Figura 1
Descrições microscópica (de primeiros princípios da eletro-mecânica), mesoscópicas e macroscópica (termodinâmica) da natureza em física teórica contemporânea incluindo varias, obviamente não todas, equações relevantes. A energia emerge da eletro-mecânica como uma constante de movimento. O funcional entrópico emerge de primeiros princípios eletro-mecânicos como uma função adequada das probabilidades diretamente relacionadas às trajetórias no espaço de fases, ou no espaço de Hilbert, ou no de Fock, e às correlações ali envolvidas. O teorema de Braun e Hepp que é mencionado em uma das ligações é aquele provado em [44. W. Braun e K. Hepp, Commun. Math. Phys. 56, 125 (1977).]. Somente apresentamos aqui um esquema básico: outros ramos e conexões existem que não estão indicados neste diagrama (veja por exemplo [55. C. Jarzynski, Phys. Rev. Lett. 78, 2690 (1997).]).
Figura 2
Colapso das densidades de probabilidades para os casos N = 22n, onde 2n é impar (topo ), ou par (fundo ). Quando n cresce, o histograma se aproxima gradualmente, para regiões crescentemente largas, de uma qattract-Gaussiana com (qattract,β)≃(1.66,6.2). Inserção: Representação linear-linear dos dados para uma melhor visualização da região central. Detalhes em [3030. U. Tirnakli, C. Tsallis e C. Beck, Phys. Rev. E 79, 056209 (2009).].
Figura 3
Mapa standard para valores representativos do parâmetro K. Esquerda: Ocupação no espaço de fases. Direita: Expoente de Lyapunov. Os exemplos K = 0 e K = 8 ilustram respectivamente os domínios de validade da q-estatística e da estatística de BG; os exemplos K = 0.5 e K = 1.5 ilustram situações intermediárias. Detalhes em [3131. U. Tirnakli e C. Tsallis, Nonlinear Phenomena in Complex Systems 23, 149 (2020).].
Figura 4
Distribuição de probabilidades para o caso K = 0. Um grande número (M = 2×108) de condições iniciais foi usado para ter uma boa estatística. O número de somandos nas simulações também é grande (N = 222) de modo de visualizar a distribuição limite ao longo de muitas décadas. Esquerda: representação log-linear. Direita: representação q-log – quadrática; as linhas retas pretas representam precisamente a distribuição q-Gaussiana em diferentes escalas. Detalhes em [3131. U. Tirnakli e C. Tsallis, Nonlinear Phenomena in Complex Systems 23, 149 (2020).].
Figura 5
Ferromagneto inercial α-XY clássico em d-dimensões (para d = 1,2,3). As medias temporais foram feitas ao longo dos intervalos Δt indicados nas inserções. Topo esquerda: Ilustração (curva preta) de qp-Gaussiana para a distribuição dos momentos de uma partícula (para comparação, a Gaussiana de BG é mostrada em curva tracejada). Topo direita: Ilustração (curva preta) da qE-exponencial para as energias de uma partícula (para comparação, o fator de BG é mostrado na curva tracejada). Fundo esquerda: A dependência em α/d do índice qp (na inserção é mostrado em curva preta o resultado analítico correspondente a q-Gaussianas). Fundo direita: A dependência em α/d-dependence do índice qE (na inserção é mostrado em curva preta o resultado analítico correspondente a q-exponenciais). Detalhes em [3535. L.J.L. Cirto, A. Rodriguez, F.D. Nobre e C. Tsallis, EPL 123, 30003 (2018).].
Figura 6
Visão unificada da fronteira do crossover BG – não BG do modelo α-Fermi-Pasta-Ulam, onde b é o coeficiente do acoplamento quártico. A linha reta continua (preta) é dada por , com D = 2.3818×104, δ = 0.27048, e γ = 1.365. Detalhes em [ChristodoulidiTsallisBountis2014 36. H. Christodoulidi, C. Tsallis e T. Bountis, EPL 108, 40006 (2014).].
