Aplicações Estáveis entre Superfícies Fechadas

RESUMO

Este trabalho apresenta resultados sobre grafos com pesos nos vértices associdos às aplicações estáveis entre duas superfícies fechadas, generalizando resultados obtidos para casos particulares de aplicações entre superfícies fechadas.

Palavras-chave:
aplicações estáveis; grafos; superfícies fechadas

ABSTRACT

In this work we present results on graphs with weights associated with stable mappings between two closed surfaces, extending the results already obtained to particular cases of maps between closed surfaces.

Keywords:
stable maps; graphs; closed surfaces

1 INTRODUÇÃO

As singularidades de aplicações estáveis entre duas superfícies (pontos em que a matriz jacobiana não tem posto máximo) são do tipo pontos de dobra e pontos de cúspides isolados ^{5), (18}. O tipo topológico do conjunto regular e a disposição das curvas do conjunto singular sobre a superfície, são importantes informações topológicas do domínio de uma aplicação. Em ¹⁷, Quine mostrou a relação entre a característica de Euler das superfícies, o número de cúspides e o grau da aplicação de uma aplicação entre duas superfícies fechadas e orientadas. Uma nova demonstração do Teorema de Quine, baseado em Teoria de Singularidade e Topologia, pode ser vista em ¹¹. Vários pesquisadores, como ^{2),(4), (15), (16), (17), (19}, tem interessado pelas aplicações entre superfíces, em geral focando na imagem da aplicação. Em ^{1), (3), (7), (8), (9}, foram estudados aplicações entre duas superfícies orientadas, em geral codificando as informações topológicas do domínio da aplicação em um grafo com pesos nos vértices. Em ^{3), (12), (13}, foi estendido o estudo destes grafos para aplicações de superfícies não orientadas na esfera e no plano projetivo. Em ^{10), (14} foi aplicado esta técnica de grafo no estudo das aplicações de Gauss de superfícies fechadas e orientadas imersas no 3-espaço, mostrando que é possível obter aplicações em que as regiões elípticas e ou hiperbólicas podem ter gênero g > 0. Em todos os casos, as principais técnicas aplicadas para provar os resultados são as transições de codimensão 1, introduzidas em ¹⁵, e as cirurgias de aplicações estáveis, introduzidas ^{7), (12}.

O objetivo principal, neste artigo, é generalizar os resultados obtidos para grafos de aplicações entre duas superfícies fechadas e orientadas para o caso geral de aplicações entre superfícies fechadas. O principal resultado é o Teorema 4.4, que garante a realização de qualquer grafo, com pesos inteiros positivos nos vértices, por alguma aplicação estável entre duas superfícies fechadas.

2 APLICAÇÕES ESTÁVEIS ENTRE SUPERFÍCIES E GRAFOS

Sejam M e N duas superfícies e C ^∞(M, N) o espaço de todas aplicações suaves da superfície M em N (com a C ^∞-topologia de Whitney ⁵). Uma região sobre a superfície fechada N será dita simplismente conexa, e será dentada por 𝒟_N , se é homeomorfa a um disco.

2.1 Aplicações estáveis entre superfícies

Definição 2.1.O conjunto das curvas singulares de uma aplicação f: M → N será denotado por Σf e o conjunto f(Σf), imagem do conjunto singular, chamada de contorno aparente ou conjunto de ramificação e será denotado por B _f .

Definição 2.2.Duas aplicações f , g ∈ C ^∞(M, N) são 𝒜−equivalentes quando existem difeomorfismos ϕ: M → M e ψ: N → N tais que g = ψ ◦ f ◦ ϕ ⁻¹ .

Uma aplicação f ∈ C ^∞(M, N) é dita estável, se qualquer aplicação suficientemente próxima de f é 𝒜−equivalente a f.

As singularidades de uma aplicação estável entre duas superfícies, segundo Whitney ¹⁸, são do tipo pontos de dobra ou cúspides. Cada ponto p ∈ M tem coordenadas locais do tipo: regular (p = (x, y) ↦(x, y)); ponto de dobra ((x, y) ↦(x ² , y)) ou ponto de cúspide ((x, y) ↦ (xy − x ³ , y)). Os pontos singulares formam curvas disjuntas sobre M.

Definição 2.3.Duas aplicações suaves f, h: M → N são homotópicas em C ^∞(M, N) se existe uma aplicação H: M × I → N continua, tal que H(x, 0) = h(x) e H(x, 1) = f(x), para todo x ∈ M.

Definição 2.4.Duas aplicações f , h: M → N são ditas estavelmente isotópicas se existe a aplicação suave H: M × I → N é tal que para cada t ∈ I a aplicação H _t = H|_M×t é estável, com H ₀ = f e H ₁ = h.

Observação 1.Se f e h são duas aplicações estavelmente isotópicas, então elas estão na mesma componente do conjunto das aplicações estáveis. Logo os conjuntos singulares Σf e Σh são difeomorfos em M e os contornos aparentes B _f e B _h são difeomorfos em N.

Definição 2.5. Seja f uma aplicação entre duas superfícies fechadas M e N.

• (a) B_fserá dito contorno aparente planar se existe alguma aplicação estável h: M → N, tal que B _h ⊂ 𝒟 _N e as aplicações f e h são estavelmente isotópica.

• (b) f será dita aplicação planar se é homotópica a alguma aplicação h: M → N, tal que h(M) ⊂ D _N .

Notação: As superfícies (dimensão 2) serão denotadas da seguinte forma: o plano por ℝ²; a esfera por 𝕊²; o toro por 𝕋²; a soma conenxa de t toros por t 𝕋², o plano projetivo real (quociente do disco) por ℝℙ² ou ℙ²; a garrafa de Klein por 𝕂² (soma conexa de dois planos projetivos) e a soma conexas de p planos projetivos por pℙ² (ou soma conexa do r𝕋² e qℙ², com p = 2r + q e q > 0).

