v. 19, n. 1, p. 27-34, 2009.; SHARON; SWARTHOUT, 2014SHARON, V. V.; SWARTHOUT, M. B. Evaluating instruction for developing conceptual understanding of fraction division. In: MATNEY, G. T.; CHE, S. M. (Ed.). Proceedings of the 41th Annual Meeting of the Research Council on Mathematics Learning. San Antonio: RCML, 2014. p. 97-104.; SILVEIRA; SILVA, 2013SILVEIRA, M. R. A. D.; SILVA, P. V. A compreensão de regras matemáticas na formação docente: uma pesquisa sob o ponto de vista da linguagem. Education Policy Analysis Archives, Tempe, v. 21, n. 27, p. 1-24, 2013. Disponível em: http://epaa.asu.edu/ojs/artide/view/U61. Acesso em: 14 out. 2014. http://epaa.asu.edu/ojs/artide/view/U61... ; TCHOSHANOV, 2011TCHOSHANOV, M. A. Relationship between teacher knowledge of concepts and connections, teaching practice, and student achievement in middle grades mathematics. Educational Studies in Mathematics, Utrecht, v. 76, n. 2, p. 141-164, 2011.; TIROSH, 2000TIROSH, D. Enhancing prospective teachers’ knowledge of children's conceptions: The case of division of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, Delaware, p. 5-25, 2000.)
Aspectos da divisão de frações, seu ensino e aprendizagem	29	(AKSU, 1997AKSU, M. Student performance in dealing with fractions. The Journal of Educational Research, London, v. 90, n. 6, p. 375-380, 1997.; ARAÚJO, 2013ARAÚJO, W. A. D. O uso do FRAC-SOMA 235 no processo de ensino e aprendizagem de frações para o ensino fundamental. In: Encontro Nacional de Educação Matemática, 11., 2013, Curitiba. Anais… Curitiba, 2013. p. 1-10. Disponível em: http://sbem.bruc.com.br/XIENEM/pdf/72_1718_ID.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://sbem.bruc.com.br/XIENEM/pdf/72_17... ; ASHLOCK, 2006ASHLOCK, R. B. Error patterns in computation: Using error patterns to improve instruction. Upper Saddle River: Pearson Education, 2006.; BERTONI, 2009BERTONI, N. E. Educação e linguagem matemática: Frações e números fracionários. Curitiba: PEDEad, 2009. 95 p. Disponível em: < http://www.sbembrasil.org.br/files/fracoes.pdf >. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.sbembrasil.org.br/files/fraco... ; BULGAR, 2003BULGAR, S. Using Research to Inform Practice: Children Make Sense of Division of Fractions. International Group for the Psychology of Mathematics Education, Honolulu, v. 2, p. 157-164, 2003. Disponível em: http://files.eric.ed.gov/funtext/ED500921.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://files.eric.ed.gov/funtext/ED50092... ; CHEN et al., 2013CHEN, C.-H.; CHIU, C.-H.; LIN, C.-P.; WU, S.-T.; HUNG, Y.-C. Presenting Solution Strategies of Fraction Multiplication and Division on Mathematics Instructional Websites. World Journal on Educational Technology, Nicosia, v. 5, n. 3, p. 431-444, 2013. Disponível em: http://world-education-center.org/index.php/wjet/article/view/1068. Acesso em: 14 out. 2014. http://world-education-center.org/index.... ; CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.; FLORES, 2008FLORES, P. El algoritmo de la división de fracciones. Epsilon, Sevilla, v. 25, n. 70, p. 27-40, 2008.; FLORES, 2013FLORES, P. ¿Por qué multiplicar en cruz? Formación inicial de profesores de Primaria, en el área de Matemáticas. In: VII Congreso Iberomericano de Educación Matemática, 7., 2013, Montevideo. Anais… Montevideo: CIBEM, 2013. p. 1-17.; GUERRA; SILVA, 2008GUERRA, R. B.; SILVA, F. H. S. D. As Operações com Frações e o Princípio da Contagem. Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, v. 21, n. 31, p. 41-54, 2008. Disponível em: http://www.redalyc.org/pdf/2912/291221883004.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.redalyc.org/pdf/2912/29122188... ; HIRATSUKA, 1996HIRATSUKA, P. I. Fazendo uma divisão de frações significativa. Revista do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, v. 30, p. 23-25, 1996.; KILPATRICK; SWAFFORD; FINDELL, 2001KILPATRICK, J.; SWAFFORD, J.; FINDELL, B. Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington: National Academies Press, 2001. Disponível em: http://www.sjsd.k12.mo.us/cms/lib3/MO01001773/Centricity/Domain/872/Adding it Up.