Mapping with robots

Physics is typically introduced to students through kinematics. In general, students learn to solve simple examples, for example, how to find the time of a journey from one position to another one. With the popularization of computer science, it is important to present problems which can be analyzed playfully on the computer. With this objective, through simulations, we study different strategies for the kinematics of a robot that must map a room. The efficiencies of the different strategies were compared by calculating some quantities from the trajectories, such as Convex Hull and Entropy. Comparing these quantities, it is possible to discuss the mapping performed by each one of them.

Keywords:
Robotics; Physics; Statistics; Engineering

Authorship

Gabriel Alves Machado ^**Endereço de correspondência: alvesgabriel0327@gmail.com.

Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Politécnico do Rio de Janeiro, Nova Friburgo, RJ, BrasilUniversidade do Estado do Rio de JaneiroBrasilNova Friburgo, RJ, BrasilUniversidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto Politécnico do Rio de Janeiro, Nova Friburgo, RJ, Brasil

Angelo Mondaini Calvão

https://orcid.org/0000-0002-4208-1406

^*Endereço de correspondência: alvesgabriel0327@gmail.com.

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Figures (10)
Formulas (1)

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Figura 1
Trajetória do caminhante balístico com condições iniciais inteiras. Da direita para a esquerda, a figura ilustra caminhantes com "velocidades" iniciais (incrementos na posição) com valores: (1;1), (1;2), (1;5), (4;6), (7;5). As “velocidades” iniciais foram normalizadas e foram feitas iterações até encontrar 1000 colisões com a periferia.

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Figura 2
Casos típicos da trajetória do movimento balístico com condições iniciais contínuas no intervalo [−10:10]. Da esquerda para direita,foram feitas iterações até conseguir os seguintes números de colisões com a periferia: 40, 100, 400.

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Figura 3
Casos típicos da trajetória do movimento browniano. Da esquerda para direita, foram feitas iterações até conseguir os seguintes números de colisões com a periferia: 40, 100, 400.

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Figura 4
A fim de entender quantas iterações são necessárias para que o caminhante toque a periferia pelas primeiras vezes em 100 simulações, diagramas de caixas são apresentados para informar a estatística do número de iterações necessárias para que isso ocorra. Tipicamente, o movimento browniano demora muito mais para tocar a periferia pela primeira vez, porém, os encontros subsequentes com a periferia ocorrem com maior frequência, entretanto, estes pontos ficam todos numa mesma vizinhança, como ilustra a figura 3.

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Figura 5
Histograma da entropia para diferentes número de pontos na periferia e diferentes estratégias. De cima para baixo, temos os seguintes parâmetros: 20, 100 e 1000 pontos na periferia.

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Figura 6
Considere alguns alfinetes distribuidos sobre uma superfície, ao colocarmos um elástico de forma que todos os alfinetes fiquem no seu interior (linha marrom), temos que o elastico (linhas) definirá a área do convex hull desta distribuição de alfinetes (pontos).

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Figura 7
Área do convex hull para as diferentes estratégias. Cada ponto do gráfico é a média de 10 simulações. O caminhante balístico, com condições iniciais contínuas, com ≈ 10² pontos na periferia já gera um bom mapeamento, no entanto, com condições iniciais inteiras, um mapeamento total, em média, é improvável. No caso do caminhante aleatório, um bom mapeamento é possível só para uma quantidade maior de pontos na periferia (≈ 10³).

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Figura 8
Ilustração da trajetória das estratégias de mapeamento com obstáculo, no caso, o obstáculo são duas paredes. As simulações ilustradas foram feitas em um quadrado 100 × 100 e 10⁴ iterações, com as paredes no meio e uma abertura de 10% no centro. A posição inicial do caminhante é aleatória. As estratégias são, da esquerda para direita: caminhante balístico (Caso 1), caminhante balístico (Caso 2) e Movimento Browniano.

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Figura 9
Área do convex hull para as diferentes estratégias. Cada ponto do gráfico é a média de 50 simulações. No caso de 0.0% e 100.0% de abertura temos os resultados esperados, metade da área e toda a área mapeada, respectivamente, para as dinâmicas do caminhante balístico contínuo e browniano. Um mapeamento total pode ser alcançado para aberturas menores com um número maior de pontos na periferia (mais iterações da dinâmica).

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Figura 10
Entropia dos pontos periféricos para as diferentes estratégias. Cada ponto do gráfico é a média de 50 simulações. Uma entropia maior (dispersão dos pontos sobre a periferia) pode ser alcançado para aberturas menores com um número maior de pontos na periferia (mais iterações da dinâmica).

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Figura 5
Histograma da entropia para diferentes número de pontos na periferia e diferentes estratégias. De cima para baixo, temos os seguintes parâmetros: 20, 100 e 1000 pontos na periferia.

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Figura 1 Trajetória do caminhante balístico com condições iniciais inteiras. Da direita para a esquerda, a figura ilustra caminhantes com "velocidades" iniciais (incrementos na posição) com valores: (1;1), (1;2), (1;5), (4;6), (7;5). As “velocidades” iniciais foram normalizadas e foram feitas iterações até encontrar 1000 colisões com a periferia.