O conjunto regular de uma aplicação entre duas superfícies fechadas tem um número finito de regiões conexas, que podem ser orientadas ou não, que são imersas em N por f . As curvas do conjunto singular Σf são sempre fechadas e estão nos bordos das componentes regulares, podendo ter:

• 1. uma vizinhança homotópica a uma faixa de Möbius, quando α está em um único bordo de uma componente regular. Veja a única curva singular de f: ℙ² −→ 𝕊 ² em (a) na Figura 1.

• 2. uma vizinhança homotópica ao cilindro, quando α está no bordo de duas componentes regulares ou ainda em dois bordos de uma mesma componente. Veja as duas curvas singulares de f: 𝕂² −→ N em (b) na Figura 1.

Figura 1:
Exemplo de aplicações do plano projetivo e da garrafa de Klein.

2.2 Grafos e aplicações entre superfícies

Em ^8),(9 foram associados grafos com pesos nos vértices às aplicações estáveis, entre superfícies fechadas e orientadas, onde as arestas correspondem as curvas singulares, os vértices as regiões regulares e o peso no vértice v corresponde o gênero da região regular, que é orientada, correspondente a v. Todas as curvas, neste caso, tem como vizinhança uma região tipo cilindro. O grafo associado a estas aplicações estáveis é um invariante global que classifica por completo a topologia do conjunto singular (ver Figura 3), como foi mostrado em ⁷.

Figura 2:
Exemplos de aplicações do plano projetivo e seus grafos.

Figura 3:
Exemplos de aplicações planares da garrafa de Klein.

No caso de aplicações entre duas superfícies fechadas, como foi visto antes, pode ocorrer de ter regiões regulares não orientadas e curvas singulares que não tenha uma vizinhaça tipo cilindro, como visto em ¹², no estudo de aplicações de superfícies fechadas no plano projetivo. Para este caso foi redefinido os pesos no grafo, suficiente para o estudo aqui, da seguinte forma:

• • cada região regular de M\Σf corresponde a um vértice v do grafo;

• • cada curva α de Σf corresponde a uma aresta a do grafo;

• • uma aresta a conecta o vértice v se, e somente se, a curva singular correspondente a a está no bordo da região regular associada a v;

• • um vértice v recebe o peso (t, 0) se a região regular correspondente a v é orientada e tem gênero t (soma de t toros) e v recebe o peso (0, p) se a região regular correspondente a v é não orientada e tem gênero p (soma de p projetivos).

• • uma aresta a no grafo, será dita ⋆-laço quando a vizinhança da curva α correspondente a a é uma faixa de Möebius. Neste caso, a aresta a recebe uma ⋆, como ilustra a Figura 2.

Os grafos associados às aplicações ilustradas na Figura 1 são do tipo: (a) ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^1(1,1)$ (tem um ⋆-laço) e (b) ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^1(2,2)$ (tem um laço). A Figura 2 ilustra duas aplicações planares do plano projetivo que têm uma curva singular tendo como uma vizinhança a faixa de MöÍebius: em (a) o grafo é do tipo ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^1(1,1)$ e em (b) é do tipo ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^1(2,2)$.

Definição 2.6.O grafo associado a uma aplicação estável f: M → N é chamado de grafo dual de f e denotado por${\mathcal{G}}_{(T,P)}^S(V,E)$, onde V, E, T + P e S denotam, respectivamente, o número de vértices, o número de arestas, o peso total e o número de ⋆-laços do grafo associado a f.

O grafo associado a uma aplicação entre duas superfícies não dá as informações do número de cúspides e pontos duplos de uma aplicação, mas contribui muito com a classificação do conjunto singular. Por exemplo, na Figura 3, as duas aplicações da garrafa de Klein têm os contornos aparentes equivalentes, mas os grafos, tipo ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^0(3,3)$, não são isomorfos. Isso mostra que o grafo com pesos nos vértices é um invariante topológico global das aplicações entre superfícies.

Em ^{7), (12} foi visto que a característica de Euler da superfície M pode ser dada em função do grafo da aplicação. Este resultado também vale para aplicações entre duas superfícies fechadas em geral.

Proposição 2.1.¹²Seja f: M → N uma aplicação estável e${\mathcal{G}}_{(T,P)}^S(V,E)$o seu grafo dual. Então a característica de Euler de M é dado por

• • χ(M) = 2(V − E − T) e o gênero é dado por g(M) = 1−V + E +W, quando M é orientada. Nesse caso, P = S = 0.

• • χ(M) = 2(V − E − T) + P − S e o gênero é dado por g(M) = 2(1 − V + E + T ) + P − S, quando M é não orientada.

3 CIRURGIAS DE GRAFOS E APLICAÇÕES ESTÁVEIS

Em ⁷ foi introduzido as cirurgias horizontais e verticais de aplicações entre superfícies suaves. Estas cirurgias permitem obter novas aplicações sobre uma superfície com gênero g a partir de outras já conhecidas, definidas sobre superfícies com gênero menor g. Outra forma de obter aplicações estáveis entre duas superfícies, a partir de uma aplicação jã conhecida, é por meio de pequenas “pertubações controladas” na aplicação dada. Estas pertubações são chamadas de transições de codimensão 1, introduzido por Ohmoto-Aicardi em ¹⁵.

3.1 Transições que alteram o conjunto singular

Considere uma homotopia H: M × [0, 1] → N entre duas aplicações estáveis f, g: M → N em diferentes componentes de ℰ(M, N) ⊂ 𝒞^∞(M, N). Ao longo desto caminho, para algum t ∈ [0, 1] a aplicação H _t (p) = H(p, t) é não estável (de codimensão maior ou igual a 1) e pertence ao conjunto discriminante 𝒟, complementar do conjunto ℰ(M, N) em 𝒞^∞(M, N). Se H _t passou por uma transição de codimensão 1, ao longo do caminho entre f e g, então dito que g pode ser obtida de f por transições de codmensão 1.