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.sjsd.k12.mo.us/cms/lib3/MO010... ; LI, 2008LI, Y. What Do Students Need to Learn about Division of Fractions? Mathematics Teaching in the Middle School, Reston, v. 13, n. 9, p. 546-552, 2008. Disponível em: http://www.jstor.org/stable/41182613. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.jstor.org/stable/41182613... ; LI; CHEN; AN, 2009LI, Y.; CHEN, X.; AN, S. Conceptualizing and organizing content for teaching and learning in selected Chinese, Japanese and US mathematics textbooks: the case of fraction division. ZDM, Berlin, v. 41, n. 6, p. 809-826, 2009. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s11858-009-0177-5. Acesso em: 14 out. 2014. http://dx.doi.org/10.1007/s11858-009-017... ; LI; CHEN; KULM, 2009LI, Y.; CHEN, X.; AN, S. Conceptualizing and organizing content for teaching and learning in selected Chinese, Japanese and US mathematics textbooks: the case of fraction division. ZDM, Berlin, v. 41, n. 6, p. 809-826, 2009. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s11858-009-0177-5. Acesso em: 14 out. 2014. http://dx.doi.org/10.1007/s11858-009-017... ; LIMA, 1983LIMA, E. L. Divisão de números racionais escritos na forma de frações. Revista do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, v. 3, p. 40-42, 1983.; LOPES, 2008LOPES, A. J. O que nossos alunos podem estar deixando de aprender sobre frações, quando tentamos lhes ensinar frações. Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, v. 21, n. 31, p. 1-22, 2008. Disponível em: http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/issue/view/756. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.periodicos.rc.biblioteca.unes... ; MADEIRO, 1996MADEIRO, P. C. Divisão de fração por fração. Revista do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, v. 30, p. 22, 1996.; MOREIRA, 2013MOREIRA, I. M. B. O ensino das operações com frações envolvendo calculadora. In: VII Congreso Iberomericano de Educación Matemática, 7., 2013, Montevideo. Anais… Montevideo, 2013. p. 29963005. Disponível em: http://www.cibem7.semur.edu.uy/7/actas/pdfs/1231.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.cibem7.semur.edu.uy/7/actas/p... ; MOREIRA; FERREIRA, 2008MOREIRA, P. C.; FERREIRA, M. C. C. A Teoria dos Subconstrutos e o Número Racional como Operador: das estruturas algébricas ás cognitivas. Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, v. 21, n. 31, p. 103-127, 2008. Disponível em: http://www.redalyc.org/pdf/2912/291221883007.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.redalyc.org/pdf/2912/29122188... ; NAISER; WRIGHT; CAPRARO, 2003NAISER, E. A.; WRIGHT, W. E.; CAPRARO, R. M. Teaching fractions: Strategies used for teaching fractions to middle grades students. Journal of research in childhood education, New York, v. 18, n. 3, p. 193-198, 2003.; PAYNE, 1976PAYNE, J. N. Review of research on fractions. In: LESH, R. (Ed). Number and measurement. University of Georgia: Athens, v. 1, 1976. p. 145-188.; PERÉZ, 2009; PHILIPP, 2000; PURITZ, 2005PURITZ, C. Dividing by Small Numbers-and Why Not by 0? Mathematics in School, Leicester, v. 34, n. 5, p. 2-4, 2005. Disponível em: http://www.jstor.org/stable/30215826. Acesso em: 10 Maio 2012. http://www.jstor.org/stable/30215826... ; SÁ, 2015SÁ, I. P. D. Voltando aos “porquês” nas aulas de matemática. Rio de Janeiro: UERJ, p. 1-6, 2015. Disponível em: http://magiadamatematica.com/uerj/licenciatura/09-voltando1.pdf. Acesso em: 01 nov. 2014. http://magiadamatematica.com/uerj/licenc... ; SHARP; ADAMS, 2002SHARP, J.; ADAMS, B. Children's constructions of knowledge for fraction division after solving realistic problems. The Journal of Educational Research, New York, v. 95, n. 6, p. 333-347, 2002.; SILVA; ALMOULOUD, 2008SILVA, M. J. F.; ALMOULOUD, S. A. As Operações com Números Racionais e seus Significados a partir da Concepção Parte-todo. Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, v. 21, n. 31, p. 55-78, 2008. Disponível em: http://www.leoakio.com/wa_files/2105-8989-2-PB.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.leoakio.com/wa_files/2105-898... ; SINICROPE; MICK; KOLB, 2002SINICROPE, R.; MICK, H. W.; KOLB, J. R. Interpretations of fraction division. In: LITWILLER, B. (Ed). Making sense of fractions, ratios, and proportions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2002. p. 153-161.)
Total	58	–

