O oscilador linearmente amortecido revisitado

Diniz, Eduardo Moraes

doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2019-0195

Eduardo Moraes Diniz ^**Endereço de correspondência: eduardo.diniz@ufma.br.

Universidade Federal do Maranhão, Departamento de Física, São Luís, MA, Brasil

http://orcid.org/0000-0002-6201-1771

^*Endereço de correspondência: eduardo.diniz@ufma.br.

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Figura 1
Evolução da força de atrito com diferentes forças aplicadas. Na situação (a) a força externa não é suficiente para retirar o corpo do repouso porque a força de atrito possui a mesma intensidade e direção oposta, e isso permanece até que o módulo da força de atrito assuma o valor

μ_{e} m g

. Na situação (b) a força aplicada é maior que a força de atrito, que nesse caso assume o valor

μ_{c} m g

. Na situação (c) tem-se uma força aplicada maior que a mostrada na situação (b), mas a força de atrito permanece a mesma.

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Figura 2
Esboço do movimento de um oscilador linearmente amortecido (linha cheia). O índice n indexa cada trecho do movimento que inicia em

t = τ_{n}

e finaliza em

t = τ_{n + 1}

, onde

τ_{n}

é o ponto de retorno. Após um determinado número de oscilações a massa para.

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Figura 3
Esquema da função horária da posição para o oscilador linearmente amortecido (linha cheia). As retas tracejadas são as envoltórias do movimento e as linhas horizontais (ponto e traço) são os limites da zona de parada na qual a força de atrito não equilibra a força harmônica da mola, isto é, dentro desses limites o movimento não acontece.

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Figura 4
Esquema da velocidade (esquerda) e aceleração (direita) para o oscilador linearmente amortecido em correspondência à .

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Figura 5
Tipos de amortecimentos do oscilador linearmente amortecido.

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Figura 6
Energias instantânea (linha cheia) e média (linha tracejada) para o oscilador linearmente amortecido. A miniatura mostra uma parte do gráfico maior, onde pode-se ver melhor a oscilação da energia instantânea em torno do valor médio.

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Figura 7
Potências instantânea (linha cheia) e média (linha tracejada) para o oscilador linearmente amortecido.

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Figura 8
Fator de mérito do oscilador linearmente amortecido. A função

Q (t)

só é definida até o instante

t = τ_{N}

, pois a partir desse tempo a potência dissipada é constantemente nula.

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Figura 9
Diagrama de fase do oscilador linearmente amortecido.

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Tabela 1
Tipos de amortecimento do oscilador linearmente amortecido.

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Tabela 2
Comparações entre as principais características do oscilador linearmente amortecido e o oscilador harmônico amortecido tradicional.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

Condição inicial	Amortecimento	Restrição
$x_{0} > 2 λ_{c} + λ_{e}$	Subcrítico	Nenhuma
$2 λ_{c} < x_{0} ⩽ 2 λ_{c} + λ_{e}$	Supercrítico irrestrito	Nenhuma
$x_{0} = 2 λ_{c}$	Crítico	$μ_{e} < 2 μ_{c}$
$λ_{e} < x_{0} < 2 λ_{c}$	Supercrítico restrito	$μ_{e} < 2 μ_{c}$

Propriedade	OLA	OHA
Equação diferencial	Validade por trechos	Válida sempre
Fim do movimento	Sim	Não
Força de atrito	Constante	Proporcional à velocidade
Aceleração	Descontínua	Contínua
Envoltórias do movimento	Linhas retas	Exponenciais
Tipos de amortecimento	4 ou 2	3
Ponto de parada completa	$x \in [- λ_{e}, λ_{e}]$	x = 0
Tempo para atingir o equilíbrio	Finito	Infinito
Decaimento da energia com o tempo	Quadrático	Exponencial
Potência dissipada média com o tempo	Linear	Exponencial
Fator de mérito	Função do tempo	Constante
Diagrama de fase	Espiral finita	Espiral infinita
Passo da espiral do diagrama de fase	Uniforme	Diminui exponencialmente

f = {\begin{array}{l} - μ_{c} m g, & \dot{x} < 0 \\ - μ_{c} m g, & \dot{x} > 0 \\ μ_{e} m g, & \dot{x} = 0, x > λ_{e} \\ - μ_{e} m g, & \dot{x} = 0, x < - λ_{e} \\ m ω^{2} x, & \dot{x} = 0, | x | ⩽ λ_{e} \end{array}

{\begin{array}{l} a^{(n)} = a^{(n - 1)} + 2 S_{0} λ_{c} \cos ω τ_{1} \\ b^{(n)} = b^{(n - 1)} + 2 S_{0} λ_{c} sen ω τ_{1} \end{array}

{\begin{array}{l} a^{(n)} = a^{(0)} + 2 n S_{0} λ_{c} \cos ω τ_{1} \\ b^{(n)} = b^{(0)} + 2 n S_{0} λ_{c} sen ω τ_{1} \end{array}

{\begin{array}{l} a^{(n)} = x_{0} - S_{0} λ_{c} + 2 n S_{0} λ_{c} \cos ω τ_{1} \\ b^{(n)} = \frac{v_{0}}{ω} + 2 n S_{0} λ_{c} sen ω τ_{1} . \end{array}

\begin{array}{l} E^{(n)} (t) = \frac{m ω^{2}}{2} [{(a^{(n)})}^{2} + {(b^{(n)})}^{2} + λ_{c}^{2} + \\ + 2 S_{0} λ_{c} \cos n π (a^{(n)} \cos ω t + b^{(n)} sen ω t)] . \end{array}

\begin{array}{l} \bar{E} (t) = \frac{m ω^{2}}{2} {{(a^{(0)})}^{2} + {(b^{(0)})}^{2} \\ + λ_{c}^{2} [1 + {(1 + \frac{2 ω (t - τ_{1})}{π})}^{2}] \\ + 2 S_{0} λ_{c} (a^{(0)} \cos ω τ_{1} + b^{(0)} sen ω τ_{1}) \\ \times [1 + \frac{2 ω (t - τ_{1})}{π}]} \end{array}

[1] ^*Endereço de correspondência: eduardo.diniz@ufma.br.

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O oscilador linearmente amortecido revisitado

The damped linearly oscillator revisited

Resumo