Uma construção de reticulados usando ℤ submódulos de anéis de inteiros de corpos de números é apresentada. A construção produz versões rotacionadas dos reticulados laminados $Λ n p a r a n = 2, 3, 4, 5, 6$ , que são os reticulados mais densos nessas dimensões. A densidade de empacotamento esférico de um reticulado é uma função do seu raio de empacotamento, o qual por sua vez pode ser diretamente calculado a partir da norma quadrada mínima do reticulado. Normas em um reticulado realizado por um corpo de números totalmente real podem ser calculadas pela forma traço do corpo restrita ao seu anel de inteiros. Portanto, no presente trabalho, apresentamos também a forma traço do subcorpo real maximal de um corpo ciclotômico. Nosso foco é em corpos de números totalmente reais pois os reticulados associados a eles possuem diversidade máxima. Juntamente com a densidade de empacotamento, a característica de diversidade máxima é desejável em reticulados que são usados para transmissão de sinais que percorrem os canais gaussiano e de desvanecimento Rayleigh.

Palavras-chave:
empacotamento de esferas; reticulados algébricos; corpos de números; corpos ciclotômicos

Autoria

A. A. ANDRADE ^**Corresponding author: Antonio Aparecido de Andrade - E-mail: antonio.andrade@unesp.br

Departamento de Matemática, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas (Ibilce), Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp), Campus de São José do Rio Preto, SP, Brasil - E-mail: antonio.andrade@unesp.brUniversidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”BrasilSP, BrasilDepartamento de Matemática, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas (Ibilce), Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp), Campus de São José do Rio Preto, SP, Brasil - E-mail: antonio.andrade@unesp.br

http://orcid.org/0000-0001-6452-2236

A. J. FERRARI

Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências (FC), Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp), Campus de Bauru, SP, Brasil - E-mail: agnaldo.ferrari@unesp.brUniversidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”BrasilSP, BrasilDepartamento de Matemática, Faculdade de Ciências (FC), Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp), Campus de Bauru, SP, Brasil - E-mail: agnaldo.ferrari@unesp.br

http://orcid.org/0000-0002-1422-1416

J. C. INTERLANDO

Department of Mathemtaics & Statistics, San Diego State University, San Diego, California, USA - E-mail: interlan@sdu.eduSan Diego State UniversityUSASan Diego, California, USADepartment of Mathemtaics & Statistics, San Diego State University, San Diego, California, USA - E-mail: interlan@sdu.edu

http://orcid.org/0000-0003-4928-043X

R.R. ARAUJO

Instituto Federal de São Paulo, Cubatão, SP, Brasil - E-mail: dearaujorobisonricardo@gmail.comInstituto Federal de São PauloBrasilCubatão, SP, BrasilInstituto Federal de São Paulo, Cubatão, SP, Brasil - E-mail: dearaujorobisonricardo@gmail.com

http://orcid.org/0000-0002-1357-9926

*Corresponding author: Antonio Aparecido de Andrade - E-mail: antonio.andrade@unesp.br

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d_{p, m i n} (Λ) = m i n \{\prod_{i = 1}^{n} |x_{i}| : 0 \neq (x_{1}, . . ., x_{n}) \in Λ\} .

σ (x) = (σ_{1} (x), . . ., σ_{r_{1}} (x), R (σ_{r_{1} + 1} (x)), I (σ_{r_{1} + 1} (x)), . . ., R (σ_{r_{1} + r_{2}} (x)), I (σ_{r_{1} + r_{2}} (x))),

δ (Λ) = \frac{t^{n / 2}}{2^{n} \sqrt{|d_{K}|} [O_{K} : M]} = \frac{{(\sqrt{t})}^{n}}{2^{n} \sqrt{|d_{K}|} [O_{K} : M]},

t = c_{k} m i n \{T r_{K / ℚ} (x \bar{x}) : x \in M, x \neq 0\}

ζ_{n} = ζ_{n}^{a u + b v} = ζ_{n}^{a u} ζ_{n}^{b v} = ζ_{b}^{u} ζ_{a}^{v}

\begin{matrix} φ : G a l (ℚ (ζ_{n}) / ℚ (ζ_{a})) \to G a l (ℚ (ζ_{b}) / ℚ) \\ σ \mapsto σ_{ℚ (ζ_{b})} \end{matrix}

T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ (ζ_{a})} (α) = T r_{ℚ (ζ_{b} / d) / ℚ} (α) .

T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (ζ_{n}^{j}) = \frac{φ (n)}{φ (n / d)} T r_{ℚ (ζ_{n / d}) / ℚ} (ζ_{n / d}^{j / d}) .

