Neste trabalho estudamos um sistema clássico de dois osciladores harmônicos acoplados com massas (m i), constantes de mola (k i) e parâmetro de acoplamento (κ) dependentes do tempo. Para encontrar as soluções das equações de movimento de cada oscilador, usamos uma transformação canônica para reescrever a hamiltoniana do sistema acoplado como a soma das hamiltonianas de dois osciladores harmônicos desacoplados com frequências modificadas e massas unitárias. Analisamos o comportamento de x i,v i = ẋi e do diagrama de fase x i vs.vi para o sistema m1=m2=moeγt e k1=k2=κ=koeγt
osciladores acoplados; transformação canônica
In this work we study a coupled system of two classical oscillators with time-dependent masses (m i), spring constants (k i) and coupling parameter (κ). To obtain the solution of the equation of motion for each oscillator, we use a canonical transformation to rewrite the Hamiltonian of the coupled system as the sum of the hamiltonians of two uncoupled harmonic oscillators with modified frequencies and unitary masses. We analyze the behavior of x i,v i = ẋi and the phase diagram x i vs. v i for the system m1=m2=moeγt and k1=k2=κ=koeγt
coupled oscillators; canonical transformation
ARTIGOS GERAIS
Soluções clássicas de sistemas acoplados dependentes do tempo
Classical solutions of time-dependent coupled systems
Augusto P.C.M. LimaI; Diego X. MacedoI, 1; Ilde GuedesI, III
IDepartamento de Física, Universidade Federal do Ceará, Campus do PICI, Fortaleza, CE, Brasil
IIDepartamento de Ensino, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará, Campus Crateús, Crateús, CE, Brasil
IIISeara da Ciência, Universidade Federal do Ceará, Campus do PICI, Fortaleza, CE, Brasil
RESUMO
Neste trabalho estudamos um sistema clássico de dois osciladores harmônicos acoplados com massas (mi), constantes de mola (ki) e parâmetro de acoplamento (κ) dependentes do tempo. Para encontrar as soluções das equações de movimento de cada oscilador, usamos uma transformação canônica para reescrever a hamiltoniana do sistema acoplado como a soma das hamiltonianas de dois osciladores harmônicos desacoplados com frequências modificadas e massas unitárias. Analisamos o comportamento de xi,vi = ẋi e do diagrama de fase xivs.vi para o sistema m1=m2=moeγt e k1=k2=κ=koeγt
Palavras-chave: osciladores acoplados, transformação canônica.
ABSTRACT
In this work we study a coupled system of two classical oscillators with time-dependent masses (mi), spring constants (ki) and coupling parameter (κ). To obtain the solution of the equation of motion for each oscillator, we use a canonical transformation to rewrite the Hamiltonian of the coupled system as the sum of the hamiltonians of two uncoupled harmonic oscillators with modified frequencies and unitary masses. We analyze the behavior of xi,vi = ẋi and the phase diagram xivs. vi for the system m1=m2=moeγt and k1=k2=κ=koeγt
Keywords: coupled oscillators, canonical transformation.
1. Introdução
Nos cursos básicos de física estudamos o sistema simples de dois osciladores harmônicos acoplados, constituído de dois osciladores harmônicos idênticos (mesma massa (m) e constante de mola(k)) ligados por uma mola de constante de mola κ. A hamiltoniana para este sistema é
onde xi (i = 1, 2) é o deslocamento da i-ésima partícula em relação à posição de equilíbrio, e pi seu momento. As equações de movimento para x1 e x2 são dadas, respectivamente, por
cujas soluções são dadas por
onde e
são as frequências de oscilação, e A1,2 e ϕ1,2 são constantes arbitrárias de que necessitamos para o ajuste às condições iniciais. Observe que as expressões para x1 e x2 correspondem a superposição de oscilações com frequências ω1,2 diferentes. Entretanto, se definirmos duas novas coordenadas, q1 e q2, como combinações lineares de x1 e x2, na forma
podemos escrever as equações de movimento como
que são duas equações desacopladas de osciladores harmônicos simples com as seguintes soluções gerais
que correspondem a movimentos harmônicos simples. As coordenadas q1 e q2 são denominadas de coordenadas normais de vibração, associadas, respectivamente, ao deslocamento do centro de massa e ao deslocamento relativo entre as duas partículas (deformação da mola).
A decomposição da dinâmica de osciladores acoplados em termos de uma superposição de modos normais, que nada mais são do que modos normais de osciladores harmônicos simples, é um dos principais resultados da física de osciladores acoplados. Esta decomposição independe do número de osciladores acoplados.
