Influência seletiva da turbulência sobre as ondas de Rossby e de Lamb na atmosfera barotrópica

The selective influence of the turbulence on the Rossby and Lamb waves in the barotropic atmosphere

Influência seletiva da turbulência sobre as ondas de Rossby e de Lamb na atmosfera barotrópica

V. Kadyschnikov & D. P. Casarin

Universidade Federal de Pelotas

Centro de Pesquisas Meteorológicas

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96.060-290 - Pelotas - RS

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Embora o modelo hidrodinâmico da atmosfera aceite a existência das ondas lentas, cuja velocidade é comparável com a do vento, bem como das ondas rápidas que se propagam com a velocidade do som, estas últimas, como mostram as cartas meteorológicas, praticamente não são observadas nas grandes escalas da dinâmica da atmosfera real. Para explicar este fenômeno examinamos o modelo barotrópico, onde as ondas lentas e rápidas são, respectivamente, as quase-geostróficas de Rossby e as ageostróficas de Lamb. Se, adicionalmente, incluirmos no modelo um fator diabático, o atrito turbulento vertical, observamos que tres fatores (o tamanho da Terra, a velocidade angular da rotação dela em torno do seu eixo e o valor máximo da propagação de sinal na atmosfera) garantem que as ondas rápidas de qualquer comprimento se tornem atenuadas muito mais rapidamente do que as ondas lentas. O mecanismo do ajustamento geostrófico de desvios barotrópicos, que segue deste fato, é muito efetivo devido ao valor médio do coeficiente da mistura turbulenta vertical na atmosfera. Enquanto o tempo de vida das ondas de Rossby é aproximadamente igual a 7 dias, o tempo de vida das ondas de Lamb de escala sinótica é algumas dezenas de vezes menor.

Palavras-chave: Modelagem hidrodinâmica; Ondas atmosféricas; Balanço geostrófico.

The selective influence of the turbulence on the Rossby and Lamb waves in the barotropic atmosphere - Though a hydrodynamic model of the atmosphere allows both slow waves whose propagation speed is comparable to the wind speed and fast waves whose propagation speed is comparable to sound speed, the last ones practically are not observed in the large scale of the dynamics of the real atmosphere, i.e. mapped on meteorological charts. In order to explain this fact, we have considered the barotropic model in which the only slow and fast waves are the quasi-geostrophic Rossby waves and the ageostrophic Lamb waves, respectivelly. If the mechanism of the atmospheric turbulence is additionally included into the model, then 3 factors (the Earth size, the angular velocity of its rotation about its axis and the propagation velocity of a signal in the atmosphere) provide a much faster attenuation of the fast waves of all lengths in comparison with the slow waves. The mechanism of geostrophic adjustment is very effective due to a mean value of the vertical mixture coefficient in the atmosphere. While the lifetime of the Rossby waves is about 7 days, the lifetime of the synoptic scale Lamb waves is some tens less.

Key words: Hydrodynamic modelling; Atmospheric waves; Geostrophic balance.

INTRODUÇÃO

Os processos atmosféricos obedecem a três leis fundamentais da natureza: a 2ª Lei de Newton, a condição de continuidade e 1º Princípio da Termodinâmica. Observações mostram que estes processos obedecem condições adicionais, tais como as de equilíbrio quase-geostrófico e hidrostático (Hougthon, 1977; Holton, 1992).

Em termos do modelo linear da atmosfera que descreve os processos ondulatórios, estas condições são descritas a seguir. Considerando-se o caso mais simples, o barotrópico, onde existem somente dois tipos de ondas: de Rossby (Rossby, 1937) que se propagam com uma velocidade comparável com a do vento e, com grande precisão, são geostróficas; e as de Lamb (Lamb,1910) que se propagam com a velocidade do som e não são geostróficas, as amplitudes das primeiras são muito maiores que as das segundas.

Uma das explicações para o fenômeno é que as ondas não geostróficas de Lamb dispersam-se rapidamente e as ondas geostróficas de Rossby deslocam-se muito lentamente (Rossby, 1937; Obukhov, 1949; Kibel, 1955; Gill, 1982). Mas, em primeiro lugar, num modelo adiabático, a integral espacial da energia de ambos os tipos de onda não muda com o tempo e, em segundo lugar, como a Terra é um espaço periódico (não é um plano infinito), as ondas que se dispersaram não podem desaparecer.