Figura 2 Casos típicos da trajetória do movimento balístico com condições iniciais contínuas no intervalo [−10:10]. Da esquerda para direita,foram feitas iterações até conseguir os seguintes números de colisões com a periferia: 40, 100, 400.

Figura 3 Casos típicos da trajetória do movimento browniano. Da esquerda para direita, foram feitas iterações até conseguir os seguintes números de colisões com a periferia: 40, 100, 400.

Figura 4 A fim de entender quantas iterações são necessárias para que o caminhante toque a periferia pelas primeiras vezes em 100 simulações, diagramas de caixas são apresentados para informar a estatística do número de iterações necessárias para que isso ocorra. Tipicamente, o movimento browniano demora muito mais para tocar a periferia pela primeira vez, porém, os encontros subsequentes com a periferia ocorrem com maior frequência, entretanto, estes pontos ficam todos numa mesma vizinhança, como ilustra a figura 3.

Figura 5 Histograma da entropia para diferentes número de pontos na periferia e diferentes estratégias. De cima para baixo, temos os seguintes parâmetros: 20, 100 e 1000 pontos na periferia.

Figura 6 Considere alguns alfinetes distribuidos sobre uma superfície, ao colocarmos um elástico de forma que todos os alfinetes fiquem no seu interior (linha marrom), temos que o elastico (linhas) definirá a área do convex hull desta distribuição de alfinetes (pontos).

Figura 7 Área do convex hull para as diferentes estratégias. Cada ponto do gráfico é a média de 10 simulações. O caminhante balístico, com condições iniciais contínuas, com ≈ 10² pontos na periferia já gera um bom mapeamento, no entanto, com condições iniciais inteiras, um mapeamento total, em média, é improvável. No caso do caminhante aleatório, um bom mapeamento é possível só para uma quantidade maior de pontos na periferia (≈ 10³).

Figura 8 Ilustração da trajetória das estratégias de mapeamento com obstáculo, no caso, o obstáculo são duas paredes. As simulações ilustradas foram feitas em um quadrado 100 × 100 e 10⁴ iterações, com as paredes no meio e uma abertura de 10% no centro. A posição inicial do caminhante é aleatória. As estratégias são, da esquerda para direita: caminhante balístico (Caso 1), caminhante balístico (Caso 2) e Movimento Browniano.

Figura 9 Área do convex hull para as diferentes estratégias. Cada ponto do gráfico é a média de 50 simulações. No caso de 0.0% e 100.0% de abertura temos os resultados esperados, metade da área e toda a área mapeada, respectivamente, para as dinâmicas do caminhante balístico contínuo e browniano. Um mapeamento total pode ser alcançado para aberturas menores com um número maior de pontos na periferia (mais iterações da dinâmica).

Figura 10 Entropia dos pontos periféricos para as diferentes estratégias. Cada ponto do gráfico é a média de 50 simulações. Uma entropia maior (dispersão dos pontos sobre a periferia) pode ser alcançado para aberturas menores com um número maior de pontos na periferia (mais iterações da dinâmica).

Figura 5 Histograma da entropia para diferentes número de pontos na periferia e diferentes estratégias. De cima para baixo, temos os seguintes parâmetros: 20, 100 e 1000 pontos na periferia.

Figura 6 Considere alguns alfinetes distribuidos sobre uma superfície, ao colocarmos um elástico de forma que todos os alfinetes fiquem no seu interior (linha marrom), temos que o elastico (linhas) definirá a área do convex hull desta distribuição de alfinetes (pontos).

Figura 7 Área do convex hull para as diferentes estratégias. Cada ponto do gráfico é a média de 10 simulações. O caminhante balístico, com condições iniciais contínuas, com ≈ 10² pontos na periferia já gera um bom mapeamento, no entanto, com condições iniciais inteiras, um mapeamento total, em média, é improvável. No caso do caminhante aleatório, um bom mapeamento é possível só para uma quantidade maior de pontos na periferia (≈ 10³).

Figura 8 Ilustração da trajetória das estratégias de mapeamento com obstáculo, no caso, o obstáculo são duas paredes. As simulações ilustradas foram feitas em um quadrado 100 × 100 e 10⁴ iterações, com as paredes no meio e uma abertura de 10% no centro. A posição inicial do caminhante é aleatória. As estratégias são, da esquerda para direita: caminhante balístico (Caso 1), caminhante balístico (Caso 2) e Movimento Browniano.

Figura 9 Área do convex hull para as diferentes estratégias. Cada ponto do gráfico é a média de 50 simulações. No caso de 0.0% e 100.0% de abertura temos os resultados esperados, metade da área e toda a área mapeada, respectivamente, para as dinâmicas do caminhante balístico contínuo e browniano. Um mapeamento total pode ser alcançado para aberturas menores com um número maior de pontos na periferia (mais iterações da dinâmica).

Figura 10 Entropia dos pontos periféricos para as diferentes estratégias. Cada ponto do gráfico é a média de 50 simulações. Uma entropia maior (dispersão dos pontos sobre a periferia) pode ser alcançado para aberturas menores com um número maior de pontos na periferia (mais iterações da dinâmica).

(1)

S = - \sum_{Ω} p_{i} l o g (p_{i})

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