Perspectiva teórica	Qtde.	Trabalhos
Shulman (1986)SHULMAN, L. S. Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational researcher, New York, v. 15, n. 2, p. 4-14, 1986.	12 (41%)	(BALL, 1990BALL, D. L. Prospective elementary and secondary teachers’ understanding of division. Journal for research in mathematics education, Delaware, v. 21, n. 2, p. 132-144, 1990.; ISIKSAL; CAKIROGLU, 2007ISIKSAL, M.; CAKIROGLU, E. Pre-service teachers’ representations of division of fractions. In: PANTAZI, D. P.; PHILIPPOU, G. (Ed). Proceedings of the Fifth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. Cyprus: European Research in Mathematics Education V, 2007. p. 1916-1924.; LIN et al., 2013LIN, C.-Y.; BECKER, J.; BYUN, M.-R.; YANG, D.-C.; HUANG, T.-W. Preservice Teachers’ Conceptual and Procedural Knowledge of Fraction Operations: A Comparative Study of the United States and Taiwan. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 113, n. 1, p. 41-51, 2013. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.2012.00173.x. Acesso em: 14 out. 2014. http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.20... ; MA, 1999MA, L. Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers’ understanding of fundamental mathematics in China and the United States. New York: Taylor & Francis, 1999. 198 p.; OZEL, 2013OZEL, S. An Analysis of In-service Teachers’ Pedagogical Content Knowledge of Division of Fractions. Anthropologist, New York, v. 16, n. 1-2, p. 1-5, 2013.; REDMOND, 2009REDMOND, A. Prospective Elementary Teachers’ Division of Fractions Understanding: A Mixed Methods Study. 2009. 178 p. Thesis (Doctor of Philosophy) - University of Phoenix, Stillwater, 2009.; RIZVI; LAWSON, 2007RIZVI, N. F.; LAWSON, M. J. Prospective teachers’ knowledge: Concept of division. International Education Journal, Adelaide, v. 8, n. 2, p. 377-392, 2007. Disponível em: http://ehlt.flinders.edu.au/education/iej/articles/v8n2/Rizvi/paper.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://ehlt.flinders.edu.au/education/ie... ; SILVEIRA; SILVA, 2013SILVEIRA, M. R. A. D.; SILVA, P. V. A compreensão de regras matemáticas na formação docente: uma pesquisa sob o ponto de vista da linguagem. Education Policy Analysis Archives, Tempe, v. 21, n. 27, p. 1-24, 2013. Disponível em: http://epaa.asu.edu/ojs/artide/view/U61. Acesso em: 14 out. 2014. http://epaa.asu.edu/ojs/artide/view/U61... ; TCHOSHANOV, 2011TCHOSHANOV, M. A. Relationship between teacher knowledge of concepts and connections, teaching practice, and student achievement in middle grades mathematics. Educational Studies in Mathematics, Utrecht, v. 76, n. 2, p. 141-164, 2011.; TIROSH, 2000TIROSH, D. Enhancing prospective teachers’ knowledge of children's conceptions: The case of division of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, Delaware, p. 5-25, 2000.) (NILLAS, 2003NILLAS, L. Division of fractions: Preservice teachers’ understanding and use of problem solving strategies. The Mathematics Educator, Athens, v. 7, n. 2, p. 96-113, 2003.; SHARON; SWARTHOUT, 2014SHARON, V. V.; SWARTHOUT, M. B. Evaluating instruction for developing conceptual understanding of fraction division. In: MATNEY, G. T.; CHE, S. M. (Ed.). Proceedings of the 41th Annual Meeting of the Research Council on Mathematics Learning. San Antonio: RCML, 2014. p. 97-104.)*
MKT	10 (35%)	(BAYOUD, 2011BAYOUD, J. M. A comparison of pre-service and experienced elementary teachers’ pedagogical content knowledge (PCK) of common error patterns in fractions. 2011. 180 p. Thesis (Master of Arts). Departament of Education, American University of Beirut, Beirut.; CHARALAMBOUS; HILL; BALL, 2011CHARALAMBOUS, C. Y.; HILL, H. C.; BALL, D. L. Prospective teachers’ learning to provide instructional explanations: how does it look and what might it take? Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 14, n. 6, p. 441-463, 2011.; CHINNAPPAN; DESPLAT, 2012CHINNAPPAN, M.; DESPLAT, B. Contextualisation of Fractions: Teachers’ Pedagogical and Mathematical Content Knowledge for Teaching. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia, Gelugor, v. 35, n. 1, p. 43-59, 2012.; GARCÍA, 2013GARCÍA, A. I. M. Conocimiento profesional de un grupo de profesores sobre la división de fracciones. 2013. 72 p. Dissertação (Mestrado Didática da Matemática) - Universidad de Granada, Granada, 2013.; LI; KULM, 2008; LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.; LUO; LO; LEU, 2011LUO, F.; LO, J.-J.; LEU, Y.-C. Fundamental Fraction Knowledge of Preservice Elementary Teachers: A Cross-National Study in the United States and Taiwan. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 111, n. 4, p. 164-177, 2011. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.2011.00074.x. Acesso em: 14 out. 2014. http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.20... ; NEWTON, 2008NEWTON, K. J. An Extensive Analysis of Preservice Elementary Teachers’ Knowledge of Fractions. American Educational Research Journal, Michigan, v. 45, n. 4, p. 1080-1110, dec. 2008. Disponível em: http://aer.sagepub.com/content/45/4Z1080. Acesso em: 14 out. 2014. http://aer.sagepub.com/content/45/4Z1080... ; OLANOFF, 2011OLANOFF, D. E. Mathematical Knowledge for Teaching Teachers: The Case of Multiplication and Division of Fractions. 2011. 236f. Thesis (Doctor of Mathematics Education). Syracuse University, New York, 2011.; SALINAS, 2009SALINAS, T. M. Beyond the Right Answer: Exploring How Preservice Elementary Teachers Evaluate Student-Generated Algorithms. The Mathematics Educator, Athens, v. 19, n. 1, p. 27-34, 2009.)
Não esclarecido	6 (21%)	(GREEN; PIEL; FLOWERS, 2008GREEN, M.; PIEL, J. A.; FLOWERS, C. Reversing Education Majors’ Arithmetic Misconceptions with Short-Term Instruction Using Manipulatives. Journal of Educational Research, Philadelphia, v. 101, n. 4, p. 234-242, 2008. Disponível em: http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.3200/JOER.10L4.234-242. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.32... ; KRIBS-ZALETA, 2006KRIBS-ZALETA, C. Invented strategies for division of fractions. In: ALATORRE, S. et al (Ed.). Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Meridia: Universidad Pedagógica Nacional, v. 2, 2006. p. 371-376.; LO; MCCRORY, 2010LO, J.-J.; MCCRORY, R. Teaching Teachers through Justifying Activities. Teaching Children Mathematics, Reston, v. 17, n. 3, p. 149-155, 2010. Disponível em: http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+knowledge&pg=2&id=EJ902166. Acesso em: 14 out. 2014. http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+... ; LUBINSKI; FOX; THOMASON, 1998LUBINSKI, C. A.; FOX, T.; THOMASON, R. Learning to Make Sense of Division of Fractions: One K-8 Preservice Teacher's Perspective. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 98, n. 5, p. 247-259, 1998. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.1998.tb17298.x. Acesso em: 14 out. 2014.; PIEL; GREEN, 1994PIEL, J. A.; GREEN, M. De-Mystifying Division of Fractions: The Convergence of Quantitative and Referential Meaning. Focus on learning problems in mathematics, Framingham, v. 16, n. 1, p. 4450, 1994. Disponível em: http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+knowledge&pg=3&id=EJ485504. Acesso em: 14 out. 2014. http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+... ; RULE; HALLAGAN, 2006RULE, A. C.; HALLAGAN, J. E. Preservice Elementary Teachers Use Drawings and Make Sets of Materials to Explain Multiplication and Division by Fractions. In: Annual Preparing Mathematicians to Educate Teachers, 2006, New York. Proceedings… New York, 2006. p. 1-22. Disponível em: http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED494956.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED4949... )
Outro: MTCS	1 (3%)	(BARBOSA, 2011BARBOSA, E. P. Os Por Quês Matemáticos dos Alunos na Formação dos Professores. In: Conferência Interamericana de Educação Matemática - CIAEM, 13., 2011, Recife. Anais… Recife, 2011. p. 1-12. Disponível em: http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/1/schedConfs/1/papers/611/public/611-9763-1-PB.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conf... )
Total	29 (100%)	–