Vamos introduzir no modelo um fator adicional diabático, a turbulência, e mostraremos que, sob as condições da Terra, ele atenua efetivamente as ondas de Lamb e praticamente não afeta as ondas de Rossby. Isto permite considerar o balanço quase- geostrófico na atmosfera como uma conseqüência da mistura turbulenta.

MECANISMO DA MISTURA TURBULENTA VERTICAL NA ATMOSFERA

Dos diferentes modelos de turbulência atmosférica (Batchelor, 1967; Gill, 1982), nós escolhemos o mais simples. Na parte inferior da atmosfera, devido ao atrito sobre o solo, surge a camada limite planetária. Considerando-a homogênea e estacionária, temos na sua fronteira superior uma velocidade vertical de deslocamento,

(1)

onde K~4m²s^-1 é o coeficiente da mistura turbulenta, f = 2W senj ~ 10^-4 s^-1 é o parâmetro de Coriolis (W - a velocidade angular da rotação da Terra, j - a latitude geográfica), D - operador de Laplace, f - o geopotencial, cujas derivadas em relação às coordenadas horizontais x,y não dependem da altura (Ekman, 1927; Kibel, 1957; Holton, 1992).

Consideramos que na fronteira inferior da atmosfera livre a velocidade vertical é W_a(Kibel, 1957).

MODELO LINEAR DA ATMOSFERA BAROTRÓPICA SOBRE O PLANO b

As três leis fundamentais geram cinco equações diferenciais (a lei de Newton tem uma forma vetorial e por isso fornece três equações escalares).

Consideremos uma região pequena em comparação ao raio da Terra. Neste caso, podemos usar o sistema local de coordenadas cartesianas direcionando o eixo z para cima.

Usaremos o sistema direito (x para leste, y para norte) e consideraremos a rotação no sentido anti-horário como positiva.

Suponhamos que a condição hidrostática está obedecida. Nesse caso, podemos usar o sistema de coordenadas isobárico. A coordenada vertical é a pressão p e a função dependente é f (Eliassen, 1949).

Depois da linearização em torno do estado de repouso com um perfil vertical da temperatura (a barra significa o valor médio em relação a x,y), as equações do modelo baroclínico podem ser apresentadas como:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

onde , t - o tempo, R = 287m²s^-2K^-1 é a constante dos gases para o ar, g = 9,81ms^-2 é a aceleração da gravidade, c_p= 10³m²s^-2 K^-1 é o calor específico a pressão constante, = - (Holton, 1992).

As condições de contorno são as seguintes:

(7)

(8)

onde P = 10⁵Pa é a pressão média no solo.

Vamos supor T=T(p). Nesse caso, em superfícies isobáricas, temos T_t = 0 e, de acordo com (6), (g - )w = 0. T_x = T_y= 0 e assim, de (4), temos que f_x e f_ynão dependem da altura. Por isso, supondo adicionalmente que no momento inicial u,v não dependem da altura, então, de acordo com (2) e (3), elas não mais dependerão daí em diante. Assim as Eqs. (2) e (3) pertencem ao modelo barotrópico. A terceira equação é obtida ao integrarmos (5) de p=0 até p=P. De acordo com (7) e (8), temos:

(9)

Por definição, , isto é, no modelo linear, de acordo com (8), para p=P, temos:

Como (4) é válida também para os valores médios, com a ajuda de (9) obtemos:

Levando em conta (1), obtemos na forma final:

(10)

onde

(11)

(c ~ 300ms^-1, m ~ 1,4• 10⁷m²s^-1).

No caso de f = const, as Eqs. (2), (3) e (10) formam o modelo linear da atmosfera barotrópica no plano f.