T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (ζ_{p i}^{j}) = \{\begin{cases} - 1 & i f i = 1, \\ 0 & i f i > 1 . \end{cases}

T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (ζ_{n}^{j}) = \frac{φ (n)}{φ (n / d)} μ (n / d),

T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (ζ_{n}^{i}) \neq 0 \Leftrightarrow d = (n / P) t_{j} a n d i = (n / P) j,

T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (x \bar{x}) = \frac{n}{P} \{φ (P) \sum_{i = 0}^{m - 1} a_{i}^{2} + 2 \sum_{j = 1}^{φ (P) - 1} μ (\frac{P}{t_{j}}) φ (t_{j}) A_{\frac{n}{P} j}\},

T r_{K / ℚ (x^{2})} = m \sum_{i = 1}^{m / 2} a_{i}^{2} + \frac{n}{P} (\sum_{\begin{matrix} i = u \\ 2 | \frac{n}{P} i \end{matrix}}^{φ (P)} ρ (t_{i}) a_{\frac{n}{2 P} i}^{2} + 2 \sum_{i = 1}^{s} ρ (t_{i}) A_{\frac{n}{P} i} + 2 \sum_{i = v}^{φ (P) - 1} ρ (t_{i}) B_{\frac{n}{P} i}) .

x = a_{1} (ζ_{n} + ζ_{n}^{- 1}) + a_{2} (ζ_{n}^{2} + ζ_{n}^{- 2}) + ... + a_{\frac{m}{2}} (ζ_{n}^{\frac{m}{2}} + ζ_{n}^{- \frac{m}{2}})

\begin{matrix} x^{2} = (a_{1} ζ_{n} + a_{1} ζ_{n}^{- 1} + ... + a_{\frac{m}{2}} ζ_{n}^{- \frac{m}{2}}) (a_{1} ζ_{n} + a_{1} ζ_{n}^{- 1} + ... + a_{\frac{m}{2}} ζ_{n}^{- \frac{m}{2}}) \\ = {[(a_{1} ζ_{n} + a_{2} ζ_{n}^{2} + ... + a_{\frac{m}{2}} ζ_{n}^{\frac{m}{2}}) + (a_{1} ζ_{n}^{- 1} + a_{2} ζ_{n}^{- 2} + ... + a_{\frac{m}{2}} ζ_{n}^{- \frac{m}{2}})]}^{2} \\ = A^{2} + {\bar{A}}^{2} + 2 A \bar{A}, \end{matrix}

x^{2} = \sum_{j = 1}^{m / 2} a_{j}^{2} (ζ_{n}^{2 j} + ζ_{n}^{- 2 j}) + 2 (\sum_{j = 3}^{m - 1} B_{j} β_{j}) + 2 (\sum_{j = 1}^{m / 2} a_{j}^{2} + \sum_{j = 1}^{m / 2 - 1} A_{j} β_{j}),

T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (x^{2}) = [ℚ (ζ_{n}) : K] T r_{K / ℚ} (x^{2}),

t = T r_{K / ℚ} (x^{2}) = \frac{1}{2} T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (x^{2}) .

\begin{matrix} t = \frac{1}{2} [T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (2 \sum_{j = 1}^{m / 2} a_{j}^{2} + 2 \sum_{j = 1}^{m / 2 - 1} A_{j} β_{j} \sum_{j = 1}^{m / 2} a_{j}^{2} (ζ_{n}^{2 j} + ζ_{n}^{- 2 j}) + 2 \sum_{j = 3}^{m - 1} B_{j} β_{j})] \\ = m \sum_{j = 1}^{m / 2} a_{j}^{2} + \sum_{j = 1}^{m / 2} a_{j}^{2} + T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (ζ_{n}^{2 j}) \\ + 2 (\sum_{j = 1}^{m / 2 - 1} A_{j} T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (ζ_{n}^{j}) + \sum_{j = 3}^{m - 1} B_{j} T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (ζ_{n}^{j})) . \end{matrix}

\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{m / 2} a_{j}^{2} T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (ζ_{n}^{2 j}) = \frac{n}{P} \sum_{\begin{matrix} i = u \\ 2 | \frac{n}{P} i \end{matrix}}^{φ (P)} μ (\frac{P}{t_{i}}) φ (t_{i}) a_{\frac{n}{2 P} i}^{2}, \\ \sum_{j = 1}^{m / 2 - 1} A_{j} T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (ζ_{n}^{j}) = \frac{n}{P} \sum_{i = 1}^{s} μ (\frac{P}{t_{i}}) φ (t_{i}) A_{\frac{n}{2 P} i}, \\ \sum_{j = 3}^{m - 1} B_{j} T r_{ℚ (ζ_{n}) / ℚ} (ζ_{n}^{j}) = \frac{n}{P} \sum_{i = v}^{φ (P) - 1} μ (\frac{P}{t_{i}}) φ (t_{i}) B_{\frac{n}{2 P} i}, \end{matrix}

