Novas Versões para a Inversa Aproximada em Blocos: Uma Comparação Numérica

CRUZ, J. S.; ALMEIDA, M. C.; CARVALHO, L. M.; SOUZA, M.

doi:10.5540/tcam.2022.023.03.00471

J. S. CRUZ ^**Autor correspondente: Julia Sekiguchi da Cruz-E-mail: julia-seki@hotmail.com

Universidade do Estado do Rio de Janeiro, FEN, Programa de Pós Graduação em Engenharia Mecânica - PPG - EM/UERJ, Rua Fonseca Teles, 121, 20940-903, Rio de Janeiro, RJ, Brasil-E-mail: julia-seki@hotmail.com

https://orcid.org/0000-0002-7296-3928

M. C. ALMEIDA

Instituto Federal do Rio de Janeiro, Departamento de Matemática, R. Sebastião Lacerda, S/N, 26600-000, Paracambi, RJ, Brasil-E-mail: moisesceni@gmail.com

https://orcid.org/0000-0002-6170-2036

L. M. CARVALHO

Universidade do Estado do Rio de Janeiro, IME, Departamento de Matemática Aplicada, R. São Francisco Xavier, 524, 20550-000, Rio de Janeiro, RJ, Brasil-E-mail: luizmc@ime.uerj.br

https://orcid.org/0000-0002-4829-2917

M. SOUZA

Universidade Federal do Ceará, Departamento de Estatística e Matemática Aplicada, Campus do Pici, Bloco 910, 60440-900, Fortaleza, CE, Brasil-E-mail: souza.michael@gmail.com

https://orcid.org/0000-0001-6751-2877

*Autor correspondente: Julia Sekiguchi da Cruz-E-mail: julia-seki@hotmail.com

Matriz	n	nnz	nnz/n	b1	b2	b3
SHERMAN1	1000	3750	3,75	1	2	8
SHERMAN4	1104	3786	3,43	1	2	6
PDE900	900	4380	4,87	1	2	6
PDE2961	2961	14585	4,93	1	3	7
HOR131	434	4710	10,85	1	2	7
CAGE8	1015	11003	10,84	1	5	7

Matriz	Interações			Tempo
Matriz	Média	Mediana	δ²	Tempo
SHERMAN1	360,6	358,5	16,44	7,64e-1
SHERMAN4	80,1	79	4,57	1,09e-2
PDE900	70,4	70,5	1,42	1,22e-1
PDE2961	132,6	132,5	1,96	2,34e-2
HOR131	†	†	†	†
CAGE8	11	11	0	1,56e-3

Tolerância	Precondicionador	b1	b2	b3	b3/b1
0,1	SBAINV-NS	30,3	19,2	13,4	0,44
0,1	SBAINV-VAR	25,2	15,2	11,5	0,46
0,2	SBAINV-NS	34,9	28,3	19,5	0,56
0,2	SBAINV-VAR	29,9	22,8	16	0,54
0,3	SBAINV-NS	37,8	30,8	25	0,66
0,3	SBAINV-VAR	30,7	24,3	19,4	0,63
0,4	SBAINV-NS	47,4	43,9	27,9	0,59
0,4	SBAINV-VAR	34,6	28,5	21,4	0,62
0,5	SBAINV-NS	63	47,5	40,2	0,64
0,5	SBAINV-VAR	42,6	29,9	28,1	0,66
0,5/0,1	SBAINV-NS	2,08	2,47	3
0,5/0,1	SBAINV-VAR	1,69	1,97	2,44