Para o modelo descrever as ondas de Rossby, é preciso fazer a transferência do plano f para o plano b. Para conseguirmos este objetivo trocamos a Eq. (3) pela equação da vorticidade, isto é, , colocamos, () e obtemos:

(12)

Agora consideramos todos os coeficientes nas Eqs. (2), (10), (12), incluindo f e b, como constantes (Tompson, 1961). Por isso, podemos procurar soluções na forma das ondas:

(13)

Das Eqs. (2), (10) e (12) é fácil deduzir a equação de energia:

Ela mostra que no caso sem a turbulência (m = 0), a integral na região periódica da forma quadrada positiva não muda com o tempo, isto é, todas as freqüências em (13) são reais. Devido à turbulência (por exemplo jj _xx = (jj_x)_x - j²_x), a integral diminui necessariamente, pois todas as freqüências tornam-se complexas com a parte imaginária negativa.

EQUAÇÃO DE DISPERSÃO. ONDAS DE ROSSBY E LAMB

Colocando (13) em (2), (10) e (12), obtemos para as amplitudes um sistema de três equações algébricas homogêneas lineares. Para existir uma solução não trivial, o determinante do sistema deve ser igual a zero. Esta condição fornece:

(14)

Esta equação cúbica em relação a l não tem soluções reais. Para obtermos as raízes, supomos inicialmente que:

(15)

Como

(16)

(na realidade k = 2p/L, então o comprimento de onda L deve cumprir a condição 1,6 • 10^-11L << 2p • 10^-4, isto é, L << 40 mil km), a expressão entre colchetes em (14) pode ser substituída por -f². Então, tem-se:

De acordo com (11) e (16), a suposição (15) está cumprida. Esta é a freqüência das ondas de Rossby. A velocidade de propagação delas no meio em repouso é (Eckart, 1960)

e, na melhor das hipóteses, pode chegar no máximo a alguns metros por segundo. Tendo em vista (15) e (16), é fácil verificar que de acordo com (2) e (12) as ondas de Rossby são quase-geostróficas, isto é:

Agora vamos fazer a suposição oposta a (15), ou seja,

(17)

Nesse caso, de acordo com (16), a expressão entre colchetes em (14) pode ser substituida por l². Além disso, a expressão entre os primeiros parênteses em (14) pode ser substituida por r²l. Então, temos uma equação quadrada com as soluções:

Sob a condição adicional c²r² >> (mr² / 2)² (isto é 4c² >> m²r² ou , então L ³ 600km ) obtémos:

É óbvio que a suposição (17) está cumprida. Estas são as freqüências das ondas de Lamb. A velocidade da propagação delas é a velocidade do som.

CONCLUSÃO: CONDIÇÃO DO AJUSTAMENTO GEOSTRÓFICO

Comparando as velocidades de atenuação das ondas lentas e rápidas, vemos que as primeiras atenuam mais lentamente sob a condição, ou, considerando l=k:

Como a parte direita desta desigualdade é , chegamos à conclusão de que a influência seletiva da camada limite planetária sobre a atmosfera livre pode explicar o balanço quase-geostrófico observado na atmosfera. Para as ondas com o comprimento N mil km, o tempo de vida das ondas de Rossby é aproximadamente (2p/N)^² vezes maior do que as de Lamb. Quando, por exemplo, a onda de Lamb atenuar e vezes, a amplitude da onda de Rossby diminui menos que 8% para N=5, e menos que 3% para N=3.

Submetido em: 20/06/97

Revisado pelo(s) autor(es) em: 10/04/98

Aceito em: 20/04/98

NOTAS SOBRE OS AUTORES

NOTES ABOUT THE AUTHORS

ALGUMAS LIMITAÇÕES À APLICABILIDADE DO MÉTODO DO RAIO NA ELASTODINÂMICA - SOME LIMITATIONS FOR THE APPLICABILITY OF THE RAY METHOD IN ELASTODYNAMICS

Mikhail M. Popov

Professor in Steklov Mathematical Institute of St. Petersburg, Russia. He has a D.Sc degree in mathematical physics and has worked for decades in wave propagation and theory of difractions, including propagation of seismic waves. He is leading researcher in Steklov Mathematical institute of Academy of Sciences in Russia and has published over than 80 scientific papers. He was visiting professor in CPGG-UFBa during one semester in 1995 and 1996.

Sérgio A. M. Oliveira

Formou-se em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal da Bahia em 1993. Obteve, em 1998, seu D.Sc. em Geofísica pelo Centro de Pesquisas em Geofísica e Geologia da UFBa. Suas áreas de interesse incluem propagação de ondas e métodos geofísicos para exploração de hidrocarbonetos.