Figura 7
Perfil da densidade de partículas no estado estacionário a T = 0, obtido por dinâmica molecular (círculos vazios), comparado com o resultado teórico (qattract-Gaussian com qattract = 0; linha cheia). A posição x é medida em unidades do comprimento de penetração de London λ, e a densidade do estado estacionário ρ(x) é expressa em unidades de λ−2. Ver detalhes em [3737. J.S. Andrade Jr., G.F.T. da Silva, A.A. Moreira, F.D. Nobre e E.M.F. Curado, Phys. Rev. Lett. 105, 260601 (2010).].
Figura 8
O índice qent foi determinado [4040. F. Caruso e C. Tsallis, Phys. Rev. E 78, 021102 (2008).] de primeiros princípios, mais precisamente a partir da classe de universalidade do Hamiltoniano. A carga central vale c = 1/2 e c = 1 respectivamente para as cadeias ferromagnéticas de Ising e XY na presença do campo transverso na criticalidade a T = 0. Para outros modelos ver [4141. F.C. Alcaraz, J. Phys. A 20, 2511 (1987)., 4242. F.C. Alcaraz e M.J. Martins, J. Phys. A 23, L1079 (1990).]. No limite c→∞ recuperamos o valor de BG, i.e., qent = 1. Para c arbitrário, a entropia não aditiva Sqent(L) do sistema é termodinâmicamente extensiva para e somente para (portanto ; para c=4 temos qent = 1/2, e para c = 6 temos , onde Φ é a razão áurea . Enfatizemos que este valor anômalo de qent acontece somente no ponto crítico quântico de segunda ordem à temperatura zero; em qualquer outra situação vale o índice usual de BG para interações de curto alcance, ou seja qent = 1. Detalhes em [4343. C. Tsallis e H.J. Haubold, EPL 110, 30005 (2015).].
Figura 9
Verificação experimental em matéria granular da relação de escala predita em 1996 [4646. C. Tsallis e D.J. Bukman, Phys. Rev. E 54, R2197 (1996).]. Topo: Tipo de aparelho usado (ver [4949. L. Viallon-Galiner, G. Combe, V. Richefeu e A.P.F. Atman, Entropy 20, 862 (2018).]); Fundo esquerda: Dependência do índice q da distribuição q-Gaussiana da distribuição das flutuações num intervalo largo do parâmetro experimental ; Fundo direita: Dependência do expoente α da difusão anômala (x2 escala com tα) com o mesmo parâmetro experimental, e verificação, com 2 % de barra de erro, da predição de 1996 de α = αP≡2/(3−q) [4646. C. Tsallis e D.J. Bukman, Phys. Rev. E 54, R2197 (1996).]. Observe que, na extrapolação , os valores de BG (q,α) = (1,1) emergem. Ver detalhes em [5050. G. Combe, V. Richefeu, M. Stasiak e A.P.F. Atman, Phys. Rev. Lett. 115, 238301 (2015).].
Figura 10
Verificação experimental e computacional da predição de Lutz de 2003 para átomos frios [5151. E. Lutz, Phys. Rev. A 67, 051402(R) (2003).]. Topo esquerda: Simulações Monte Carlo quântico para a distribuição de momentos em rede unidimensional (dados pontuais mediados sobre 104 trajetórias atômicas). Cada trajetória atómica é iniciada no estado fundamental de um dado poço. A profundidade de rede é U0 = 60 Er. Topo direita: Melhor ajuste experimental com q-Gaussiana (q = 1.791 ± 0.004; ajuste R2 = 0.995). Meio esquerda: Valores de q em função da profundidade do potencial ótico. Os pontos provem de simulações Monte Carlo quânticas; a linha representa a predição q = 1 + 44Er/U0 [5151. E. Lutz, Phys. Rev. A 67, 051402(R) (2003).]. Meio direita: Valores de q em função da frequência vibracional no fundo do poço, obtidos ajustando com q-Gaussianas os experimentos. Fundo esquerda: Resultados experimentais da distribuição em rede tridimensional (pontos) e seu melhor ajuste q-Gaussiano (linha solida). O valor q = 1.310 ± 0.015 é obtido ajustando somente a parte direita da distribuição de momentos (ajuste R2 = 0.9985). O parâmetro da rede ótica é ωv/(2π) = 20.8kHz. O máximo da distribuição é normalizado à unidade. Resultados experimentais da distribuição (pontos pretos) e seu melhor ajuste q-Gaussiano (linha preta sólida). O valor de q está indicado na figura (ajuste R2 = 0.9985). O parâmetro da rede ótica é ωv/(2π) = 27.5kHz. Uma Gaussiana está comparativamente indicada (linha vermelha). Fundo direita: Os pontos da distribuição para altos momentos: melhor ajuste com lei de potencia (linha sólida). Detalhes em [5252. P. Douglas, S. Bergamini e F. Renzoni, Phys. Rev. Lett. 96, 110601 (2006)., 5353. E. Lutz e F. Renzoni, Nature Physics 9, 615 (2013).].
