Uso por Alumnos de Bachillerato de los Fenómenos Aproximación Simple Intuitiva y Retroalimentación en Sucesiones

Mellado, Francisco-Javier Claros; Compaña, Teresa Sánchez; Benarroch, Moisés Coriat

doi:10.1590/1980-4415v29n51a16

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Artigos • Bolema 29 (51) • Abr 2015 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v29n51a16 copiar

Uso por Alumnos de Bachillerato de los Fenómenos Aproximación Simple Intuitiva y Retroalimentación en Sucesiones

High-School Students' Use of Intuitive Simple Approximation and Feedback Phenomena in Sequences

Autoría SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Relatamos los pasos seguidos para elaborar un cuestionario destinado a observar los fenómenos de aproximación simple intuitiva y de retroalimentación en las respuestas que dan alumnos de bachillerato^**** **** El Bachillerato (B.) designa en España, desde 1990, la Educación Secundaria No Obligatoria. Se realiza en dos cursos que, normalmente, corresponden a las edades 16-17 y 17-18 años. Los centros en los que se estudia se denominan Institutos. Existen varias modalidades: B. de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud, B. Tecnológico y B. de Ciencias Sociales. Desde 1990 han cambiado dos veces los currículos de matemáticas. Éstos son aproximadamente idénticos en las dos primeras modalidades. Se suele traducir en inglés como High. School. En este artículo se mencionan libros de texto de Bachillerato que abarcan un período de 70 años; el lector debe estar advertido que el B. en España ha experimentado importantes cambios estructurales en dicho lapso a cuestiones sobre el límite finito de una sucesión. Presentamos el marco didáctico y metodológico de nuestras investigaciones. En el trabajo de campo descrito, participaron 143 alumnos de tres institutos diferentes de Madrid y su periferia. Incluimos resultados agregados, las categorías usadas para clasificar las respuestas, el uso que los alumnos hacen de los dos fenómenos mencionados y algunas dificultades que nuestras preguntas han planteado a los alumnos.

Límite Finito de Sucesiones; Fenomenología; Sistemas de Representación; Libros de Texto de Bachillerato; Diseño de una Encuesta

FENÓMENOS (ver Apartado 3)	En PME	En PMA
De aproximación intuitiva	Se usa	Se usan en el orden que se indica aquí.
De retroalimentación	No se usa	Se usan en el orden que se indica aquí.

Categorías	Descripción
C1	Justifica empleando la respuesta dada en el enunciado
C2	Contesta erróneamente
C3	Identifica la afirmación que aparece en el enunciado de la cuestión como la definición de límite
C4	Responde bien y justifica su respuesta
C5	Plantea la necesidad de conocer más valores de ‘x’ o ‘f(x)’¹ 1 f(x) hace referencia a los valores que toma la sucesión . Algunos alumnos emplearon esta respuesta, en algunas de las preguntas del cuestionario. En este caso los alumnos usaron la variable x, para referirse a los valores 1,2,3,…. En general suele usarse la variable “n” para sucesiones, en las que el dominio es N y “x”, para las funciones reales, en las que el dominio es R.
C6	No sabe/No contesta

Categorías	Descripción
C0	Calcula correctamente el límite de la sucesión presentada y emplea la justificación dada por el alumno ficticio
C1	Calcula correctamente el límite de la sucesión presentada y emplea algún fenómeno en sus justificaciones
	Categoría C1.1. Emplea el fenómeno de aproximación simple intuitiva (a.s.i), representación gráfica y formato ejemplo.
	Categoría C1.2. Emplea el fenómeno de aproximación simple intuitiva (a.s.i), representación tabular y formato ejemplo.
	Categoría C1.3. Emplea el fenómeno de aproximación simple intuitiva (a.s.i), representación verbal y formato ejemplo.
	Categoría C1.4 Emplea el fenómeno de retroalimentación o ida-vuelta (i.v.s), representación verbal y formato ejemplo.
C2	Calcula correctamente el límite de la sucesión presentada, pero no emplea ningún fenómeno en sus justificaciones
	Categoría C2.1 Justifica su respuesta de alguna manera, sin emplear ningún fenómeno.
	Categoría C2.2 No justifica su respuesta.
C3	No calcula correctamente el límite.
	C 3.1 Usa una idea de infinito potencial.
	C 3.2 No usa una idea de infinito potencial.² 2 Ejemplo: si el alumno contesta que la sucesión 0,9, 0,99, 0,999… tiende a 0,99999… = 0, %, y no tiende a 1, ha calculado incorrectamente el límite y maneja una idea de infinito potencial
C4	Plantea la necesidad de conocer más valores de la sucesión
C5	No sabe / No contesta

Institutos	Fecha de administración	Grupos	Subtotales
“José Hierro” –JH	1/abril/2007	1° Bachillerato A	4	7
		1° Bachillerato B	0
		2° Bachillerato B	2
		2° Bachillerato C	1
“Celestino Mutis” –CM	10/mayo/2007	1° Bachillerato A	2	0
“Celestino Mutis” –CM	10/mayo/2007	1° Bachillerato B	8	0
“Dámaso Alonso” -DA	14/junio/2007	1° Bachillerato X	1	6
“Dámaso Alonso” -DA	14/junio/2007	1° Bachillerato Y	5	6