T r_{K / ℚ} (x^{2}) = m \sum_{i = 1}^{m / 2} a_{i}^{2} + \frac{n}{P} (\sum_{\begin{matrix} i = u \\ 2 | \frac{n}{P} i \end{matrix}}^{φ (P)} ρ (t_{i}) a_{\frac{n}{2 P} i}^{2} + 2 \sum_{i = 1}^{s} ρ (t_{i}) A_{\frac{n}{2 P} i} + 2 \sum_{i = v}^{φ (P) - 1} ρ (t_{i}) B_{\frac{n}{2 P} i}),

T R_{K / ℚ} (x^{2}) = (p^{r}) \sum_{i = 1}^{\frac{φ (p^{r})}{2}} a_{i}^{2} - p^{r - 1} (\sum_{\begin{matrix} i = u \\ 2 | \frac{π}{p} i \end{matrix}}^{p - 1} a_{i \frac{p^{r - 1}}{2}}^{2} + 2 \sum_{i = 1}^{\frac{p - 3}{2}} A_{i p^{r - 1}} + 2 \sum_{i = v}^{p - 2} B_{i p^{r - 1}}),

T r_{K / ℚ} (x^{2}) = φ (2 p^{r}) \sum_{i = 1}^{\frac{φ (2 p^{r})}{2}} a_{i}^{2} - p^{r - 1} (\sum_{\begin{matrix} i = u \\ 2 | i \end{matrix}}^{p - 1} a_{i \frac{p^{r - 1}}{2}}^{2} - 2 U + 2 V),

t_{i} = \gcd (i, P) = \gcd (i,2 p) = \{\begin{matrix} 1 if i is odd, \\ 2 if i is even . \end{matrix}

ρ (t_{i}) = \{\begin{matrix} 1 if i is odd, \\ -1 if i is even . \end{matrix}

T r_{K / ℚ} (x^{2}) = φ (p q) \sum_{i = 1}^{\frac{φ (p q)}{2}} a_{i}^{2} + U + 2 V + 2 W,

\begin{matrix} s = ⌊\frac{φ (p q)}{2} - 1⌋, A_{j} = a_{1} a_{j + 1} + a_{2} a_{j + 2} + . . . + a_{\frac{φ (p q)}{2} - j} a_{\frac{φ (p q)}{2}}, \\ B_{j} = \sum_{\begin{matrix} k \geq 1 \\ k < j - k \leq \frac{φ (p q)}{2} \end{matrix}} a_{k} a_{j - k}, \\ U = - (p - 1) \sum_{\begin{matrix} i = 2 \\ 2 p | i \end{matrix}}^{φ (p q)} a_{\frac{i}{2}}^{2} - (q - 1) \sum_{\begin{matrix} i = 2 \\ 2 q | i \end{matrix}}^{φ (p q)} a_{\frac{i}{2}}^{2} + \sum_{\begin{matrix} i = 2 \\ 2 | i, g c d (i, p q) = 1 \end{matrix}}^{φ (p q)} a_{\frac{i}{2}}^{2}, \\ V = - (p - 1) \sum_{\begin{matrix} i = 1 \\ p | i \end{matrix}}^{s} A_{i} - (q - 1) \sum_{\begin{matrix} i = 1 \\ q | i \end{matrix}}^{s} A_{i} + \sum_{\begin{matrix} i = 1 \\ g c d (i, p q) = 1 \end{matrix}}^{s} A_{i}, \\ W = - (p - 1) \sum_{\begin{matrix} i = 3 \\ p | i \end{matrix}}^{φ (p q)} B_{i} - (q - 1) \sum_{\begin{matrix} i = 3 \\ q | i \end{matrix}}^{φ (p q) - 1} B_{i} + \sum_{\begin{matrix} i = 3 \\ g c d (i, p q) = 1 \end{matrix}}^{φ (p q) - 1} B_{i}, \end{matrix}

t_{j} =gcd(j,pq)= \{\begin{matrix} p if j is a multiple of p \\ q if j is a multiple of q \\ 1 otherwise, \end{matrix}

p (t_{i}) = \{\begin{matrix} - (p-1) if j is a multiple of p \\ - (q-1) if j is a multiple of q \\ 1 otherwise . \end{matrix}

\begin{matrix} T r K / Q (x^{2}) = p a_{0}^{2} + p p_{1} ... p_{r} (- 2 \sum_{1 \leq i \leq j \leq p - 1} a_{i} a_{j} + (p - 1) \sum_{i = 1}^{p - 1} a_{i}^{2}) \\ = p a_{0}^{2} + p p_{1} ... p_{r} (\sum_{i = 1}^{p - 1} a_{i}^{2} + \sum_{1 \leq i \leq j \leq p - 1} {(a_{i} - a_{j})}^{2}) . \end{matrix}