Figura 11
Comparaçao de , onde , com distribuições experimentais de momentos transversos em colisões pp collisions para rapidez central y. A correspondente distribuição de BG (exponencial) é ilustrada na curva tracejada. Para uma melhor visualização, tanto os dados como as curvas analíticas tem sido divididas por um fator constante como indicado. Como vemos, os ajustes são impressionantemente satisfatórios ao longo de não menos de 14 décadas na ordenada! Tal situação é praticamente sem precedentes. Com efeito, tantas décadas medidas num único experimento constitui um fato raro, que exibe o talento do esforço experimental envolvido. Para realisticamente apreciar isto, estas curvas podem ser comparadas, por exemplo, àquelas exibindo o ’crossover’ da mecânica de Newton para a de Einstein para valores crescentemente altos do momento. Efetivamente se consideramos o caso dos protons nos raios cósmicos até a deteção na Terra das energias extremas, temos 11 décadas na ordenada entre o inicio da discrepância de relação de Einstein com a relação usando a energia cinética clássica E = mc2 + p2/2m, até o mais alto nível experimental relativista. A razão ajuste/dados estão mostrados no parte inferior, onde um comportamento aproximadamente log-periódico é observado por cima da q-exponencial. Tais curvas log-periódicas tem sido muito satisfatoriamente ajustadas introduzindo no indice q uma pequena parte imaginaria (e.g., q = 1.14 + i0.03) [5454. M. Rybczynski, G. Wilk e Z. Wlodarczyk, Eur. Phys. J. Web of Conferences 90, 01002 (2015)., 5555. G. Wilk e Z. Wlodarczyk, Entropy 17, 384 (2015).]. Detalhes em [5656. C.Y. Wong, G. Wilk, L.J.L. Cirto e C. Tsallis, Phys. Rev. D 91, 114027 (2015).].
Figura 12
Os dados no AMS-02 são ajustados muito bem por combinações lineares de distribuições padrão e ‘escort’ com q1 = 13/11 = 1.1818… e q2 = 1/(2−q1) = 11/9 = 1.2222… Detalhes em [YalcinBeck2018 57. G.C. Yalcin e C. Beck, Scientific Reports 8, 1764 (2018).].
Figura 13
O fluxo de partículas de cada espécie de raios cósmicos está ajustado com usando três parâmetros (C,T,q); a massa em m repouso satisfaz m=Au, onde A é a massa atómica e u = 0.931GeV é a unidade de massa. Nesta representação log-log, o eixo vertical está multiplicado por E2.7 para melhor visibilidade. A precisão do ajuste pode ser quantificada pelo desvio do fluxo teórico ao fluxo observado em relação ao respectivo erro de medição σ. Evidentemente, quase todos os pontos observados caem dentro da barra de incerteza ±σ ilustrada como área cinza. A temperatura média T0 está definida por T0 = T/(4−3q). A amplitude C tem dimensões [C] = [m−2sr−1s−1GeV−3]. Detalhes em [5858. M. Smolla, B. Schafer, H. Lesche C. Beck, New Journal Physics 22, 093002 (2020).].