CAMADAS NEUTRAS ESPORÁDICAS NA ALTA ATMOSFERA ASSOCIADAS COM ONDAS ATMOSFÉRICAS - WAVE ASSOCIATED SPORADIC NEUTRAL LAYERS IN THE UPPER ATMOSPHERE

Barclay Robert Clemesha

Bacharel em Física pela University of London em 1957. Em seguida trabalhou como pesquisador no Projeto denominado International Geophysical Year na University College Ibadan, Nigéria, por três anos, na área de física da baixa ionosfera. Transferiu-se então para a University of Ghana, Accra, onde trabalhou com pesquisas em irregularidades na região F da ionosfera. Em 1963 transferiu-se para a University of the West Indies, Kingston, Jamaica, onde juntamente com os Drs. Geoffrey Kent e Ray Wright desenvolveu um dos primeiros radares de laser para estudos atmosféricos. Completou seu Ph.D. na University of the West Indies em 1968. Desde o final de 1968 trabalha no Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) onde coordena o grupo de Pesquisas da Alta Atmosfera (FISAT). É membro do Comitê Editorial do periódico indexado Journal of Atmospheric and Terrestrial Physics (Pergamon - ISSN 0021-9169). É membro da Sociedade Brasileira de Geofísica e do American Geophysical Union (AGU), USA. Suas áreas de interesse atualmente incluem estudos da dinâmica e química da alta mesosfera e baixa termosfera usando radar de laser, medidas de aeroluminescência tomadas de solo e via experimentos com foguete.

Paulo Prado Batista

Bacharel em Física pela Universidade Federal de Goiás em 1972. Mestre e Doutor em Ciência Espacial pelo Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) em 1976 e 1983, respectivamente. Fez estágio de Pós-Doutorado por um ano na Universidade de Boston, USA, em 1987. Iniciou carreira no INPE em 1973 como Auxiliar de Pesquisas e onde continua até o momento como Pesquisador Titular. Suas áreas de interesse são: Dinâmica da média atmosfera, com ênfase em estudos de marés atmosféricas e ondas de gravidade na média atmosfera com medidas por meio de aerolumunescência , radar de laser e foguetes de sondagem. É membro da Sociedade Brasileira de Geofísica e da American Geophysical Union.

Dale Martin Simonich

Bacharel e mestre em Engenharia Elétrica pela Marquette University, Milwaukee WI, EUA em 1963 e 1965. Doutor em Engenharia Elétrica pela Universidade de Illinois at Urbana - Champaign, Urbana IL, EUA em 1972. Atualmente é Pesquisador Titular no Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais - INPE responsável pelo projeto de radar de laser. Áreas de interesse: Estudos da dinâmica e química da mesosfera usando a técnica de radar de laser, aerossóis estratosféricos, e desenvolvimento de equipamentos e software para o radar de laser.

INFLUÊNCIA SELETIVA DA TURBULÊNCIA SOBRE AS ONDAS DE ROSSBY E DE LAMB NA ATMOSFERA BAROTRÓPICA - THE SELECTIVE INFLUENCE OF THE TURBULENCE ON THE ROSSBY AND LAMB WAVES IN THE BAROTROPIC ATMOSPHERE

Vladimir Kadyschnikov

Concluiu Mestrado em Mecância (1958) na Universidade de Moscou (Rússia), Doutorado (1964) em Geofísica no Observatório Principal de Geofísica em São Petersburgo, Pós-doutorado em Mecânica e Matemática (1985) no Centro Hidrometeorológico da Rússia em Moscou. Nos anos de 1990-1994 foi Chefe da Seção dos Métodos Numéricos da Previsão do Tempo de Curto Prazo neste Centro. Desde 1995 é Professor Adjunto do Curso de Pós-graduação em Meteorologia da Universidade Federal de Pelotas. Tem mais de 60 artigos publicados em periódicos russos. Área de especialização: Modelagem Numérica dos Processos Atmosféricos.