Tolerância	Precondicionador	b1	b2	b3	b3/b1
0,1	SBAINV-NS	2,05	3,70	21,75	10,61
0,1	SBAINV-VAR	1,82	2,97	14,52	7.98
0,2	SBAINV-NS	1,50	2,12	11,17	7,45
0,2	SBAINV-VAR	1,52	2,05	8,62	5,67
0,3	SBAINV-NS	1,33	1,69	8,10	6,09
0,3	SBAINV-VAR	1,43	1,84	6,98	4,88
0,4	SBAINV-NS	1,18	1,48	6,50	5,51
0,4	SBAINV-VAR	1,35	1,73	6,09	4.51
0,5	SBAINV-NS	1,04	1,28	5,00	4.81
0,5	SBAINV-VAR	1,28	1,63	5,02	3.92
0,5/0,1	SBAINV-NS	0,51	0,35	0,23
0,5/0,1	SBAINV-VAR	0,70	0,55	0,35

Tol	Prec	b1		b2		b3		b3/b1
Tol	Prec	tprec	tsol	tprec	tsol	tprec	tsol	tprec	tsol
0,1	NS	1,74e1	8,44e-2	1,71e1	4,53e-2	1,27e1	3,59e-2	7,3e-1	4,25e-1
0,1	VAR	1,44e1	6,87e-2	1,34e1	4,37e-2	9	4,06e-2	6,25e-1	5,91e-1
0,2	NS	1,38e1	8,28e-2	1,12e1	6,4e-2	7,84	5,29e-2	5,68e-1	6,39e-1
0,2	VAR	1,25e1	7,19e-2	9,53	5,78e-2	5,95	5,48e-2	4,76e-1	7,62e-1
0,3	NS	1,25e1	9,37e-2	9,22	7,19e-2	6,17	7,47e-2	4,94e-1	7,97e-1
0,3	VAR	1,15e1	1,17e-1	8,09	6,4e-2	4,95	5,94e-2	4,3e-1	5,08e-1
0,4	NS	1,2e1	1,08e-1	8,44	1e-1	5,2	6,7e-2	4,33e-1	6,2e-1
0,4	VAR	1,09e1	8,59e-2	7,61	7,64e-2	4,3	6,39e-2	3,94e-1	7,44e-1
0,5	NS	1,1e1	1,48e-1	7,95	1,06e-1	4,55	9,46e-2	4,14e-1	6,39e-1
0,5	VAR	1,03e1	1e-1	7,01	7,79e-2	3,81	8,23e-2	3,7e-1	8,23e-1
0,5/0,1	NS	6,32e-1	1,75	4,65e-1	2,34	3,58e-1	2,64
0,5/0,1	VAR	7,1e-1	1,46	5,23e-1	1,78	4,23e-1	2,03

Tolerância	iterações			densidade
Tolerância	b1	b2	b3	b1	b2	b3
0,1	1,2	1,26	1,17	1,13	1,25	1,50
0,2	1,17	1,24	1,22	0,99	1,03	1,30
0,3	1,23	1,27	1,29	0,93	0,92	1,16
0,4	1,37	1,54	1,3	0,87	0,86	1,07
0,5	1,48	1,59	1,43	0,81	0,79	1,00
Média	1,29	1,38	1,28	0,95	0,97	1,20

Matriz	Precondicionador	b1	b2	b3	b3/b1
SHERMAN1	SBAINV-NS	30,3	19,2	13,1	0,44
SHERMAN1	SBAINV-VAR	25,2	15,2	11,5	0,46
SHERMAN4	SBAINV-NS	30,4	24,4	18,3	0,6
SHERMAN4	SBAINV-VAR	25,4	20,4	14,8	0,58
PDE900	SBAINV-NS	19,8	12,4	7,1	0,36
PDE900	SBAINV-VAR	15,8	9,1	5	0,32
PDE2961	SBAINV-NS	40,3	18,1	12	0,3
PDE2961	SBAINV-VAR	31,1	15,8	11,9	0,38
HOR131	SBAINV-NS	28,4	31,1	9,8	0,35
HOR131	SBAINV-VAR	25,1	20,1	9,7	0,39
CAGE8	SBAINV-NS	6,1	4,1	4	0,66
CAGE8	SBAINV-VAR	5,4	4,1	4	0,74

