Capacitor and rod paradox

In this article we deal with a paradox, in the sense of apparent contradiction, of the theory of Special Relativity: an U-shaped circuit, with an opening $L_{0}$ and with a charged capacitor, moves relative to a conductive rod of length $L_{0}$ . The question is: seen from a referential in the circuit and then viewed from a reference point on the rod, does the circuit close discharging the capacitor or not? The solution to the paradox, which seems to involve only the issue of length contraction, actually also involves the issue of simultaneity, as we have shown. The article, in addition to presenting and solving the paradox, reviews important points of the theory of Special Relativity, such as geometric representation of Lorentz transformations, simultaneity and desynchronization of clocks along an object in movement.

Keywords:
Relativity; paradoxes; simultaneity

Authorship

Carlos Heitor d’Ávila Fonseca ^** Endereço de correspondência: cazeitor@fisica.ufmg.br

Universidade Federal de Minas Gerais, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Física, CP 702, 30.161-970 Belo Horizonte MG, Brasil.Universidade Federal de Minas GeraisBrasilBelo Horizonte, MG, BrasilUniversidade Federal de Minas Gerais, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Física, CP 702, 30.161-970 Belo Horizonte MG, Brasil.

http://orcid.org/0000-0001-9878-6360

Emmanuel Araújo Pereira

* Endereço de correspondência: cazeitor@fisica.ufmg.br

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Figura 1:
Referenciais inerciais

S

S^{\prime}

na configuração padrão.

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Figura 2:
Representação geométrica da transformação de Lorentz.

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Figura 3:
Representação do sistema haste capacitor nos dois referenciais.

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Figura 4:
Paradoxo: há ou não descarga do capacitor? (Unidades em ns-luz).

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Figura 5:
Não simultaneidade dos eventos A e B no referencial da haste. (Unidades em ns-luz).

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Figura 6:
Relógios e sincronismo nos referenciais da haste e do capacitor. (Unidades em ns-luz).

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Figura 7:
Representação geométrica da dilatação do tempo.

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Figura 8:
Representação geométrica da contração de Lorentz.

(1)

(2)

(3)

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(5)

Figura 1: Referenciais inerciais $S$ e $S^{\prime}$ na configuração padrão.

Figura 2: Representação geométrica da transformação de Lorentz.

Figura 3: Representação do sistema haste capacitor nos dois referenciais.

Figura 4: Paradoxo: há ou não descarga do capacitor? (Unidades em ns-luz).

Figura 5: Não simultaneidade dos eventos A e B no referencial da haste. (Unidades em ns-luz).

Figura 6: Relógios e sincronismo nos referenciais da haste e do capacitor. (Unidades em ns-luz).

(1)

{\begin{matrix} c t^{'} = γ (c t - β x) \\ x^{'} = γ (x - β c t) \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \end{matrix} ou {\begin{matrix} c t = γ (c t^{'} + β x^{'}) \\ x = γ (x^{'} + β c t^{'}) \\ y = y^{'} \\ z = z^{'} \end{matrix};

onde γ \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} .

c t^{'} = γ (c t - β x) \Rightarrow 0 = γ (c t - β x) ∴ c t = β x .

(2)

\tan θ = β

x^{'} = γ (x - β c t) \Rightarrow 0 = γ (x - β c t) ∴ c t = β^{- 1} x .

\begin{matrix} | β | \equiv \frac{u}{c} = \frac{3}{5} & \Rightarrow & γ \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}} = \frac{5}{4} . \\ L_{0} = 6 m = 20 ns-luz & ∴ & L_{0} / γ = 4, 8 m \\ = 16 ns-luz \end{matrix}

{\begin{matrix} Δ t \equiv t_{B} - t_{A} = ? \\ Δ t^{'} \equiv t_{B}^{'} - t_{A}^{'} = 0 \\ Δ x^{'} \equiv x_{B}^{'} - x_{A}^{'} = L_{0} \end{matrix} .

(3)

{\begin{matrix} c t^{'} = γ (c t - β x) \\ x^{'} = γ (x - β c t) \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \end{matrix} ou {\begin{matrix} c t = γ (c t^{'} + β x^{'}) \\ x = γ (x^{'} + β c t^{'}) \\ y = y^{'} \\ z = z^{'} \end{matrix};

\Rightarrow c Δ t = γ (c Δ t^{'} + β Δ x^{'}) = γ (0 + β L_{0}) ∴

c Δ t = + γ β L_{0}

\Rightarrow c Δ t = + \frac{5}{4} \frac{3}{5} 20 ns-luz ∴

c Δ t \equiv c t_{B} - c t_{A} = + 15 ns-luz .

[\begin{matrix} c t_{A} \\ x_{A} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{5}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{5}{4} \end{matrix}] [\begin{matrix} 40 ns-luz \\ 20 ns-luz \end{matrix}] = [\begin{matrix} 65 ns-luz \\ 55 ns-luz \end{matrix}]

[\begin{matrix} c t_{B} \\ x_{B} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{5}{4} & \frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} & \frac{5}{4} \end{matrix}] [\begin{matrix} 40 ns-luz \\ 40 ns-luz \end{matrix}] = [\begin{matrix} 80 ns-luz \\ 80 ns-luz \end{matrix}]

u Δ t = \frac{3}{5} c 15 ns = 9 ns-luz .

\frac{L_{0}}{γ} + u Δ t = 16 ns-luz + 9 ns-luz

= 25 ns-luz > L_{0} = 20 ns-luz .

{\begin{matrix} Δ t^{'} \equiv t_{2}^{'} - t_{1}^{'} = ? \\ Δ t \equiv t_{2} - t_{1} = 0 \\ Δ x \equiv x_{2} - x_{1} = L_{0} / γ = 16 ns-luz \end{matrix};

\Rightarrow c Δ t^{'} = γ (c Δ t - β Δ x) = \frac{5}{4} (0 - \frac{3}{5} 16) ns-luz ∴

Δ t^{'} \equiv t_{2}^{'} - t_{1}^{'} = - 12 ns .

Figura 7: Representação geométrica da dilatação do tempo.

Figura 8: Representação geométrica da contração de Lorentz.

(4)

c Δ t = γ (c Δ t^{'} + β Δ x^{'}) \Rightarrow c Δ t = γ (c Δ τ + 0) ∴

Δ t = γ Δ τ .

(5)

Δ x^{'} = γ (Δ x - β c Δ t) \Rightarrow L_{0} = γ (L - 0) ∴

L = \frac{L_{0}}{γ} .

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