Objetivos de estudo	Qtde.	Trabalhos
Caracterização do conhecimento	18 (62%)	(BALL, 1990BALL, D. L. Prospective elementary and secondary teachers’ understanding of division. Journal for research in mathematics education, Delaware, v. 21, n. 2, p. 132-144, 1990.; BARBOSA, 2011BARBOSA, E. P. Os Por Quês Matemáticos dos Alunos na Formação dos Professores. In: Conferência Interamericana de Educação Matemática - CIAEM, 13., 2011, Recife. Anais… Recife, 2011. p. 1-12. Disponível em: http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/1/schedConfs/1/papers/611/public/611-9763-1-PB.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conf... ; CHARALAMBOUS; HILL; BALL, 2011CHARALAMBOUS, C. Y.; HILL, H. C.; BALL, D. L. Prospective teachers’ learning to provide instructional explanations: how does it look and what might it take? Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 14, n. 6, p. 441-463, 2011.; CHINNAPPAN; DESPLAT, 2012CHINNAPPAN, M.; DESPLAT, B. Contextualisation of Fractions: Teachers’ Pedagogical and Mathematical Content Knowledge for Teaching. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia, Gelugor, v. 35, n. 1, p. 43-59, 2012.; GARCÍA, 2013GARCÍA, A. I. M. Conocimiento profesional de un grupo de profesores sobre la división de fracciones. 2013. 72 p. Dissertação (Mestrado Didática da Matemática) - Universidad de Granada, Granada, 2013.; ISIKSAL; CAKIROGLU, 2007ISIKSAL, M.; CAKIROGLU, E. Pre-service teachers’ representations of division of fractions. In: PANTAZI, D. P.; PHILIPPOU, G. (Ed). Proceedings of the Fifth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education. Cyprus: European Research in Mathematics Education V, 2007. p. 1916-1924.; KRIBS-ZALETA, 2006KRIBS-ZALETA, C. Invented strategies for division of fractions. In: ALATORRE, S. et al (Ed.). Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Meridia: Universidad Pedagógica Nacional, v. 2, 2006. p. 371-376.; LI; KULM, 2008; LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.; LUBINSKI; FOX; THOMASON, 1998LUBINSKI, C. A.; FOX, T.; THOMASON, R. Learning to Make Sense of Division of Fractions: One K-8 Preservice Teacher's Perspective. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 98, n. 5, p. 247-259, 1998. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.1998.tb17298.x. Acesso em: 14 out. 2014.; NEWTON, 2008NEWTON, K. J. An Extensive Analysis of Preservice Elementary Teachers’ Knowledge of Fractions. American Educational Research Journal, Michigan, v. 45, n. 4, p. 1080-1110, dec. 2008. Disponível em: http://aer.sagepub.com/content/45/4Z1080. Acesso em: 14 out. 2014. http://aer.sagepub.com/content/45/4Z1080... ; NILLAS, 2003NILLAS, L. Division of fractions: Preservice teachers’ understanding and use of problem solving strategies. The Mathematics Educator, Athens, v. 7, n. 2, p. 96-113, 2003.; OLANOFF, 2011OLANOFF, D. E. Mathematical Knowledge for Teaching Teachers: The Case of Multiplication and Division of Fractions. 2011. 236f. Thesis (Doctor of Mathematics Education). Syracuse University, New York, 2011.; OZEL, 2013OZEL, S. An Analysis of In-service Teachers’ Pedagogical Content Knowledge of Division of Fractions. Anthropologist, New York, v. 16, n. 1-2, p. 1-5, 2013.; PIEL; GREEN, 1994PIEL, J. A.; GREEN, M. De-Mystifying Division of Fractions: The Convergence of Quantitative and Referential Meaning. Focus on learning problems in mathematics, Framingham, v. 16, n. 1, p. 4450, 1994. Disponível em: http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+knowledge&pg=3&id=EJ485504. Acesso em: 14 out. 2014. http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+... ; SALINAS, 2009SALINAS, T. M. Beyond the Right Answer: Exploring How Preservice Elementary Teachers Evaluate Student-Generated Algorithms. The Mathematics Educator, Athens, v. 19, n. 1, p. 27-34, 2009.; SILVEIRA; SILVA, 2013SILVEIRA, M. R. A. D.; SILVA, P. V. A compreensão de regras matemáticas na formação docente: uma pesquisa sob o ponto de vista da linguagem. Education Policy Analysis Archives, Tempe, v. 21, n. 27, p. 1-24, 2013. Disponível em: http://epaa.asu.edu/ojs/artide/view/U61. Acesso em: 14 out. 2014. http://epaa.asu.edu/ojs/artide/view/U61... ; TCHOSHANOV, 2011TCHOSHANOV, M. A. Relationship between teacher knowledge of concepts and connections, teaching practice, and student achievement in middle grades mathematics. Educational Studies in Mathematics, Utrecht, v. 76, n. 2, p. 141-164, 2011.)