Matriz	Precondicionador	b1	b2	b3	b3/b1
SHERMAN1	SBAINV-NS	2,05	3,70	21,75	10,61
SHERMAN1	SBAINV-VAR	1,82	2,97	14,52	7,98
SHERMAN4	SBAINV-NS	1,62	2,58	8,93	5,51
SHERMAN4	SBAINV-VAR	1,60	2,46	7,33	4,58
PDE900	SBAINV-NS	2,57	5,42	21,77	8,47
PDE900	SBAINV-VAR	2,41	5,02	16,96	7,04
PDE2961	SBAINV-NS	2,54	11,41	37,45	14,74
PDE2961	SBAINV-VAR	2,28	7,78	22,78	9,99
HOR131	SBAINV-NS	1,81	4,61	13,90	7,68
HOR131	SBAINV-VAR	1,71	4,02	11,82	6,91
CAGE8	SBAINV-NS	0,34	2,14	3,50	10,29
CAGE8	SBAINV-VAR	0,58	2,46	3,94	6,79

Matriz	iterações			densidade
Matriz	b1	b2	b3	b1	b2	b3
SHERMAN1	1,2	1,26	1,17	1,13	1,25	1,50
SHERMAN4	1,2	1,2	1,24	1,01	1,05	1,22
PDE900	1,25	1,36	1,42	1,07	1,8	1,28
PDE2961	1,3	1,15	1,01	1,11	1,47	1,64
HOR131	1,13	1,55	1,01	1,06	1,15	1,18
CAGE8	1,13	1	1	0,59	0,87	0,89
Média	1,20	1,25	1,14	0,99	1,14	1,28

Matriz	Prec	b1		b2		b3
Matriz	Prec	tprec	tsol	tprec	tsol	tprec	tsol
SHERMAN1	NS	1,74e1	8,44e-2	1,71e1	4,53e-2	1,27e1	3,59e-2
SHERMAN1	VAR	1,44e1	6,87e-2	1,34e1	4,37e-2	9	4,06e-2
SHERMAN4	NS	1,91e1	6,25e-3	1,3e1	4,68e-3	1,02e1	4,69e-3
SHERMAN4	VAR	1,67e1	7,81e-3	1,18e1	6,25e-3	7,98	7,81e-3
PDE900	NS	2,24e1	4,45e-2	1,4e1	2,34e-2	6,9	1,87e-2
PDE900	VAR	1,82e1	3,7e-2	1,09e1	1,87e-2	4,81	1,72e-2
PDE2961	NS	1,24e2	1,09e-2	1,09e2	1,3e-2	5,37e1	2e-2
PDE2961	VAR	1,06e2	1,56e-2	6,7e1	1,39e-2	4,17e1	2,66e-2
HOR131	NS	5,04e1	2,66e-2	3,79e1	3,51e-2	9,86	1,09e-2
HOR131	VAR	4,85e1	2,81e-2	3,71e1	2,77e-2	9,15	1,41e-2
CAGE8	NS	2,66e1	1,4e-3	2,33e1	1,56e-3	2,03e1	1,56e-3
CAGE8	VAR	3,13e1	2,19e-3	2,52e1	3,12e-3	2,22e1	4,69e-3

Matriz	b1	b2	b3
SHERMAN1	14,31	23,72	31,36
SHERMAN4	3,15	3,93	5,41
PDE900	4,45	7,74	14,08
PDE2961	4,26	8,39	11,14
CAGE8	2,04	2,68	2,75

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 N} \\ A_{21} & A_{22} & \dots & A_{2 N} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{N 1} & A_{N 2} & \dots & A_{N N} \end{matrix}],

A_{J} = [\begin{matrix} A_{1 J} \\ A_{2 J} \\ ⋮ \\ A_{N J} \end{matrix}], A_{J *} = [\begin{matrix} A_{J 1} & A_{J 2} & \dots & A_{J N} \end{matrix}] .

