Neste trabalho nós propomos uma técnica para gerar códigos coloridos poligonais no ambiente da geometria hiperbólica. Os códigos coloridos foram introduzidos por Bombin e Martin-Delgado em 2007 e sua versão chamada triangular color codes possui um grau maior de interesse pela sua capacidade de implementação do grupo de Clifford, mas codificam apenas um qubit. Em 2018 Soares e Silva estenderam os códigos triangulares para os códigos poligonais, que codificam mais qubits. Usando uma abordagem via tesselações hiperbólicas mostramos que é possível gerar os códigos Poligonais Hiperbólicos, que codificam mais que um qubit, possuem a capacidade de implementação de todo o grupo de Clifford e além disso tem uma taxa de codificação melhor que os códigos anteriormente citados, quando se trata de códigos coloridos em superfícies com bordo cuja distância mínima é $d = 3$ .

Palavras-chave:
códigos Coloridos; códigos quânticos topológicos; geometria hiperbólica

Autoria

W.S. SOARES JR^**Corresponding author: W. S. Soares Jr. -- E-mail: waldirjunior@utfpr.edu.br

Departamento de Matemática, UTFPR, Universidade Tecnológica Federal de Paraná, Via do Conhecimento, Km 1,85503-390, Pato Branco, PR, Brasil. E-mail: waldirjunior@utfpr.edu.brUniversidade Tecnológica Federal de ParanáBrasilPato Branco, PR, BrasilDepartamento de Matemática, UTFPR, Universidade Tecnológica Federal de Paraná, Via do Conhecimento, Km 1,85503-390, Pato Branco, PR, Brasil. E-mail: waldirjunior@utfpr.edu.br

http://orcid.org/0000-0001-6216-8691

E.B. SILVA

Departamento de Matemática, UEM, Universidade Estadual de Maringá, Av. Colombo, 5790, 87020-900, Maringá, PR, Brasil. E-mail: ebsilva@uem.brUniversidade Estadual de MaringáBrasilMaringá, PR, BrasilDepartamento de Matemática, UEM, Universidade Estadual de Maringá, Av. Colombo, 5790, 87020-900, Maringá, PR, Brasil. E-mail: ebsilva@uem.br

http://orcid.org/0000-0003-2687-5174

E.J. VIZENTIM

UTFPR, Universidade Tecnológica Federal de Paraná, Via do Conhecimento, Km 1, 85503-390, Pato Branco, PR, Brasil. E-mail: emersonjose11@hotmail.comUniversidade Tecnológica Federal de ParanáBrasilPato Branco, PR, BrasilUTFPR, Universidade Tecnológica Federal de Paraná, Via do Conhecimento, Km 1, 85503-390, Pato Branco, PR, Brasil. E-mail: emersonjose11@hotmail.com

http://orcid.org/0000-0002-1800-9834

F.P.B. SOARES

Colegiado Multidisciplinar, IFPR, Instituto Federal do Paraná, Av. Bento Munhoz da Rocha Neto, PRT 280, 85555-000, Palmas, PR, Brasil. E-mail: franciele.soares@ifpr.edu.brInstituto Federal do ParanáBrasilPalmas, PR, BrasilColegiado Multidisciplinar, IFPR, Instituto Federal do Paraná, Av. Bento Munhoz da Rocha Neto, PRT 280, 85555-000, Palmas, PR, Brasil. E-mail: franciele.soares@ifpr.edu.br

http://orcid.org/0000-0001-7893-8101

*Corresponding author: W. S. Soares Jr. -- E-mail: waldirjunior@utfpr.edu.br

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Figure 1:
Support of face (f) e vertices (v) operators of Kitaev’s Toric Code.

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Figure 2:
An example of a t-string (or string-net). Note that a string of a certain color branches into two parts, of two other colors. The two parts combine and return to a string with original color. This string-net is equivalent a whole original color string and to see this is just to do the product of this t-string with the face operators generated by the marked faces ¹⁸18. W.S. Soares Jr & E.B. Silva. Hyperbolic Quantum Color Codes. Quantum Information and Computation, 18(3 and 4) (2018), 308-320..

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Figure 3:
A triangular code encodes only one qubit, a t-string with three endpoints, each one on one edge of its respective color.

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Figure 4:
Homologically non-trivial strings in a polygon with 5 sides.