Efetividade da formação	7 (24%)	(GREEN; PIEL; FLOWERS, 2008GREEN, M.; PIEL, J. A.; FLOWERS, C. Reversing Education Majors’ Arithmetic Misconceptions with Short-Term Instruction Using Manipulatives. Journal of Educational Research, Philadelphia, v. 101, n. 4, p. 234-242, 2008. Disponível em: http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.3200/JOER.10L4.234-242. Acesso em: 14 out. 2014. http://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.32... ; LO; MCCRORY, 2010LO, J.-J.; MCCRORY, R. Teaching Teachers through Justifying Activities. Teaching Children Mathematics, Reston, v. 17, n. 3, p. 149-155, 2010. Disponível em: http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+knowledge&pg=2&id=EJ902166. Acesso em: 14 out. 2014. http://eric.ed.gov/?q=fraction+division+... ; REDMOND, 2009REDMOND, A. Prospective Elementary Teachers’ Division of Fractions Understanding: A Mixed Methods Study. 2009. 178 p. Thesis (Doctor of Philosophy) - University of Phoenix, Stillwater, 2009.; RIZVI; LAWSON, 2007RIZVI, N. F.; LAWSON, M. J. Prospective teachers’ knowledge: Concept of division. International Education Journal, Adelaide, v. 8, n. 2, p. 377-392, 2007. Disponível em: http://ehlt.flinders.edu.au/education/iej/articles/v8n2/Rizvi/paper.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://ehlt.flinders.edu.au/education/ie... ; RULE; HALLAGAN, 2006RULE, A. C.; HALLAGAN, J. E. Preservice Elementary Teachers Use Drawings and Make Sets of Materials to Explain Multiplication and Division by Fractions. In: Annual Preparing Mathematicians to Educate Teachers, 2006, New York. Proceedings… New York, 2006. p. 1-22. Disponível em: http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED494956.pdf. Acesso em: 14 out. 2014. http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED4949... ; SHARON; SWARTHOUT, 2014SHARON, V. V.; SWARTHOUT, M. B. Evaluating instruction for developing conceptual understanding of fraction division. In: MATNEY, G. T.; CHE, S. M. (Ed.). Proceedings of the 41th Annual Meeting of the Research Council on Mathematics Learning. San Antonio: RCML, 2014. p. 97-104.; TIROSH, 2000TIROSH, D. Enhancing prospective teachers’ knowledge of children's conceptions: The case of division of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, Delaware, p. 5-25, 2000.)
Comparação entre sujeitos	4 (14%)	(BAYOUD, 2011BAYOUD, J. M. A comparison of pre-service and experienced elementary teachers’ pedagogical content knowledge (PCK) of common error patterns in fractions. 2011. 180 p. Thesis (Master of Arts). Departament of Education, American University of Beirut, Beirut.; LIN et al., 2013LIN, C.-Y.; BECKER, J.; BYUN, M.-R.; YANG, D.-C.; HUANG, T.-W. Preservice Teachers’ Conceptual and Procedural Knowledge of Fraction Operations: A Comparative Study of the United States and Taiwan. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 113, n. 1, p. 41-51, 2013. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.2012.00173.x. Acesso em: 14 out. 2014. http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.20... ; LUO; LO; LEU, 2011LUO, F.; LO, J.-J.; LEU, Y.-C. Fundamental Fraction Knowledge of Preservice Elementary Teachers: A Cross-National Study in the United States and Taiwan. School Science and Mathematics, West Lafayette, v. 111, n. 4, p. 164-177, 2011. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.2011.00074.x. Acesso em: 14 out. 2014. http://dx.doi.org/10.1111/j.1949-8594.20... ; MA, 1999MA, L. Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers’ understanding of fundamental mathematics in China and the United States. New York: Taylor & Francis, 1999. 198 p.)
Total	29 (100%)	–