M = \{a_{1} (ζ_{12} + ζ_{12}^{- 1}) + a_{2} (ζ_{12}^{2} + ζ_{12}^{- 2}) \in O_{K} : a_{1} + a_{2} \equiv 0 (m o d 2)\},

T r_{K / ℚ} (α^{2}) = 8 (a_{1}^{2} - a_{1} a_{2} + a_{2}^{2}) .

(δ (σ (M)) = \frac{({\sqrt{2^{3}}}^{2})}{2^{4} \sqrt{3}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}},

M = \{a_{1} (ζ_{9} + ζ_{9}^{- 1}) + a_{2} (ζ_{9}^{2} + ζ_{9}^{- 2}) + a_{3} (ζ_{9}^{3} + ζ_{9}^{- 3}) \in O_{K} : 4 a_{1} + 4 a_{2} + a_{3} \equiv 0 (m o d 6) a n d a_{3} \equiv 0 (m o d 2)\},

T r_{K}_{/ ℚ} (α^{2}) = 18 (a_{1}^{2} + a_{1} a_{2} + 4 a_{1} a_{3} + a_{2}^{2} 4 a_{2} a_{3} + {2a}_{3}^{2})

δ (σ (M)) = \frac{{(\sqrt{2 \cdot 3^{2}})}^{3}}{2^{4} \cdot 3^{3}} = \frac{1}{4 \sqrt{2}},

M = \{a_{1} (ζ_{24} + ζ_{24}^{- 1}) + a_{2} (ζ_{24}^{2} + ζ_{24}^{- 2}) + a_{3} (ζ_{24}^{3} + ζ_{24}^{- 3}) + a_{4} (ζ_{24}^{4} + ζ_{24}^{- 4}) \in O_{K} : 4 a_{1} + 3 a_{2} + 2 a_{3} + a_{4} \equiv 0 (m o d 6)\},

T r_{K / ℚ} (α^{2}) = 24 (a_{1}^{2} + 2 a_{1} a_{2} + 3 a_{1} a_{3} + 4 a_{1} a_{4} + 2 a_{2}^{2} + 4 a_{2} a_{3} + 6 a_{2} a_{4} + 3 a_{3}^{2} + 8 a_{3} a_{4} + 6 a_{4}^{2}) .

δ (σ (M)) = \frac{{(\sqrt{2^{3} \cdot 3})}^{4}}{2^{9} \cdot 3^{2}} = \frac{1}{8},

M = \{a_{0} + a_{1} σ (t) + a_{2} σ^{2} (t) + a_{3} σ^{3} (t) + a_{4} σ^{4} (t) \in O_{K} : a_{0} \equiv 0 (m o d 2), - a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} \equiv 0 (m o d 5)\} .

T r_{K / ℚ} (x^{2}) = 50 (2 x_{0}^{2} + 6 x_{0} x_{1} + 6 x_{0} x_{2} + 6 x_{0} x_{3} + 8 x_{0} x_{4} + 6 x_{1}^{2} + 11 x_{1} x_{2} + 11 x_{1} x_{3} + 15 x_{1} x_{4} + 6 x_{2}^{2} + 11 x_{2} x_{3} + 15 x_{2} x_{4} + 6 x_{3}^{2} + 15 x_{3} x_{4} + 10 x_{4}^{2}),

δ (σ (M)) = \frac{{(\sqrt{2 \cdot 5^{2}})}^{5}}{2^{6} \cdot 5^{5}} = \frac{1}{8 \sqrt{2}},

T r_{K / ℚ} (α^{2}) = 72 (a_{0}^{2} + 2 a_{0} a_{1} - 2 a_{0} a_{3} - 2 a_{0} a_{4} - a_{0} a_{5} + 2 a_{1}^{2} - 2 a_{1} a_{3} - 3 a_{1} a_{4} + a_{2}^{2} + a_{2} a_{3} + 2 a_{2} a_{4} + a_{2} a_{5} + 3 a_{3}^{2} + 5 a_{3} a_{4} + 2 a_{3} a_{5} + 3 a_{4}^{2} + 2 a_{4} a_{5} + a_{5}^{2} .

δ (M) = \frac{{(\sqrt{2^{3} \cdot 3^{2}})}^{6}}{2^{12} \cdot 3^{6} \sqrt{3}} = \frac{1}{8 \sqrt{3}},

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