Modos normais são importantes para o entendimento do comportamento dinâmico de sistemas constituídos de osciladores que vibram com baixa amplitude, cuja dinâmica pode ser reduzida a uma superposição de osciladores harmônicos simples. Isto ocorre, por exemplo, em física da matéria condensada, onde propriedades relevantes de sólidos podem ser investigadas a partir do estudo da dinâmica dos átomos que oscilam em torno de suas posições de equilíbrio na rede cristalina. Isto também ocorre em química e biologia, onde a dinâmica dos átomos que constituem as moléculas pode ser tratada teoricamente como a dinâmica de um conjunto de osciladores acoplados.
O uso de modos normais de vibração para o entendimento e controle de fenômenos em ciência e tecnologia vai além do caso de conjuntos finitos de osciladores acoplados. Considerando um número infinito de osciladores é possível estudar meios contínuos como cordas, membranas, e meios elásticos que aparecem em diversas áreas da física.
Ao escrevermos a hamiltoniana (1) consideramos que m, k e κ são constantes. Mas, será que existem problemas em física que para serem estudados teoricamente devemos considerar que m, k e κ sejam funções do tempo?
A resposta é sim. Em 2001, Zhang et al [1] calcularam as incertezas quânticas de um circuito elétrico mesoscópico constituído de dois circuitos RLC (R = resistência, L = indutância, C = capacitância) acoplados por um capacitor. Devido à resistência R, a hamiltoniana que descreve o sistema torna-se dependente do tempo. Os autores utilizaram o método de Lewis e Riesenfeld [2] de invariantes dinâmicos e uma transformação unitária para obter a solução da equação de Schrödinger dependente do tempo. Eles calcularam a relação de incerteza entre a carga e a corrente e mostraram que esta não satisfaz o princípio de mínima incerteza mesmo no caso em que R = 0.
O modelo de osciladores harmônicos acoplados dependentes do tempo também foi utilizado no estudo da dinâmica de uma partícula carregada em campos magnéticos que variam com o tempo. Recentemente, Menouar et al [3,4] calcularam a função de onda de dois sistemas que descrevem o movimento de uma partícula em um campo magnético variável. Na Ref. [3] os autores consideraram o termo de acoplamento estático, xy, enquanto na Ref. [4] eles consideraram o termo de acoplamento dinâmico, pxpy. As soluções encontradas pelos autores foram expressas em termos de uma variável que satisfaz a equação de Milne-Pinney [5,6].
Na Ref. [7], Macedo e Guedes resolveram a equação de Milne-Pinney para três diferentes conjuntos de osciladores acoplados dependentes do tempo. Eles consideraram apenas a presença do termo de acoplamento estático na ausência de campo magnético, para calcular as funções de onda e obter as relações de incerteza.
Neste trabalho estudamos o sistema clássico de dois osciladores harmônicos acoplados dependentes do tempo. Para encontrarmos a equação de movimento de cada oscilador, utilizamos transformações canônicas para desacoplar o sistema e escrevê-lo como a soma das hamiltonianas de dois osciladores harmônicos simples desacoplados. Na próxima seção apresentamos o procedimento usado para desacoplarmos um sistema de dois osciladores harmônicos acoplados dependentes do tempo. Na Seção 3 resolveremos as equações de movimento para o sistema m1=m2=m0eγt, k1=k2=κ=koeγt e discutiremos o comportamento de xi, vi e do diagrama de fase xi, vs. vi. Na Seção 4 apresentamos um sumário de nossos resultados.
2. Formalismo
Para descrever o sistema de dois osciladores harmônicos acoplados dependentes do tempo, vamos considerar a seguinte hamiltoniana
onde m1,2, ω1,2 e κ são funções dependentes do tempo.
Para escrever a Eq. (12) como a soma de dois osciladores harmônicos (desacoplados) dependentes do tempo, consideremos inicialmente a seguinte transformação de coordenada e momento
de maneira que a Eq. (12) é reescrita na forma
onde
Podemos eliminar o termo q1q2 que aparece na Eq. (17), se considerarmos uma transformação canônica dependente do tempo, cuja função geratriz é dada por
Da Eq. (22) obtemos as novas variáveis canônicas [8]
e, por conseguinte a nova hamiltoniana, HN= +H(t), passa a ser escrita como
onde são, respectivamente, dadas por
A completa separação de variáveis da Eq. (27) ocorre para θ˙ e
A Eq. (30) impõe um vínculo sobre os possíveis valores de m1,2, ω1,2 e κ a serem utilizados para que soluções analíticas sejam possíveis. Com estas restrições, a Eq. (27) finalmente escreve-se
que representa a hamiltoniana de dois osciladores harmônicos desacoplados com frequências dependentes do tempo e massas unitárias. Das equações de Hamilton [8], obtemos
e
Usando as Eqs. (13), (14), (25) e (26), as expressões para x1(t) e x2(t) são dadas por
e
Assim, uma vez especificado os valores de m1,2, ω1,2 e κ obtemos as soluções das equações de movimento utilizando as Eqs. (34) e (35), como veremos na próxima seção.