Tipo de estudo	Shulman	MKT	Não esclarecido	Outro	Total
Caracterização do conhecimento	6 (33%)	8 (44%)	3 (17%)	1 (6%)	18 (100%)
Efetividade da formação	4 (57%)*	–	3 (43%)	–	7 (100%)
Comparação entre sujeitos	2 (50%)*	2 (50%)	–	–	4 (100%)

Conteúdo abordado	Conhecimento matemático	Conhecimento matemático e didático	Total
Somente divisão de frações	9 (31%)	7 (24%)	16 (55%)
Divisão de frações e outros conteúdos	7 (24%)	6 (21%)	13 (45%)
TOTAL	16 (55%)	13 (45%)	29 (100%)

NOMENCLATURA (SIGLA)	ALGORITMO
Inverter e multiplicar (IM)	$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a . d}{b . c}$
Igualar denominadores (ID)	$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a . d}{b . d} \div \frac{c . b}{d . b} = \frac{a . d}{b . c}$
Conversão das frações em decimais (CD)	$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a . x}{b . x} \div \frac{c . y}{d . y} = \frac{a x}{c y} = \frac{a . d}{b . c}$ , sendo b.x=d.y potências de 10.
Produtos cruzados (PC)	$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a . d}{b . c}$
Uso da unidade fracionada (UF)	Se $\frac{a}{b}$ equivale a $\frac{c}{d}$ , então $\frac{1}{d}$ equivale a $\frac{a}{b . c}$ e a unidade $\frac{d}{d}$ equivale a $\frac{a . d}{b . c}$ .
Uso do protocolo da calculadora científica (CALC)
Dividir numeradores e denominadores entre si (DND)	$\begin{array}{l} \begin{matrix} \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \div c}{b \div d} & (Caso particular: a é múltiplo de c e b é de d) \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a . c . d}{b . c . d} \div \frac{c}{d} = \frac{a c d \div c}{b c d \div d} & (Caso geral) \end{matrix} \end{array}$

Algoritmo Inverter e Multiplicar (IM)
J1) $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{\frac{a}{b} \times \frac{a}{c}}{\frac{c}{d} \times \frac{d}{c}} = \frac{\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}}{1} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}$
J2) $\begin{array}{l} \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = K \Rightarrow K \times \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \Rightarrow (K \times \frac{c}{d}) \times \frac{d}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \Rightarrow K \times (\frac{c}{d} \times \frac{d}{c}) = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \Rightarrow \\ K \times 1 = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \Rightarrow K \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \Rightarrow K = \frac{a d}{b c} \end{array}$
J3) Se o inverso de $\frac{c}{d}$ é $\frac{1}{\frac{c}{d}} = \frac{d}{c}$ , então $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a d}{b c}$
J4) Se $\frac{a}{b}$ é equivalente a $\frac{a c d}{b c d}$ , então $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a c d}{b c d} \div \frac{c}{d} = \frac{a c d \div c}{b c d \div d} = \frac{a d}{b c}$
Algoritmo Dividir Numeradores e Denominadores entre si (DND)
J5) $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \times d}{b \times c} = \frac{a \times d}{c \times b} = \frac{a}{c} \times \frac{d}{b} = \frac{a}{c} \div \frac{b}{d} = \frac{a \div c}{b \div d}$
Algoritmo Igualar Denominadores (ID)
J6) $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a d}{b d} \div \frac{b c}{b d}$ é igual a $\frac{b d \times a d}{b d} \div \frac{b d \times b c}{b d} = \frac{a d}{1} \div \frac{b c}{1} = a d \div b c = \frac{a d}{b c}$ ou igual a $\frac{a d}{b d} \times \frac{b d}{b c} = \frac{a d}{b c}$