As transições de condimenão 1 podem alterar o número de pontos duplos, o número de cúspides e o número de componentes singulares. O que interessa para o estudo dos grafos é a topologia dos conjuntos singulares e regulares. Somente as transições Lips e Beaks que altera a topologia dos conjuntos regulares e singulares, localmente da seguinte forma (ver Fig. 4):

• 1. Transição Lips L (ou Lábios) na Figura 4 (a), ocorre dentro de uma região regular U, nasce uma nova curva singular com duas novas cúspides.

• 2. Transição Beaks B (ou Bicos) na Figura 4(b), no sentido que aumenta o número de cúspides, pode unir duas curvas singulares ou decompor uma curva em duas, podendo ainda alterar o número de componentes regulares ou o gênero de uma região regular.

Figura 4:
Exemplo local das transições Lips e Beaks.

A transição beaks sempre altera o número componente singular e consequentementeo o número de arestas no grafo. Esta transição também pode alterar ou não o número de vértices, mantendo constante 1 − V + E + T e 2(1 − V + E + T) + P − S (o gênero da superfície M).

A Figura 5 ilustra uma decomposição da transição beaks nos casos em que altera o número de vértices ou o peso. As regiões onde ocorrem as transições são denotadas por X, X ₁ ,Y, Z, Z ₁ e Z ₂, os números 1 e 2 indicam se os arcos que separam as regiões pertencem a uma ou duas curvas singulares. No sentido que aumenta o número de cúspides a transição beaks:

$B_v^{+}$: acrescenta 1 em E e em V (aumenta uma curva singular e uma região regular);

$B_v^{-}$: diminui 1 em E e em V (diminui uma curva singular e uma região regular);

$B_w^{+}$: aumenta 1 em W e diminui 1 em E (aumenta o gênero de uma região regular e diminui uma curva singular);

$B_w^{-}$: diminui 1 em W e aumenta 1 em E (diminui o gênero de uma região regular e aumenta uma curva singular).

Figura 5:
Decomposição das transições beaks.

A Figura 6 ilustra dois exemplos de transições beaks: em (a) f: ℙ² → ℙ² tem duas curvas singulares e três regiões regulares; a aplicação em (b) pode ser obtida de (a) por uma transição $B_v^{-}$, que une duas curvas singulares e duas regiões regulares. Em (c), a aplicação f: 𝕋² → N tem duas curvas singulares e duas regiões regulares; a aplicação em (d) pode ser obtida de (c) por uma transição $B_w^{+}$, que une duas curvas singulares e aumenta o gênero de uma região regular.

Figura 6:
Exemplos de transições Beaks.

3.2 Cirurgias de aplicações entre superfícies

Aplicações que estão na mesma classe de homotopia podem ser obtidas uma da outra por transições de codimensão 1. Para obter aplicações em diferentes classes de homotopia a partir de aplicações já conhecidas será por meio de cirurgias de aplicações estáveis, como definida em ^{7), (12}.

Em resumo, sobre a superfície fechada M = M ₁ ∪ M ₂, escolhe dois pontos P e Q nas respectivas superfícies M ₁ e M ₂ e tome dois discos D _p e D _q vizinhanças do respesctivos pontos P e Q nas respectivas superfícies M ₁ e M ₂.

Sejam $M_1^{\text{'}}$ e $M_2^{\text{'}}$ os fechos das respectivas superfícies M ₁\D _P e M ₂\D _Q . Denota por γ _P e γ _Q os respectivos bordos de $M_1^{\text{'}}$ e $M_2^{\text{'}}$. Uma cirurgia em M identifica cada bordo γ _P e γ _Q com um dos bordos de 𝒯, um “tubo-ponte” (superfície homeomorfa ao cilindro) que conecta M ₁ e M ₂, obtendo assim a nova superfície fechada Z. Note que se M é conexa então M ₁ = M ₂ = M. Neste caso, para garantir superfícies disjuntas, considere $M_1^{\text{'}}$ e $M_2^{\text{'}}$ como as vizinhanças dos respectivos discos D ₁ e de D ₂. Neste caso, a cirurgia acrescenta uma nova alça em M. A cirurgia de aplicações entre superfícies pode é separada em dois casos, como ilustra a Figura 7:

• a) Cirurgia Horizontal entrefeg: Neste caso, os pontos P ∈ M ₁ e Q ∈ M ₂ são pontos singulares, cujas imagens f(P) ∈ f(Σf) e g(Q) ∈ f (Σg) pode ser conectadas por um caminho η sobre N que não intersepta qualquer outro ponto de f(Σf) ∪ g(Σg).

• i) Denota por θ _P e θ _Q os arcos do conjunto singular que contém os respectivos pontos P e Q. Denota por β _P = f(θ _P ) e β _Q = g(θ _Q ), os arcos sobre N. Os arcos β _P e β _Q do contorno aparente f(Σf) e g(Σg) podem ser conectados sobre N, pelo mergulho de um “retângulo” β em N\f(Σf) ∪ g(Σg), vizinhança de η, de forma que um lado de β, l _P identifica com β _P e o seu lado oposto l _Q identifica com β _Q , respeitando as orientações do contorno aparente.