\begin{matrix} 0 = W_{K *} A Z_{J} & \Rightarrow & 0 = W_{K *} A (E_{J} - \sum_{I = 1}^{J - 1} Z_{I} D_{I I}^{- 1} M_{J}^{(I - 1)}) \\ \Rightarrow & 0 = W_{K *} A_{J} - \sum_{I = 1}^{J - 1} W_{K *} A Z_{I} D_{I I}^{- 1} M_{J}^{(I - 1)} \\ \Rightarrow & 0 = W_{K *} A_{J} - W_{K *} A Z_{K} D_{K K}^{- 1} M_{J}^{(K - 1)} \\ \Rightarrow & 0 = W_{K *} A_{J} - M_{J}^{(K - 1)} \\ \Rightarrow & M_{J}^{(K - 1)} = W_{K *} A_{J} \end{matrix},

\begin{matrix} A_{J I} & = & Q_{J}^{(I - 1)} D_{I I}^{- 1} D_{I I} + \sum_{K = 1}^{I - 1} Q_{J}^{(K - 1)} D_{K K}^{- 1} D_{K K} D_{K K}^{- 1} M_{I}^{(K - 1)} \\ = & Q_{J}^{(I - 1)} + \sum_{K = 1}^{I - 1} Q_{J}^{(K - 1)} D_{K K}^{- 1} M_{I}^{(K - 1)} \\ \Rightarrow & Q_{J}^{(I - 1)} = A_{J I} - \sum_{K = 1}^{I - 1} L_{J K} M_{I}^{(K - 1)} \end{matrix} .

A_{I_{0} : I_{f}, J_{0} : J_{f}} = [\begin{matrix} A_{I_{0}, J_{0}} & A_{I_{0}, J_{0} + 1} & \dots & A_{I_{0}, J_{f}} \\ A_{I_{0} + 1, J_{0}} & A_{I_{0} + 1, J_{0} + 1} & \dots & A_{I_{0} + 1, J_{f}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ A_{I_{f}, J_{0}} & A_{I_{f}, J_{0} + 1} & \dots & A_{I_{f}, J_{f}} \end{matrix}] .

Z_{J} = Z_{J}^{(K)} - \sum_{I = K + 1}^{J - 1} Z_{I} D_{I I}^{- 1} M_{J}^{(I - 1)}, W_{J *} = W_{J *}^{(K)} - \sum_{I = K + 1}^{J - 1} Q_{J}^{(I - 1)} D_{I I}^{- 1} W_{I *}

H_{J} : {\begin{matrix} A_{I *} Z_{J} = 0, I \in {1,2,..., J - 1}; & (A .3 a) \\ W_{J *} A_{I} = 0, I \in {1,2,..., J - 1}; & (A .3 b) \\ W_{I *} A Z_{J} = W_{J *} A Z_{I} = 0, I \in {1,2,..., J - 1}; & (A .3 c) \\ W_{J *} A Z_{J} = D_{J J}; & (A .3 d) \\ W_{J *} A_{J} = D_{J J}; & (A .3 e) \\ D_{J J} é n ã o s i n g u l a r & (A .3 f) \end{matrix}

W_{J *} A Z_{J} = \sum_{K = 1}^{N} (W_{J *} E_{K}) (E_{K}^{T} A) Z_{J} = \sum_{K = 1}^{J - 1} (W_{J *} E_{K}) A_{K *} Z_{J} + (W_{J *} E_{J}) A_{J *} Z_{J} + \sum_{K = J + 1}^{N} (W_{J *} E_{K}) A_{K *} Z_{J} .

[1] *Autor correspondente: Julia Sekiguchi da Cruz-E-mail: julia-seki@hotmail.com

Brasil

Brasil

Novas Versões para a Inversa Aproximada em Blocos: Uma Comparação Numérica

RESUMO