3. Exemplo de um sistema de osciladores acoplados dependentes do tempo
Para ilustrar o método desenvolvido na seção anterior, vamos considerar um sistema de osciladores acoplados com m1=m2=moeγt e k1=k2=κ=koeγt. Neste caso, ω1=ω2=ω0= . Para estes valores de mi, ki e κ, obtemos das Eqs. (18)-(21) que b1=b2=-b3=koeγt, e consequentemente, da Eq. (30), θ=π/4. Agora, das Eqs. (28) e (29) obtemos
e
que são independentes do tempo. Vamos considerar ωo2> γ2/4 de forma que Ω1 e Ω2 sejam maior do que zero. Com isso, as soluções das Eqs. (32) e (33) são, respectivamente, dadas por
onde A, B, φ1 e φ2 são constantes determinadas pelas condições iniciais. As soluções para x1(t) e x2(t) são, respectivamente, dadas por
Derivando as expressões acima obtemos as expressões para as velocidades ẋ1(t) e ẋ2(t), a saber
Note que para γ=0, as Eqs. (40)-(43) correspondem às soluções obtidas para o sistema de osciladores acoplados independentes do tempo. Vamos examinar a situação em que os osciladores partem do repouso, ẋ1(0)=ẋ2(0)=0, mas somente um deles é deslocado da posição de equilíbrio, x1(0)=1 e x2(0)=0. Assim as expressões para as posições e as velocidades para os osciladores independentes do tempo são expressas por
Nas Figs. 1(a)-(c) e 2(a)-(c), mostramos os gráficos da posição, velocidade e do diagrama de fase para os osciladores independentes do tempo 1 e 2, respectivamente Como havíamos mencionado na seção 1, os gráficos para x1,2 e ẋ1,2 correspondem à superposição de oscilações com frequências diferentes. Observe que as amplitudes de oscilação x1,2 não vão a zero quando t→∞ e variam de forma não periódica.
Utilizando as mesmas condições iniciais, temos que as expressões para a posição e velocidade dos dois osciladores dependentes do tempo são expressas por
Nas Figs. 3(a)-(c) e 4(a)-(c), mostramos os gráficos da posição, velocidade e do diagrama de fase para os osciladores dependentes do tempo 1 e 2, respectivamente. Observe que as oscilações de x1,2 além de variarem de forma não-periódicas como no caso anterior, elas são amortecidas, ou seja, as amplitudes de oscilação vão à zero quando t→∞. A questão é: o quê provoca este amortecimento já que não consideramos nenhuma força de atrito?
Para entender o que causa o amortecimento em nosso sistema, considere o movimento de uma partícula clássica de massa m0 movendo-se em uma dimensão com momento p=m0ẋ sobre a influência de uma força conservativa, f(x)=-kx. A equação do movimento para este sistema (oscilador harmônico simples (OHS)) escreve-se
onde é a freqüência angular característica do sistema. Esta mesma equação de movimento pode ser obtida através da formulação hamiltoniana da mecânica clássica. A hamiltoniana para o OHS é dada por
e representa a energia do sistema. Podemos mostrar que
indicando que o sistema é conservativo. Entretanto, na prática sempre existe dissipação de energia.
Para incluirmos a dissipação em nosso sistema procedemos da seguinte forma. Considere novamente o movimento de uma partícula clássica de massa m0 movendo-se em uma dimensão com momento p=m0ẋ sobre a influência não apenas de uma força conservativa f(x) mas, também, de uma força de atrito, Fat=-γm0ẋ, onde γ é o parâmetro de amortecimento. Assim, a equação de movimento e a taxa de variação temporal de E(t) para o oscilador harmônico amortecido (OHA) são dadas, respectivamente, por
Dependendo dos valores de γ e ω0, a Eq. (55) tem três soluções distintas que correspondem aos seguintes casos de amortecimento: (i) subcrítico ( γ/2 <ω0); (ii) supercrítico ( γ/2 >ω0); e (iii) crítico ( γ/2 =ω0). Vamos considerar apenas o amortecimento subcrítico, pois é o único que fornece uma solução que oscila com amplitude decrescente.