Nomenclaturas equivalentes das interpretações	Característica-chave
Partição¹ 1 (OLANOFF, 2011; OZEL, 2013; CONTRERAS, 2012); ; Partição com foco em compartilhar ou dividir igualmente² 2 (SINICROPE; MICK; KOLB, 2002; NILLAS, 2013); ; Compartilhamento³ 3 (PURITZ, 2005);	1. Distribuição por inteiros
Medida, cotição ou subtração repetida⁴ 4 (SINICROPE; MICK; KOLB, 2002; OLANOFF, 2011; OZEL, 2013; NILLAS, 2013; CONTRERAS, 2012); ; Empacotamento⁵ 5 (PURITZ, 2005); ; Divisão medição por comparação⁶ 6 (LO; LUO, 2012);	2. Comparação em uma grandeza
Inverso da multiplicação⁷ 7 (SINICROPE; MICK; KOLB, 2002); ; Razão unitária⁸ 8 (NILLAS, 2013); ; Inversão do fator multiplicativo⁹ 9 (CONTRERAS, 2012); ; Divisão partição por comparação¹⁰ 10 (LO; LUO, 2012);	3. Transformação de uma grandeza dada uma razão adimensional²¹ 21 É a comparação entre duas quantidades de uma mesma grandeza por meio do quociente entre elas, expressa por um número simples sem dimensão.
Proporção de valor unitário conhecido¹¹ 11 (CONTRERAS, 2012); ; Divisão medição equitativa¹² 12 (LO; LUO, 2012);	4. Proporção entre duas grandezas com um valor unitário conhecido
Determinação da razão unitária¹³ 13 (SINICROPE ; MICK; KOLB, 2002); ; Divisão partição equitativa¹⁴ 14 (LO; LUO, 2012); ; Proporção de valor unitário desconhecido¹⁵ 15 (CONTRERAS, 2012);	5. Proporção entre duas grandezas em busca do valor unitário desconhecido
Divisão como inverso do produto cartesiano¹⁶ 16 (SINICROPE ; MICK; KOLB, 2002); ; Divisão de área retangular¹⁷ 17 (LO; LUO, 2012); ; Produto e fatores¹⁸ 18 (OLANOFF, 2011; MA, 1999); ; Inverso do produto cartesiano (área)¹⁹ 19 (NILLAS, 2013); ; Inversão da multiplicação (ou fator perdido)²⁰ 20 (CONTRERAS, 2012);	6. Um fator desconhecido de um produto (área retangular)

corpus

¹
(OLANOFF, 2011OLANOFF, D. E. Mathematical Knowledge for Teaching Teachers: The Case of Multiplication and Division of Fractions. 2011. 236f. Thesis (Doctor of Mathematics Education). Syracuse University, New York, 2011.; OZEL, 2013OZEL, S. An Analysis of In-service Teachers’ Pedagogical Content Knowledge of Division of Fractions. Anthropologist, New York, v. 16, n. 1-2, p. 1-5, 2013.; CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.);
²
(SINICROPE; MICK; KOLB, 2002SINICROPE, R.; MICK, H. W.; KOLB, J. R. Interpretations of fraction division. In: LITWILLER, B. (Ed). Making sense of fractions, ratios, and proportions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2002. p. 153-161.; NILLAS, 2013);
³
(PURITZ, 2005PURITZ, C. Dividing by Small Numbers-and Why Not by 0? Mathematics in School, Leicester, v. 34, n. 5, p. 2-4, 2005. Disponível em: http://www.jstor.org/stable/30215826. Acesso em: 10 Maio 2012.
http://www.jstor.org/stable/30215826... );
⁴
(SINICROPE; MICK; KOLB, 2002SINICROPE, R.; MICK, H. W.; KOLB, J. R. Interpretations of fraction division. In: LITWILLER, B. (Ed). Making sense of fractions, ratios, and proportions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2002. p. 153-161.; OLANOFF, 2011OLANOFF, D. E. Mathematical Knowledge for Teaching Teachers: The Case of Multiplication and Division of Fractions. 2011. 236f. Thesis (Doctor of Mathematics Education). Syracuse University, New York, 2011.; OZEL, 2013OZEL, S. An Analysis of In-service Teachers’ Pedagogical Content Knowledge of Division of Fractions. Anthropologist, New York, v. 16, n. 1-2, p. 1-5, 2013.; NILLAS, 2013; CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.);
⁵
(PURITZ, 2005PURITZ, C. Dividing by Small Numbers-and Why Not by 0? Mathematics in School, Leicester, v. 34, n. 5, p. 2-4, 2005. Disponível em: http://www.jstor.org/stable/30215826. Acesso em: 10 Maio 2012.
http://www.jstor.org/stable/30215826... );
⁶
(LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.);
⁷
(SINICROPE; MICK; KOLB, 2002SINICROPE, R.; MICK, H. W.; KOLB, J. R. Interpretations of fraction division. In: LITWILLER, B. (Ed). Making sense of fractions, ratios, and proportions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2002. p. 153-161.);
⁸
(NILLAS, 2013);
⁹
(CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.);
¹⁰
(LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.);
¹¹
(CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.);
¹²
(LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.);
¹³
(SINICROPE ; MICK; KOLB, 2002SINICROPE, R.; MICK, H. W.; KOLB, J. R. Interpretations of fraction division. In: LITWILLER, B. (Ed). Making sense of fractions, ratios, and proportions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2002. p. 153-161.);
¹⁴
(LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.);
¹⁵
(CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.);
¹⁶
(SINICROPE ; MICK; KOLB, 2002SINICROPE, R.; MICK, H. W.; KOLB, J. R. Interpretations of fraction division. In: LITWILLER, B. (Ed). Making sense of fractions, ratios, and proportions. Reston: National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 2002. p. 153-161.);
¹⁷
(LO; LUO, 2012LO, J.-J.; LUO, F. Prospective elementary teachers’ knowledge of fraction division. Journal of Mathematics Teacher Education, Utrecht, v. 15, n. 6, p. 481-500, 2012. Disponível em: http://dx.doi.org/10.1007/s10857-012-9221-4. Acesso em: 14 out. 2014.);
¹⁸
(OLANOFF, 2011OLANOFF, D. E. Mathematical Knowledge for Teaching Teachers: The Case of Multiplication and Division of Fractions. 2011. 236f. Thesis (Doctor of Mathematics Education). Syracuse University, New York, 2011.; MA, 1999MA, L. Knowing and teaching elementary mathematics: Teachers’ understanding of fundamental mathematics in China and the United States. New York: Taylor & Francis, 1999. 198 p.);
¹⁹
(NILLAS, 2013);
²⁰
(CONTRERAS, 2012CONTRERAS, M. Problemas multiplicativos relacionados con la división de fracciones: un estudio sobre su enseñanza y aprendizaje. 2012. 374f. Tese (Doutorado em Didática da Matemática) -Departament de Didáctica de les Matematiques, Universidad de Valencia, Valencia, 2012.);
²¹
É a comparação entre duas quantidades de uma mesma grandeza por meio do quociente entre elas, expressa por um número simples sem dimensão.