• ii) Denota por k ₁ e K ₂ os lados opostos em β , complementar de l _P ∪ l _Q . Sobre M, estenda suavemente as aplicações f e g sobre a ponte-tubo 𝒯, obtendo uma nova aplicação f⊕_β g, de forma que os dois arcos de curvas singulares $k_1^{\text{'}}$ e $k_2^{\text{'}}$ em 𝒯 satisfaz $f{\oplus }_{\beta }g\left(k_1^{\text{'}}\right)=k_1$ e $f{\oplus }_{\beta }g\left(k_2^{\text{'}}\right)=k_2$, onde K ₁ e K ₂ são os lados opostos em β, complementar de l _P ∪ l _Q

• b) Cirurgia Vertical entre f e g : Neste caso, P ∈ M ₁ e Q ∈ M ₂ são pontos regulares tais que exista uma vizinhança D de f(P) = g(Q) = Y que não intercepta o conjunto f(Σf) ∪ g(Σg). Depois de conectar a ponte-tubo 𝒯, obtendo a superfície Z, estenda suavemente as aplicações f e g sobre o tubo 𝒯, obtendo uma nova aplicação f⊕_β g: Z → N, de forma que a imagem, por f⊕_β g, da nova curva singular sobre 𝒯 esteja contida em D.

Figura 7:
Cirurgias de aplicações estáveis: (a) horizontal e (b) vertical.

A superfície Z, resultante das cirurgias, será orientada se na cirurgia horizontal 𝒯 conecta pares de regiões com mesmo sinal e na cirurgia vertical quando 𝒯 conecta regiões com sinais opostos.

Observação 2. O gênero da superfície Z, obtida pela cirurgia, é dado por

• 1. g(Z) = g(M) + 1, se M é conexa e orientada;

• 2. g(Z) = g(M) = g(M₁) + g(M₂), se M é orientada e M₁ ∪ M ₂ é união disjunta;

• 3. g(Z) = g(M) + 2, se M é conexa e não orientada;

• 4. g(Z) = g(M) = g(M₁) + g(M₂), se M₁ ∪ M ₂ é união disjunta e as superfícies M ₁ e M ₂ são não orientadas;

• 5. g(Z) = g(M) = 2g(M₁) + g(M₂), se M₁ ∪ M ₂ é união disjunta e M ₁ é orientada e M ₂ é não orientada.

Definição 3.7. Se M ₁ e M ₂ são superfícies conexas disjuntas, então a cirurgia horizontal e cirurgia vertical entre duas aplicações f e g serão chamadas, respectivamente, de soma conexa horizontal e soma conexa vertical das aplicações estáveis f e g.

Note que a cirurgia vertical sempre adiciona uma nova componente no conjunto singular, enquanto que no caso da cirurgia horizontal, o número de componentes no conjunto singular pode aumentar uma ou diminuir, dependendo se P e Q pertencem ou não a uma mesma componente conexa do conjunto singular.

A Figura 8 ilustra uma sequência de aplicações sobre a esfera, que podem ser obtidas por cirurgias horizontais e verticais: (a) a aplicação do plano projetivo com uma curva singular e três pontos de cúspides tem grafo ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^1(1,1)$; (b) a aplicação pode ser obtida de (a) por quatro transições lips e tem grafo ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^1(6,5)$; (c) a aplicação pode ser obtida de (b) por quatro cirurgias horizontais e tem grafo ${\mathcal{G}}_{(0,8)}^1(1,1)$; (d) a aplicação pode ser obtida de (c) por duas cirurgias verticais e tem grafo ${\mathcal{G}}_{(0,8)}^1(2,3)$. Esta mesma sequência de transições e cirurgias também podem ser aplicadas em outras superfícies N, com gênero g > 0 (orientada ou não orientada). Por exemplo, para N como a garrafa de Klein e com o mesmo contorno aparente, teria a sequência de grafos: em (a) ${\mathcal{G}}_{(0,2)}^1(1,1)$; em (b) ${\mathcal{G}}_{(0,2)}^1(1,1)$; em (c) ${\mathcal{G}}_{(0,10)}^1(1,1)$ e em (d) ${\mathcal{G}}_{(0,10)}^1(1,1)$.

Figura 8:
Exemplos de transições e cirurgias horizontais e verticais.

A cirurgia vertical não altera nem o número total de vértices nem os pesos nos grafos, somente acrescenta uma nova aresta. A cirurgia horizontal sempre alterar o número de vértices e de arestas no grafo. A cirurgia horizontal entre duas diferentes aplicações sempre une duas curvas singulares. As duas curvas podem corresponder a duas arestas que conectam dois vértices cada uma, ou uma aresta pode conectar dois vértices e a outra forma um laço (ou ⋆-laço), ou as duas arestas podem formar dois laços (ou dois ⋆-laços). A cirurgia horizontal pode unir duas ou três regiões regulares, unindo dois ou três vértices no grafo, induzindo a uma regra de pesos nos vértices (ver ¹²) como pode ver a seguir.

Regra de pesos nas cirurgias horizontais de grafos: a soma dos pesos nos vértices se dá da seguinte forma, como ilustrado na Figura 9, a cirurgia identifica:

• i) em (a), duas arestas (que conectam dois vértices cada uma), resultando em uma aresta (que conecta dois vértices). Neste caso, (s, 0) + (t, 0) = (s + t, 0), quando une duas regiãoes regulares orientadas; (0, p) +(0, q) = (0, p + q), quando une duas regiãoes não orientadas; (t, 0) + (0, p) = (0, 2t + p), quando une uma região orientada com outra não orientada.

• ii) em (b) e (c), uma aresta (que conecta dois vértices) e um laço (ou ⋆-laço) resultando em um laço (ou ⋆-laço). Neste caso, (s, 0) + (t, 0) + (r, 0) = (s + t + r, 0), quando une três regiãoes orientadas; (0, p)+(0, q)+(r, 0) = (0, 2r + p + q), quando une uma região orientada e duas regiãoes não orientadas.

• iii) em (d) e (e), dois ⋆-laços resultando em um laço. Neste caso, os pesos seguem (s, 0) + (t, 0) = (s + t, 0), quando une duas regiãoes orientadas; (0, p) +(0, q) = (0, p + q), quando une duas regiãoes não orientadas; (t, 0) + (0, p) = (0, 2t + p), quando une uma região orientada com outra não orientada.