Darci Pegoraro Casarin

Graduado em Engenharia Eletrônica pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul (1976), Mestre pelo Instituto de Pesquisas Espaciais (1982) com a dissertação entitulada "Sistemas de Bloqueio no Hemisfério Sul". É Professor da Universidade Federal de Pelotas -UFPEL desde 1979. Foi Diretor da Faculdade de Meteorologia da UFPEL no período 1989-1993 e Chefe do Centro de Pesquisas Meteorológicas da UFPEL até 1997.

THE SELECTIVE INFLUENCE OF THE TURBULENCE ON THE ROSSBY AND LAMB WAVES IN THE BAROTROPIC ATMOSPHERE

The atmospheric processes of synoptic and planetary scale are described by nonlinear differencial equations of hydrodynamics. In order to understand better what kinds of movements are possible in the atmosphere of the Earth, the equations are linearized and their solutions are calculated in the form of elementary waves. It is known that in the free baroclinic atmosphere there are the acoustic waves, the Lamb waves, the gravity waves and the Rossby waves. The energy of the acoustic waves propagates almost vertically with the sound speed. The Lamb waves are barotropic, i.e. their amplitudes have a constant sign at height and their energy propagates with the sound speed, too, but horizontally. Two other kinds of waves are slow, i.e., their propagation velocities are comparable with the wind speed. Meanwhile, it is well known that large scale disturbances do not propagate with the sound speed in the real atmosphere, i.e., practically there are neither acoustic waves nor Lamb waves of large scale in the atmosphere. This article is concerned with the reasons of the absence of the Lamb waves.

Therefore, we have examined the simple barotropic model of the hydrostatic atmosphere in which the only slow waves are the quasi-geostrophic Rossby waves that produce weather, and the only fast waves are the ageostrophic Lamb waves.

The energy of each wave in a linear model is conserved in time, under adiabatic conditions because there is not exchange of energy neither between waves of different lengths, nor between waves of different kinds. It is necessary to take into account, also, that the energy of periodic disturbances on the Earth can not disappear due to dispersion in the infinite as it could occur on the plane.

In our opinion, the vertical turbulent mixture can be considered as a mechanism which is able to explain the practical absence of the fast ageostrophic Lamb waves and consequently to explain why there exist the quasi-geostrophic balance of large scale barotropic disturbances in the atmosphere of the Earth. This supposition is based on the following considerations.

The linear equations of the barotropic model of the atmosphere on the b-plane are deduced, and we look for solutions of the equations in the form of harmonic waves. The correspondent dispersion equation is a cubic one for wave frequencies. Their three solutions for each wavelength are easily defined using a condition that one of them (the frequency of the Rossby waves) is much smaller than the angular velocity of the rotation of the Earth and the two others (the frequencies of the Lamb waves) are much larger than this velocity. The amplitudes of allwaves, both slow quasi-geostrophic and fast ageostrophic are not changed in time under adiabatic conditions, because the linear system of equations possesses the quadratic energy integral. In order to take into account the influence of the vertical turbulent mixture on the disturbances, the Ekman planetary boundary layer is introduced into the model. The vertical velocity on its top is taken as the value on the lower boundary of the free atmosphere. Both wave kinds become attenuated due to this diabatic factor. But the intensity of the attenuation is very different.

The predominant intensity of attenuation of the fast Lamb waves in comparison with the Rossby waves does not depend on the value of the vertical turbulent coefficient. The predominance is defined by the propagation velocity of the signal in the atmosphere,, (R - the gas constant of the air, - the mean temperature of the atmosphere at the surface)

and the angular velocity of the Earth rotation about its axis. The Earth size is such that the amplitudes of all fast waves attenuate much faster than the amplitudes of the slow waves. The intensity of the attenuation depends on the mentioned coefficient. Its mean value of about 4m²s^-1 provides the high effectiveness of the mechanism of filtering of the fast Lamb waves (their "lifetime" is approximately N²/50 days , where N - a wavelength in thousands of kilometers) and consequently leads up to the geostrophic balance of disturbances in the barotropic atmosphere.

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Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  08 Jun 2001
• Data do Fascículo
  Nov 1997

Histórico

• Revisado
  10 Abr 1998
• Recebido
  20 Jun 1997
• Aceito
  20 Abr 1998