Figura 14
Cada fluxo de partículas está re-escalado com um fator conveniente tal que todos os dados aproximadamente colapsam numa única curva na região de baixas energias e as propriedades universais dos espectros dos núcleos dos raios cósmicos primários e secundários tornam-se visíveis. Para energias mais altas o espectro bifurca em primários e secundários que podem ser distinguidos através de um único parâmetro, o índice q, que pode ser interpretado em termos dos graus de liberdade efetivos subjacentes. Detalhes em [5858. M. Smolla, B. Schafer, H. Lesche C. Beck, New Journal Physics 22, 093002 (2020).].
Figura 15
Redes d-dimensionais assintoticamente invariantes por escala (para d = 1,2,3,4). Pod-se facilmente verificar que a distribuição do número k de ligações por sítio é muito bem ajustada por . Esquerda: O índice q em função de αA/d; o ponto vermelho indica a classe de universalidade de Barabási-Albert (BA) (q = 4/3) [5959. A.L. Barabási e R. Albert, Science 286, 509 (1999)., 6060. T. Emmerich, A. Bunde e S. Havlin, Phys. Rev. E 89, 062806 (2014).], que é aqui recuperada com o o caso particular αA = 0. Direita: A ‘temperature’ κ (que caracteriza o número médio de ligações por nó) em função de αA/d. Em todos os casos, a descrição de BG (q=1) emerge naturalmente no limite αA/d→∞, e mesmo antes disso. Detalhes em [6161. S.G.A. Brito, L.R. da Silva e C. Tsallis, Scientific Reports 6, 27992 (2016).].
Figura 16
A distribuição de velocidades celulares (promediadas ao redor da circunferência) no MDCK é bem ajustada com uma q-Gaussiana. (a) Evolução temporal. Inserção: representação em log-log plot dos mesmos dados. (b) Colapso obtido com velocidades celulares re-escaladas a diversos tempos. Inserção: representação em log-log das distribuições. (c) Evolução temporal do índice q. Ver detalhes em [6363. S.Z. Lin, P.C. Chen, L.Y. Guan, Y. Shao, Y.K. Hao, Q. Li, B. Li, D.A. Weitz e X.Q. Feng, Adv. Biosys. 4, 2000065 (2020).].
Figura 17
Distribuições de retornos logarítmicos para dez ações em intervalos de 1 minuto, normalizadas pelo desvio medio quadrático da amostra. A linha sólida corresponde a uma distribuição q-Gaussians distribution com q = 1.43, que fornece um bom ajuste com os dados. Linha tracejada: modelo padrão Gaussian. Detalhes em [6565. L. Borland, Phys. Rev. Lett. 89, 098701 (2002).].
Figura 18
O procedimento aqui focalizado para a deteção de microcalcificações que não usa a entropia Sq produz resultados modestos: 80.21 % Tps (verdadeiros positivos) e 8.1 Fps (falsos positivos). Enquanto, ao introduzir a q-entropia, resultados auspiciosos surgem: 96.55 % Tps e 0.4 Fps. Resultados do experimento: (a) mdb236, (b) imagem com as microcalcificações salientadas, (c) imagem com as microcalcificações extraídas; (d) mdb216, (e) imagem com as microcalcificações salientadas, (f) imagem com as microcalcificações extraídas. Detalhes em [6666. J. Mohanalin, M. Beenamol, P.K. Kalra e N. Kumar, Computers and Mathematics with Applications 60, 2426 (2010).].
Figura 19
Ajuste dos dados de casos ativos disponíveis no 8 de Maio de 2020 para varios paises severamente afetados ao redor do mundo, com a Eq. (
21). Os parâmetros de ajuste γ e
q foram fixados aos valores da China toda vez que o pico não tinha sido ainda atingido. Observe que, no caso do Brasil, uma disrupção aconteceu nos dados publicamente disponíveis a meados de Abril. Desconhecemos qual seja a causa. Coincidentemente entretanto, o Presidente do Brasil decidiu de mudar seu Ministro de Saúde nesses dias. Detalhes em [
6767. C. Tsallis e U. Tirnakli, Frontiers in Physics 8, 217 (2020).].
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