• iv) em (f), (g), (h) e (i), um laço e um ⋆-laço (dois laços) resultando em um ⋆-laço (um laço). Neste caso, os pesos seguem (s, 0) + (t, 0) = (s + t + 1, 0), quando une duas regiãoes orientadas; (0, p) + (0, q) = (0, p + q + 2), quando une duas regiãoes não orientadas; (t, 0) +(0, p) = (0, 2(t + 1) + p), quando une uma região orientada com outra não orientada.

Figura 9:
Soma local de grafos com pesos

As cirurgias sobre às aplicações entre superfícies induz naturalmente as duas cirurgas (horizontal e vertical) nos grafos.

Definição 3.8. Uma cirurgia horizontal entre dois grafos conexos é a identificação de uma aresta de um grafo com uma aresta do outro grafo, dando origem a um novo grafo conexo. A soma de pesos nos vértices ocorrem respeitando as regras acima.

Uma cirurgia vertical ente dois grafos 𝒢 e ℋ consiste em adicionar uma aresta que conecta um ou dois vértices, sem alterar seus pesos, da seguinte forma:

• i) A aresta une dois vertices em um mesmo grafo.

• ii) A aresta une dois vertices conectando dois grafos.

• iii) A aresta cria um laço em um vértice do grafo.

Se os grafos ${\mathcal{G}}_{(T,P)}^S(V,E)$ e ${\mathcal{H}}_{(T,P)}^S(V,E)$ podem ser realizados pelas respectivas cirurgias f: M ₁ → N g: M ₂ → N, então a soma conexa dos grafos 𝒢 ⊕ ℋ também pode ser realizado pela aplicação soma conexa f + g: Z → N, onde Z é a superfície soma conexa das superfícies M ₁ e M ₂ .

P roposição 3.2. Todo grafo que pode ser obtido pela soma conexa (horizontal ou vertical) de dois grafos realizável é também um grafo realizável.

4.REALIZAÇÃO DE GRAFOS COM PESOS NOS VÉ RTICES

Um grafo 𝒢 será dito realizável se 𝒢 pode ser associado a alguma aplicação estável entre duas superfícies fechadas M e N. A realização de grafo está dividido em aplicações estáveis (ver Figura 10):

• (a) entre duas superfícies fechadas e orientadas. Resumo na Subseção 4.1, baseado em ^{8), (9};

• (b) de superfícies fechadas e orientadas em superfícies fechadas, Subseção 4.2;

• (c) de superfícies fechadas em superfícies fechadas e orientadadas, Subseção 4.3;

• (d) entre duas superfícies fechadas, Subseção 4.4. O caso de aplicações no plano projetivo foi estudado em ¹³.

Figura 10:
Aplicações entre superfícies.

As aplicações planares podem acontecer sobre qualquer superfície N. No caso de N = 𝕊², toda aplicação de grau zero é uma aplicação planar. Para N com gênero maior que zero, tem o seguinte resultado.

Proposição 4.3.Todo grafo${\mathcal{G}}_{(T,0)}^S(V,E)$que. pode ser realizado por alguma aplicação estável h: M → ℝ² também pode ser realizado por uma aplicação planar f: M → N.

Proof. Seja h: M → ℝ² uma aplicação que realiza o grafo ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^S(V,E)$. Uma aplicação planar, como na Definição 2.5, que realiza o grafo dado, pode ser obitida como f = j ◦ h: M → N, onde j: h(M) ⊂ ℝ² → N é um mergulho. □

A Figura 11 ilustra aplicações sobre 𝕂² com contornos aparentes planares: em (a), a aplicação do 𝕋² é planar, tem duas curvas singulares e grafo tipo ${\mathcal{G}}_{(1,0)}^0(3,2)$; em (b), a aplicação do 4ℙ² tem única curva singular que separa o toro com um burao (toro menos um disco) da garrafa de Klein com um buraco. O grafo associado é ${\mathcal{G}}_{(1,2)}^0(2,1)$.

Figura 11:
Exemplo de grafos de aplicações na garrafa de Klein.

4.1 Aplicações entre duas superfícies fechadas e orientadas

Em ⁷ foi estudado grafos associado às aplicações estáveis de superfícies fechadas e orientadas no plano. Os resultados foram estendido para o caso de aplicações na esfera em ⁸ e generalizado para aplicações entre superfícies fechadas e orientadas em ⁹. O Teorema 4.1 apresenta um resumo dos principais resultado.

Teorema 4.1. Se ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$ é um grafo bipartido, então 𝒢 pode ser realizado por alguma aplicação estável:

• 1. f: 𝕊 ² → 𝕊 ² com grau d ∈ ℤ se, e somente se, T = 0 e V = E + 1 ⁸.

• 2. f: m𝕋² → ℝ² , onde m = 1 − V + E + T⁷.

• 3. f: m𝕋² → 𝕊 ² com grau d ∈ ℤ e m = 1 − V + E + T⁸.

• 4. f: m𝕋² → n𝕋² tem grau máximo$d=\frac{m-1}{n-1}$e m = 1 − V + E + T⁹.

As provas das afirmações do Teorema 4.1 foram baseadas en construções de aplicações que realizam o grafo dado. Exemplos de aplicações entre superfície fechadas e orientadas sem pontos singulares:

• i) A identidade id: 𝕊² → 𝕊² tem grau 1 e grafo ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^0(1,0)$. Se f: 𝕊 ² → 𝕊 ² tem grau diferente de 1, então f tem pelo menos uma curva singlar (ver ²). A projeção (trivial) da esfera f ₁: 𝕊² → N, com única curva singular, realiza o grafo ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^0(2,1)$. A aplicação f ₂: 𝕊² → 𝕊², obtida de f ₁ pela transição lips (ver Figura 12) realiza o grafo ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^0(3,2)$.