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Figure 5:
Code

P (1, 2, 1)

with parameters

[[12, 2, 3]]

generated by tessellation

\{4, 8, 8\}

in a quadrilateral. Highlighted we have a t-string with the minimum distance of the code, with 3 qubits of its support.

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Figure 6:
Code

P (1, 2, 2)

with parameters

[[15, 3, 3]]

generated by tessellation

\{8, 3\}

in a pentagon

\{5, 15\}

. Highlighted we have a t-string with the minimum distance of the code, with the 3 qubits of its support.

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Table 1:
Comparison between the color codes with borders with minimum distance

d = 3

that implement the Clifford group.

(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(3.1)

Figure 1: Support of face (f) e vertices (v) operators of Kitaev’s Toric Code.

Figure 2: An example of a t-string (or string-net). Note that a string of a certain color branches into two parts, of two other colors. The two parts combine and return to a string with original color. This string-net is equivalent a whole original color string and to see this is just to do the product of this t-string with the face operators generated by the marked faces ¹⁸18. W.S. Soares Jr & E.B. Silva. Hyperbolic Quantum Color Codes. Quantum Information and Computation, 18(3 and 4) (2018), 308-320..

Figure 3: A triangular code encodes only one qubit, a t-string with three endpoints, each one on one edge of its respective color.

Figure 4: Homologically non-trivial strings in a polygon with 5 sides.

Figure 5: Code $P (1, 2, 1)$ with parameters $[[12, 2, 3]]$ generated by tessellation $\{4, 8, 8\}$ in a quadrilateral. Highlighted we have a t-string with the minimum distance of the code, with 3 qubits of its support.

Figure 6: Code $P (1, 2, 2)$ with parameters $[[15, 3, 3]]$ generated by tessellation $\{8, 3\}$ in a pentagon $\{5, 15\}$ . Highlighted we have a t-string with the minimum distance of the code, with the 3 qubits of its support.

Table 1: Comparison between the color codes with borders with minimum distance $d = 3$ that implement the Clifford group.

Code	$[[n, k, d]]$	k/n
Triangular	$[[7, 1, 3]]$	1/7
Polygonal	$[[12, 2, 3]]$	1/6
Hyperbolic Polygonal	$[[15, 3, 3]]$	1/5

(2.1)

d s = \frac{\sqrt{d x^{2} + d y^{2}}}{y},

(2.2)

f (z) = \frac{z i + 1}{z + i},

(2.3)

d^{*} (z, w) = d (f^{- 1} (z), f^{- 1} (w)); (z, w \in 𝔻^{2})

(2.4)

μ (R) = \int \int_{R} \frac{d x d y}{y^{2}}

\frac{2}{p} + \frac{2}{q} = π .

p q - 2 p - 2 q = 0 \Rightarrow (p - 2) (q - 2) = 4 .

\frac{2 π}{p} + \frac{2 π}{q} < π .

(2.5)

p q - 2 p - 2 q > 0 \Rightarrow (p - 2) (q - 2) > 4

𝒞 = {| ψ 〉; mml:m | ψ 〉 = | ψ 〉, \forall mml:m \in S} .

𝒞 = {| ψ 〉; X_{v} | ψ 〉 = | ψ 〉; Z_{f} | ψ 〉 = | ψ 〉; \forall v, f} .

\prod_{p \in R} B_{p}^{σ} = \prod_{p \in G} B_{p}^{σ} = \prod_{p \in B} B_{p}^{σ}

(3.1)

S_{μ}^{R σ} S_{μ}^{G σ} S_{μ}^{B σ} ~ 1

ℙ_{l + 1}^{n} = \{U | U P U^{†} P^{†} \in ℙ_{l}^{n}, \forall P \in ℙ_{1}^{n}\},

H = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}), K = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix}), Λ (X) = (\begin{matrix} I_{2} & 0 \\ 0 & X \end{matrix})

H \cdot X_{f} \cdot \bar{H} = Z_{f}, H \cdot Z_{f} \cdot H = X_{f}, H \cdot X \cdot H = Z e H \cdot Z \cdot H = X .

K \cdot Z_{f} \cdot K = Z_{f} a n d K \cdot X_{f} \cdot K = {(- 1)}^{t / 2} X_{f} \cdot Z_{f},

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[1] *Corresponding author: W. S. Soares Jr. -- E-mail: waldirjunior@utfpr.edu.br