Característica-chave	Exemplos de problemas associados	Solução [unidade]	Análise de unidades
1. Distribuição por inteiros	- Se $\frac{3}{7}$ de um bolo foi repartido entre 5 crianças, quanto do bolo terá cada uma delas? - Repartir $\frac{3}{7}$ de um saco de balas entre 5 crianças.	$\frac{3}{7} \div 5$ [do bolo] [do saco]	Dividendo e quociente tem mesma unidade, divisor inteiro
2. Comparação em uma grandeza	- Quantas vezes $\frac{1}{4}$ kg de farinha cabe em $5 \frac{1}{2}$ kg de farinha? - Hoje me exercitei $\frac{1}{4}$ de hora e ontem $1 \frac{1}{2}$ hora. Quantas vezes me exercitei hoje comparado a ontem?	$5 \frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$ [vezes] $\frac{1}{4} \div 1 \frac{1}{2}$ [vezes]	Dividendo e divisor tem mesma unidade
3. Transformação de uma grandeza, sabendo uma razão adimensional (A em B dado A/B)	- Qual é o tamanho original de um elástico que esticado mede 1½ m, sabendo que ele pode ser esticado até $4 \frac{1}{4}$ vezes seu tamanho? - João correu $1 \frac{1}{2}$ km ontem e isto é $\frac{3}{8}$ da sua meta, assim sendo, quantos quilómetros ele planeja correr?	$1 \frac{1}{2} \div 4 \frac{1}{4}$ [metro] $1 \frac{1}{2} \div \frac{3}{8}$ [km]	Dividendo e quociente tem mesma unidade, divisor é razão adimensional
4. Proporção entre duas grandezas com um valor unitário conhecido	- Quantos pacotes eu posso fazer usando $5 \frac{1}{2}$ kg de farinha sabendo que cabe $\frac{1}{4}$ kg em um pacote? - Quanto tempo um barco demora para percorrer 5½ km indo a 7 ½ km por hora?	$5 \frac{1}{2} \div \frac{1}{4}$ [pacotes] $5 \frac{1}{2} \div 7 \frac{1}{2}$ [hora]	Todas unidades são diferentes, divisor é valor unitário entre duas unidades
5. Proporção entre duas grandezas em busca do valor unitário desconhecido	- Quantos quilómetros o carro percorre com 1 tanque de combustível, em se $10 \frac{1}{2}$ km ele usa $\frac{3}{4}$ de tanque? - Quantos centímetros mede uma polegada, sabendo que $2 \frac{1}{2}$ polegadas medem aproximadamente $6 \frac{1}{3}$ cm?	$10 \frac{1}{2} \div \frac{3}{4}$ [km por tanque] $6 \frac{1}{3} \div 2 \frac{1}{2}$ [cm por pol.]	Todas unidades são diferentes, quociente é valor unitário entre as unidades
6. Um fator desconhecido de um produto (área retangular)	- Se a área de um retângulo tem $3 \frac{3}{4}$ e sua largura $1 \frac{1}{2}$ , qual é seu comprimento? -Sete metros de arame são suficientes para cercar a horta retangular de largura $1 \frac{1}{2}$ metros e área $3 \frac{3}{4}$ m²?	$3 \frac{3}{4} \div 1 \frac{1}{2}$ [metro]	Dividendo e quociente tem unidades diferentes

Erros para $\frac{1}{4} \div 4 = ?$	$\frac{1 \div 4}{4 \div 4} ou \frac{1}{4} \times 4 ou \frac{1}{4 \div 4} ou \frac{4}{1} \times 4$
Erros para $\frac{1}{4} \div \frac{3}{5} = ?$	$\frac{1}{4} \times \frac{3}{5} ou \frac{3}{4 \div 5}$
Erros para $4 \div \frac{1}{4} = ?$	$4 \div 4 ou \frac{1}{4} \times 4$
Erros para $320 \div \frac{1}{3} = ?$	320 ÷ 3

[1] Endereço para correspondência: Rua Profa. Zulmira Canavarros, 95, Centro Norte, Cuiabá, MT, Brasil, CEP: 78048-076. E-mail: jeferson.moriel@cba.ifmt.edu.br.

Brasil

Brasil

Meta-análise sobre Conhecimento para Ensinar Divisão de Frações

Meta-analysis about knowledge to teaching fractions division

Resumo