• As duas árvores tipo ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^0(4,3)$ podem ser realizadas por uma transição lips sobre f ₂ (ver Figura 12) ou por uma cirurgia horizontal entre duas aplicações tipo f ₂. Por indução pode verificar que qualquer árvore ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^0(V,V-1)$ pode ser realizada por alguma aplicação f: 𝕊²→ N.

• ii) A identidade id: n 𝕋² → n 𝕋² tem grau 1 e grafo ${\mathcal{G}}_{(n,0)}^0(1,0)$. Para n = 1, a aplicação pode ter grau d ∈ ℕ sem pontos singulares, pois o toro admite recobrimentos do toro com d folhas.

• Se m = d(n − 1) + 1 (d > 0), então a aplicação ϕ: m 𝕋² → n 𝕋² pode tem grau d e sem pontos singulares, com grafo ${\mathcal{G}}_{(m,0)}^0(1,0)$, pois χ(M) = dχ(N) para recobrimento d folhas (ver ⁹).

• iii) Árvore do tipo ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,V-1)$ pode ser realizada por cirurgias horizontais entre a aplicação f que realiza a árvore de peso zero e aplicações g _t: tT² → N com conjunto singular conexo que realiza o grafo ${\mathcal{G}}_{(t,0)}^0(2,1)$ (ver Figura 13(a) onde t = 2r + s, para r, s ≥ 0).

• Para realizar os grafos com aplicações não planares e grau zero, primeiro pode realizar o grafo com peso zero por f e depois soma f com aplicações com conjunto singular conexo, como na Figura 13, que ilustra as aplicações: em (a) a aplicação planar do (2r + s)-toro tem 2s cúspides e 2r pontos duplos e grafo tipo ${\mathcal{G}}_{(2r+s,0)}^0(2,1)$; em (b) o contorno aparente planar do (6n)-toro tem 4 pontos duplos e grafo tipo ${\mathcal{G}}_{(6n,0)}^0(2,1)$; em (c) o contorno aparente não planar do (6n)-toro tem 6 pontos duplos e grafo ${\mathcal{G}}_{(4n+6,0)}^0(2,1)$.

Figura 12:
Exemplo de transições beaks e lips.

Figura 13:
Exemplos de contornos aparentes no n-toro.

4.2 Aplicações de superfícies orientadas em não orientadas

Um grafo associado a uma aplicação de uma superfície orientada em uma superfície não orientada pode ter apenas um vértice, como no caso dos recobrimento de duas folhas de uma superfície não orientada por uma superfície fechada e orientada, coo a superfície 𝕊² que é um recobrimento de duas folhas para ℙ², com a aplicação antípoda ϕ(x) = −x. Seu grafo é do tipo ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^0(1,0)$. Outro exemplo é o toro 𝕋² que recobre a garrafa de Klein, neste caso o grafo é ${\mathcal{G}}_{(1,0)}^0(1,0)$. O próximo resultado, detalha o recobrimento de duas folhas para superfícies não orientadas (ver ⁶).

Lema 4.1.Se p = t + 1, então o grafo${\mathcal{G}}_{(t,0)}^0(1,0)$pode ser associado ao recobrimento de duas folhas de t𝕋² sobre pℙ² .

Proof. Seja M a imesrsão da superfície de t𝕋² no 3-espaço, com coordenadas X , Y e Z e simetrica em relação aos planos XY e YZ, como ilustra a Figura 14. Tome o eixo de coordenadas com a origem no centro, com o o plano YZ dividindo M em duas componentes M ₁ e M ₂, de forma que:

• i) se t é par, o gênero de M ₁ e M ₂ é $\frac{t}{2}$, a interseção de M com o plano coordanado YZ, M ∩YZ, tenha uma curva fechada e M ∩ XY tenha t + 1 curvas fechadas, todas centrados no eixo X . Se U é uma vizinhança de M ∩ YZ, então U é homeomorfa a um cilindro. A aplicação antípoda ϕ(x) = −x, sobre M fornece um recobrimento de duas folhas para a superfície não orientada N = pℙ², com $p=2\left(\frac{t}{2}\right)+1=t+1$, levando M ₁ sobre M ₂ e ϕ(U) é uma faixa de Möebius.

• ii) se t é impar, o gênero de M ₁ e M ₂ é $\frac{t-1}{2}$, a interseção M ∩ YZ, tenha duas curvas fechadas e M ∩ XY tenha t + 1 curvas fechadas, todas centrados no eixo X . Se U é uma vizinhança de M ∩ YZ, então U é homeomorfa a ao toro menos dois discos. A aplicação antípoda ϕ(x) = −x, sobre M fornece um recobrimento de duas folhas para superfície não orientada N = pℙ², com $p=2\left(\frac{t}{2}\right)+1=t+1$, levando M ₁ sobre M ₂ e ϕ(U) é uma garrafa de Klein “menos um disco” (com dois buracos).

Figura 14:
(a) 2𝕋² recobre duas vezes 3ℙ² e (b) 3𝕋² recobre duas vezes 4ℙ².

Nos dois casos, t𝕋² é um recobrimento de duas folhas para pℙ², quando p = t + 1. □

Lema 4.2.Se${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$é um grafo bipartido associado a uma aplicação não planar f: m𝕋² → n𝕋² com grau zero e y ∈ N é tal que$f^{-1}\left(y\right)=\cancel{0}(y\notin f(M\left)\right)$, então existe uma aplicação não planar g: m𝕋² → pℙ² associada a${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$, onde p > 2n.