Origen de la respuesta	Transcripción	Asignación justificada
DA, 1° X	Sí, el límite es 3. La justificación es la que el alumno ficticio explica en todas las preguntas.	Categoría C0, ya que emplea la misma justificación dada por el alumno ficticio. (En este caso, el empleo corresponde a darla por buena.)
JH, 2° C	Hace un dibujo. Sí. En la gráfica se va acercando cada vez más al valor 3	Categoría C1.1, emplea el fenómeno a.s.i, usa la representación gráfica y el formato ejemplo.
DA, 1° X	Es verdadera, ya que cuando n se va haciendo más grande, la sucesión se va acercando a 3.	Categoría C1.3 porque maneja el fenómeno a.s.i, usa la representación verbal y el formato ejemplo.
JH, 2° B	Teniendo en cuenta que una sucesión de número reales a_n tiene por limite el número real a, cuando para todo número real positivo ∊ existe un número natural n, tal que para todo n>n se verifica que \|a_n-a\|<∊	Categoría C1.4 porque surge el fenómeno i.v.s, usa el sistema de representación l verbal y el formato ejemplo
JH, 2° B	Estoy de acuerdo con la afirmación, siempre que el número al que se reduzca sea menor que el número ∊
JH, 1° B	Si porque la a_n tiende a 1 y nunca va a pasar de 1,5 por lo tanto es un límite	Categoría C2.1 porque calcula correctamente el límite de la sucesión y justifica su respuesta de alguna manera sin emplear ninguno de los fenómenos que manejamos (a.s.i e i.v.s)
JH, 1° B	Sí, estoy de acuerdo	Categoría C2.2 porque el alumno calcula correctamente el límite de la sucesión presentada pero no justifica su respuesta.
JH, 2° B	La solución es incorrecta dado que a pesar de sea cierto que el límite de esta sucesión, y que cuando n crece los valores de la solución se van acercando a ese número, sin embargo nunca va a llegar al número 3	Categoría C3.1 porque no calcula correctamente el límite y además en su respuesta aparece el infinito potencial expresado a través de la frase “nunca va a llegar al número 3”.
CM, 1° B	No estoy de acuerdo; porque no tiene limite pero el limite no es 3 sino infinito”	Categoría C3.2 porque el alumno no calcula correctamente el límite de la sucesión presentada; afirma, erróneamente, que no es 3. Además no usa el infinito potencial.
CM, 1° A	No, solo con esta gráfica no podríamos afirmar que el límite de esta sucesión sea 3, habría que dar valores mucho más altos que 10 para saberlo	Categoría C4, porque el alumno plantea la necesidad de conocer más valores de la sucesión. Así interpretamos su texto “… habría que dar valores mucho más altos…”.
CM, 1° B	(Sí, porque) No entiendo su pregunta No entiendo su pregunta	Categoría C5 porque el alumno no contesta nada.
No se obtuvo ejemplo de la categoría C1.2

ategoría	Pregunta 1ª		Pregunta 2ª		Pregunta 3ª a		Pregunta 3ª b
ategoría	RABS		RABS		RABS		RABS
0							HD	HD
1.1	HD	HD			HD	HD
1.2	HD	HD	HD	HD	HD	HD	HD	HD
1.3	0	9	0	9	2	6	7	9
1.4
2.1	3	3	4	4	4	4	1
2.2	1		3		5	0	9	3
3.1
3.2	5	0	0		2		9	0
4					HD	HD
5					5	0	1	9
OT	43	00	43	00	43	00	43	00

Fenómeno	Periodo 1995-2005
Aproximación simple intuitiva, en el sistema de representación verbal y en el formato ejemplo	9
Aproximación simple intuitiva, en el sistema de representación verbal y en el formato definición	5
Aproximación simple intuitiva, en el sistema de representación tabular y en el formato ejemplo	11
Aproximación simple intuitiva, en el sistema de representación tabular y en el formato definición	0
Aproximación simple intuitiva, en el sistema de representación gráfico y en el formato ejemplo	13
Aproximación simple intuitiva, en el sistema de representación gráfico y en el formato definición	0
Aproximación simple intuitiva, en el sistema de representación simbólico y en el formato ejemplo	0
Aproximación simple intuitiva, en el sistema de representación simbólico y en el formato definición	0
Recuento total	38

Fenómeno	Periodo 1995-2005
Ida-vuelta en sucesiones en el sistema de representación verbal y en el formato ejemplo	2
Ida-vuelta en sucesiones en el sistema de representación verbal y en el formato definición	4
Ida-vuelta en sucesiones en el sistema de representación tabular y en el formato ejemplo	0
Ida-vuelta en sucesiones en el sistema de representación tabular y en el formato definición	0
Ida-vuelta en sucesiones en el sistema de representación gráfico y en el formato ejemplo	2
Ida-vuelta en sucesiones en el sistema de representación gráfico y en el formato definición	0
Ida-vuelta en sucesiones en el sistema de representación simbólico y en el formato ejemplo	2
Ida-vuelta en sucesiones en el sistema de representación simbólico y en el formato definición	0
Recuento total	10

n	a_n
1	1/5
2	1/25
3	1/125
….	….

n	A_n
1	1.9
2	1.99
3	1.999
….	…‥

n	a_n
1	1
2	1/4
3	1/16
….	….

n	a_n
1	5
2	7′5
3	8′75
4	9′375
….	….

n	A_n
1	1.9
2	1.99
3	1.999
4	1.9999
5	1.99999
6	1.999999
7	1.9999999
8	1.99999999
…	…

Categorías	Frecuencias
C1	13
C2	4
C3	1
C4	3
C5	2
C6	11

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