A solução da Eq. (55) para o caso (i) sujeita as condições iniciais x(0) = 1 e ẋ(0)=0, é expressa por
onde ω2= ω02- γ2/4 , A e ϕ são duas constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais. A expressão para a energia mecânica (E=T+V) do sistema é dada por
que oscila com amplitude que decresce exponencialmente indo à zero para tempos assintóticos (t→∞).
Desta vez, entretanto, a Eq. (55) não pode ser obtida através de uma função hamiltoniana, H(x,p)=T(p)+W(x,p), onde T(p) é a energia cinética e W(x, p) é a energia potencial dependente de x e p. Isto porque a força de atrito, Fat=-γm0ẋ, não pode ser derivada da expressão [9].
Mas, será que não existe alguma maneira de escrevermos uma função hamiltoniana que forneça, mediante a aplicação das equações de Hamilton, a equação de movimento dada pela Eq.(55)? A resposta foi dada por Bateman [10] ao considerar a seguinte função lagrangiana dependente do tempo
A partir desta função lagrangiana, Caldirola [11] e Kanai [12] construíram a seguinte função hamiltoniana
onde, agora, o momento canônico é dado pela expressão p=m0eγtẋ.
A Eq.(60) é chamada de hamiltoniana de Caldirola-Kanai, que nada mais é que a hamiltoniana de um oscilador harmônico com frequência constante, ω0, e massa dependente do tempo, m(t)=m0eγt. Esta hamiltoniana foi introduzida na literatura com o intuito de descrever sistemas dissipativos utilizando a formulação hamiltoniana da mecânica clássica.
De uma forma geral, a hamiltoniana para um sistema com massa dependente do tempo e frequência constante, é dada por
Utilizando as equações de Hamilton obtemos a seguinte equação do movimento
que é análoga a Eq. (55) ao identificarmos . Em outras palavras, a variação temporal de m produz um amortecimento na amplitude de oscilação semelhante ao produzido pela força de atrito presente no OHA.
E a energia mecânica do sistema? A Eq. (58) representa a energia mecânica de um OHA com massa constante, enquanto a Eq. (61) representa a hamiltoniana de um OH com massa dependente do tempo. Poderíamos pensar que a Eq. (61) pudesse ser a energia do sistema. Mas, devemos lembrar que a hamiltoniana é a própria energia do sistema, se e somente se o sistema for conservativo, ou seja, se a hamiltoniana não depender explicitamente do tempo. Assim, qual a expressão para a energia do sistema descrito pela hamiltoniana de Caldirola-Kanai?
Substituindo os valores de x, ẋ e m(t) na Eq. (60) obtemos
que oscila com amplitude variável, mas que não vai à zero quando t→∞. Como a Eq. (56) deve permanecer válida, vemos que para o oscilador de Caldirola-Kanai a relação entre a hamiltoniana e a energia mecânica total é expressa por [13]
E=He-γt,
que nada mais é do que a Eq. (58).
No presente caso as massas também variam de acordo com m=m0eγt. O termo e-γt/2 que aparece nas Eqs. (48) e (49) advém das massas, e, portanto, tendo como base o que foi exposto acima, é a dependência temporal das massas que faz com que as oscilações de x1,2 sejam amortecidas.
4. Conclusões
Neste trabalho estudamos as soluções clássicas para o sistema de dois osciladores harmônicos acoplados dependentes do tempo. Para encontrá-las usamos uma transformação de escala e uma transformação canônica para desacoplar o hamiltoniano e escrevê-lo como a soma de hamiltonianas de osciladores harmônicos simples com frequências dependentes do tempo e massas unitárias. Para o sistema m1=m2=moeγt e k1=k2=κ=koeγt encontramos as soluções analíticas para a posição e a velocidade de cada oscilador. Analisamos o comportamento de xi, vi e do diagrama de fase xivs. vi.
Observamos que o comportamento tanto de x1(t) quanto de x2(t) correspondem à superposição de dois osciladores harmônicos simples de diferentes frequências e com amplitude de oscilação decrescendo exponencialmente com o tempo. Este comportamento é análogo ao de um oscilador com amortecimento subcrítico. Explicamos que este amortecimento surge pelo fato que as massas crescem exponencialmente no tempo.
Agradecimentos
Os autores agradecem ao CNPq pelo auxílio financeiro (Fortaleza - CE).
Recebido em 8/8/2013
Aceito em 7/11/2013
Publicado em 11/5/2014
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