Proof. Seja f: m𝕋² → n𝕋² uma aplicação não planar de grau zero e y ∈ n𝕋² é tal que $f^{-1}\left(y\right)=\cancel{0}$. Seja B _y um ”disco”vizinhança de y tal que $B_y\cap f\left(m{\mathbb{T}}^2\right)=\cancel{0}$. Pode trocar o disco B _y por uma superfície não orientada gênero k e uma componente de bordo, identificando os bordos de n𝕋²\B _y e N _k , obtendo a superfície não orientada (2n + k)ℙ² . Considere a aplicação não planar g: m𝕋² → (2n + k)ℙ², tal que g(m𝕋²) = j( f(m𝕋²)), onde j: f(m𝕋²) → (2n + k)ℙ² é um mergulho, com Σf = Σg. Assim obtém uma aplicação não planar sobre uma superfície não orientada que realiza o grafo bipartido ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$. □

Teorema 4.2.Todo grafo bipartido${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$pode ser associado a alguma aplicação estável f: m𝕋² −→ pℙ² .

Proof. Segue da Proposição 4.3, que toda grafo bipartido ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$ pode ser associado a alguma aplicação f: m𝕋² → ℝ², onde m = 1 − V + E + T⁷. Logo ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$ também pode ser associado a alguma aplicação planar f: m𝕋² → pℙ² . Pelo Lema 4.2, qualquer grafo bipartido ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$ pode ser associado a uma aplicação estável não planar f: m𝕋² → pℙ², com m = 1 −V + E + T, sem precisar cobrir pℙ². Agora falta mostrar que o grafo também pode ser realizado por aplicações que cobrem pℙ². Se p = t + 1, o grafo tipo ${\mathcal{G}}_{(t,0)}^0(1,0)$ pode ser realizado, pelo Lema 4.1, por uma aplicação recobrimento de duas folhas q: t𝕋² → (t + 1)ℙ² (ver Figura 14). No caso geral, para N = (2k + 1)ℙ², se todos os vértices do grafo bipartido ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$ tem peso menor que menor que 2k então a aplicação não terá região regular que recobre N. Suponha que o grafo tem pelo menos um vértice v com peso w ≥ 2k, então retira 2k do peso w e realize o grafo auxiliar ${\mathcal{G}}_{(t-2k,0)}^0(V,E)$ por uma aplicação h: t − 2k𝕋² → (2k + 1)ℙ² como em um dos casos anteriores. Seja q ₁: 2k𝕋² → (2k + 1)ℙ² a aplicação obtida do recobrimento de duas folhas q: 2k𝕋² → (2k + 1)ℙ² pela transição lips (que cria uma curva singular com dois pontos de cúspides), associada ao grafo ${\mathcal{G}}_{(2k,0)}^0(2,1)$. Fazendo uma cirurgia horizontal entre h e q ₁, de forma que o peso 2k é somado ao peso w − 2k, obtem-se uma aplicação f = h + q ₁: m𝕋² −→ (2k + 1)ℙ² que cobre N = (2k + 1)ℙ² e realiza o grafo ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$. A construção para N = (2k + 2)ℙ² é análoga, lembrando que M = (2k + 1)𝕋² recobre N com duas folhas (ver (b) na Figura 14). Esta construção pode ser feita em mais de um vértice do grafo. □

4.3 Aplicações de superfícies não orientadas em orientadas

Se N é uma superfície orientada, então toda região regular de f: M → N é orientada e imersa em N por f, logo o peso P = 0. Neste caso, a superfície M é orientada se, e somente se, o grafo é bipartido (ver ^{8), (9}). Em ³, foi mostrado que todo grafo com P = 0 pode ser realizado por alguma aplicação f: M → 𝕊². Resta ver o caso em que N é orientada com gênero maior que zero, para S = 0 e S > 0.

Lema 4.3.Todo grafo${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$pode ser associado a alguma aplicação estável f: pℙ² → n𝕋² .

Proof. Suponha que o grafo ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$ é não bipartido e tem k ciclos com um número impar de arestas. Primeiro retira uma aresta de cada um desses k ciclos não bipartido, obtendo um subgrafo bipartido $\mathcal{G}{\text{'}}_{(T,0)}^0(V,E-k)$. Pelo Teorema 4.1, existe alguma aplicação estável h: M ₀ → N que realiza $\mathcal{G}{\text{'}}_{(T,0)}^0(V,E-k)$, onde M ₀ tem gênero m = (1 −V +(E − k)+ T). Como o grafo é bipartido, cada um dos vértices pode receber um sinal + ou −, de forma que uma aresta sempre conectada vértices com sinais opostos. Os dois vértices de cada par $(v_i,v_i^{\text{'}})$, de onde foi arrancada uma aresta a _i , recebem o mesmo sinal. Uma aplicação g: M ₁ → N, que realiza o grafo ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$, pode ser obtida por k cirurgias verticais sobre h, sendo que cada uma conecta duas regiões correspondente ao par de vértices $(v_i,v_i^{\text{'}})$, tornando a nova superfície M ₁ não orientada e com 2k alças a mais que M ₀. Logo o gênero de M ₁ é p = 2(1 − V + (E − k) + T) + 2k = 2(1 − V + E + T). □

Teorema 4.3.Todo grafo${\mathcal{G}}_{(T,0)}^S(V,E)$pode ser associado a alguma aplicação estável f: pℙ² → n𝕋² .

Proof. Suponha que S > 0, primeiro retira os S ⋆-laços do grafo, obtendo o $\mathcal{G}{\text{'}}_{(T,0)}^0(V,E-S)$ que pode ser realizado pela aplicação estável h ₂: M ₂ → N, como no Lema 4.3, por alguma aplicação estável g: M ₁ → N, onde M ₁ tem gênero 2(1 − V + (E − S) + T). A aplicação f: M → N que realiza o grafo $\mathcal{G}{\text{'}}_{(T,0)}^0(V,E-S)$, pode ser obtida por S cirurgias horizontais (de forma conveniente) entre a aplicação g e outras S aplicações do tipo (b) na Figura 2 (com duas arestas e um ⋆-laços), respeitando os locais de cada ⋆-laço. O aumento de cada um dos S ⋆-laço corresponde o aumento de um gênero na superfície não orientada, então a superfície não orientada M tem gênero dado por p = 2(1 − V + (E − S) + T) + S = 2(1 − V + E + T) − S. □

4.4 Aplicações entre duas superfícies fechadas

Em ¹² foi mostrado que todo grafo ${\mathcal{G}}_{(T,P)}^S(V,E)$ pode ser realizado por alguma aplicação estável de uma superfície fechada M no plano projetivo. A superfície M é orientada, se e somente se, o grafo é bipartido com P = 0. A identidade id: pℙ² → pℙ² pode ser associada ao grafo ${\mathcal{G}}_{(0,p)}^0(1,0)$. Consequentemente id: ℙ² → ℙ² tem o grafo ${\mathcal{G}}_{(0,1)}^0(1,0)$ e id: 𝕂² → 𝕂² tem o grafo ${\mathcal{G}}_{(0,2)}^0(1,0)$.

A Figura 15 ilustra imagens de três aplicações estáveis não planares no 7-projetivo, com única curva singular e regiões regulares não orientadas: em (a) a aplicação do 2(2r + s + 1) projetivo tem contorno aparente não planar com 2r + 2 pontos duplos e 2s cúspides e grafo ${\mathcal{G}}_{(0,4r+2s+2)}^0(2,1)$; em (b) a aplicação do (12n + 6)-projetivo tem contorno aparente planar com 4 pontos duplos e grafo ${\mathcal{G}}_{(0,12n+6)}^0(2,1)$; em (c) a aplicação do (8n + 20)-projetivo tem o contorno aparente não planar com seis pontos duplos e grafo ${\mathcal{G}}_{(0,8n+20)}^0(2,1)$.

Figura 15:
Exemplos de contornos aparentes no 2n + 1-projetivo.

Lema 4.4. Todo grafo ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^S(V,E)$ pode ser associado a alguma aplicação estável entre duas superfícies fechadas.

Proof. O grafo bipartido ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^S(V,E)$ pode ser realizado como no Teorema 4.2. Se ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^S(V,E)$ é não bipartido com k ciclos com número impar de arestas, então pode retirar uma aresta de cada um desses k ciclos impares, como no Lema 4.3, obtendo um subgrafo bipartido ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E-k)$ que pode ser realizado por uma aplicação h ₁: m ₁𝕋² → N, onde m ₁ = 1 − V + (E − k) + T. Para realizar o grafo não bipartido ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E)$, basta fazer k cirurgias verticais para obter uma aplicação h ₂: p ₂ℙ² → N, com p ₂ = 2(1 − V + E + T), que realiza o grafo original. Se S > 0 em ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^S(V,E)$, o grafo pode ser realizado como no Teorema 4.3. Primeiro retira os S ⋆-laços e realiza o subgrafo ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^0(V,E-S)$, como no caso anterior, por uma aplicação h ₂: p ₂ℙ² → N, onde p ₂ = 2(1 −V +(E − S) + T). Uma aplicação h: pℙ² → N (com p = 2(1 −V + E + T) − S) que realiza o grafo ${\mathcal{G}}_{(T,0)}^S(V,E)$, pode ser obtida por S cirurgias horizontais entre h ₂ e S aplicações com grafos com ⋆-laços tipo ${\mathcal{G}}_{(0,0)}^1(2,2)$, como (b) na Figura 11. □

Teorema 4.4. Todo grafo ${\mathcal{G}}_{(T,P)}^S(V,E)$ pode ser associado a alguma aplicação estável entre duas superfícies fechadas.

Proof. Se P > 0, retira todos os pesos do tipo (0, p) do grafo, obtendo um subgrafo tipo $\mathcal{G}{\text{'}}_{(T,0)}^S(V,E)$ que pode ser realizado como no Lema 4.4, por alguma aplicação h: M’ → N. Se $\mathcal{G}{\text{'}}_{(T,0)}^S(V,E)$ é bipartido e S = 0, então a superfície M’ é orientada com gênero 1 − V + E + T, caso contrário M’ é não orientada com gênero 2(1 −V + E + T) − S. Uma aplicação f: M → N que realiza o grafo dado pode ser obtida por cirurgias horizontais entre a aplicação h e aplicações com grafos tipo ${\mathcal{G}}_{(0,p_i)}^0(2,1)$ , como na Figura 15(c), que acrescenta pesos tipo (0, p _i ) nos vértices sem alterar o número de vértices e de arestas do grafo. □

5 CONSIDERAÇÕ ES FINAIS

A construção de grafos associado às aplicações estáveis entre superfícies garante que toda aplicação está associada a um grafo com pares de pesos nos vértices (grafo dual da aplicação). Dado um grafo, mostrar a existência de uma aplicação entre duas superfícies associada ao grafo pode não ser tão simples. Alguns grafos podem ser realizados pela manipulação de transições (de codimensão um) no espaço de funções, partindo de uma aplicação inicial com única aresta ou até mesmo com único vértice. Esta manipulação pode ser difícil dependendo dos pesos nos vértices e dos comprimentos dos ciclos no grafo. As cirurgias surgem como ferramentas importante no auxilio destas construções. Uma vez que já se conhece exemplos de aplicações com única curva singular, ou mesmo sem pontos singulares (recobrimento de n folhas), uma aplicação que realiza o grafo dado pode ser obtida por manipulação das transições e das cirurgias entre estas aplicações já conhecidas, sendo que a cirurgia horizontal bastante útil para realizar os pesos nos vértices, ou seja, somar grafos aplicações com grafos de única arestas e com pesos nos vértices, enquanto que a cirurgia vertical pode ser bastante útil para para realizar (fechar) os ciclos do grafo.

Agradecimentos

Agradeço aos revisores pelas valiosas sugestões.

REFERÊNCIAS

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  15 Dez 2023
• Data do Fascículo
  Oct-Dec 2023

Histórico

• Recebido
  27 Nov 2022
• Aceito
  07 Jun 2023