A descontinuidade do campo elétrico em uma distribuição superficial e esférica de cargas: um invariante topológico

The discontinuity of the electric field in a spherical charge distribution: a topological invariant

Resumos

Este artigo soma-se aos outros recentes que vêm sendo publicados, principalmente nesta revista que está, ao nosso ver, tornando-se um fórum de discussão deste que é o campo elétrico na superfície de um condutor esférico carregado. Recentemente publicamos um artigo que discutia três modelos para encontrar o recalcitrante fator 1/2 que persegue muitos aficionados por esta questão eletrostática. Desta forma, este texto foi elaborado, exclusivamente, para tentar esclarecer e contrapor, algumas interpretações colocadas em um mais recente artigo [¹] que defende uma integral própria para encontrar o teimoso fator. Desta forma, reabordamos o método da superposição do campo de anéis para discutir comportamento do campo através de uma superfície esférica carregada uniformemente, tentando chegar a um consenso.

Palavras-chave
campo elétrico de anéis; esfera carregada; descontinuidade

This article adds to the other recent ones that have been published, mainly in this magazine that is, in our view, becoming a forum for discussion of this which is the electric field on the surface of a charged spherical conductor. We recently published an article that discussed three models for finding the recalcitrant factor 1/2 that chase many fans of this electrostatic issue. In this way, this text was elaborated, exclusively, to try to clarify and oppose, some interpretations put in a later recent article [¹] that defends a proper integral to find the stubborn factor. In this way, we reaffirm the method of superposition of the ring field to discuss the field’s behavior through a uniformly charged spherical surface, trying to reach a consensus.

Keywords
electric field of rings; charged sphere; discontinuity

1. Introdução

Na intenção de esclarecer o comportamento do campo elétrico sobre e através da superfície de um condutor esférico com distribuição superficial de cargas (σ é considerado constante em qualquer situação mostrada ao longo da discussão deste texto), trazemos, motivados por um artigo muito recente publicado nesta revista por Lima [¹], um contraponto ao que esta referência tenta “demonstrar”, refutando os argumentos por nós colocados, em [²]. Na Ref. [¹], o autor conclui que, para um modelo de distribuição superficial de cargas:

O campo elétrico é então descontínuo na superfície de uma esfera condutora, saltando de 0 para σ/(2ε₀) quando passamos de pontos dentro da esfera para qualquer ponto em sua superfície, e então deste para σ/ε₀ para pontos imediatamente externos a esfera.¹

Indicando que o comportamento do valor campo elétrico através da superfície de um condutor é dado conforme a representação da Figura 1. Mostraremos, outra vez, que a regularização da integral imprópria encontrada, leva ao fator 1/2 que representa o campo gerado por todas as cargas na vizinhança P, excetuando-se a carga do elemento de superfície que encerra P. Isto não indica, em absoluto, que o comportamento do campo se dá como o representado na Figura 1.

Figura 1
Comportamento gráfico do campo elétrico em uma distribuição esférica superficial de cargas, segundo a Ref. [¹].

2. O Método da Superposição do Campo de Anéis

Embora não achemos que este procedimento seja o mais simples para a determinação destes resultados (a lei de Gauss é rápida e suficiente para nos mostrar o que vemos na Eq. (9) e a descontinuidade na superfície. Lembremo-nos de Occam e sua navalha!), a superposição do campo de anéis tem sido usada para a discussão do campo elétrico na superfície em alguns artigos recentes publicados na RBEF, são eles [¹, ², ³] e [⁴]. Desta forma, para efeito comparativo direto, ipsis litteris por Lima [¹], reproduziremos o ubíquo resultado do campo de um anel carregado com carga dQ, apoiado sobre uma esfera (Figura 2), gerando em um ponto da superfície um campo dado por:

Figura 2
Representação do anel de carga dQ uma esfera de raio R e o campo que ele produz ao longo do eixo de simetria no ponto P.

(1) $$d{E}_Z=k_0\frac{(R-z)}{{[r^2+{(R-z)}^2]}^{\frac{3}{2}}}dQ$$

Usando z = Rcos⁡θ e r = Rsenθ e dQ = σ(2πrRdθ),² encontra-se:

(2a) $$d{E}_Z=\frac{\pi }{\sqrt{2}}{k}_0\sigma \frac{sen\theta }{\sqrt{1-\cos \theta }}d\theta$$

ou

(2b) $$d{E}_Z=\frac{k_{0}dQ}{2R^2\sqrt{2(1-\cos \theta )}}$$

Tomando as identidades sen(θ) = 2sen(θ/2)cos⁡(θ/2) e sen²(θ/2) = (1−cos⁡θ)/2, tem-se:

(3a) $$d{E}_Z=\pi k_0\sigma \cos \left(\frac{\theta }{2}\right)d\theta$$

ou

(3b) $$d{E}_Z=\frac{k_{0}dQ}{4R^{2}sen\left(\frac{\theta }{2}\right)}$$

Agora, temos três grupos de equações para descrever o mesmo campo gerado por um anel carregado com carga dQ. Qual o campo dEz para r=0, z=R ou θ = 0? Nitidamente, as Equações (1) e (2) mostram que ele é indefinido neste ponto, o que o Lima também concorda [¹]. Então, quando passamos para a Equação (3), onde deveríamos obter o mesmo resultado, Lima diz que, agora, o campo é definido neste ponto. A descontinuidade/continuidade é um invariante topológico e as três equações devem e mostram o mesmo resultado. Uma mudança de variável não faz a função (campo) deixar de ser descontínua num ponto (z=R), e não fará dE_z ser definido neste ponto. A reinclusão do ponto representativo de z=R (ou θ = 0), feita pelo autor, mostra-se equivocada. Qualquer variação da Equação (1) ou integrações para a determinação do campo em P, devem valer em [−R,R) ou seu análogos, inclusive a Equação (3a).

Uma carga não gera campo nem força sobre ela mesma. Basta fazer r=0 e z=R na Eq. (1); e θ = 0 nas Eqs. (2a, 2b) e (3b). Na Equação (3a), a indefinição do campo fica obscurecida pela manipulação algébrica proposta, mas é facilmente vista quando dθ é trocado por uma expressão com dQ (i.e. dQ = 2πσR²senθdθ), conforme mostrado na Eq. (3b).

Para ratificar a argumentação acima, observe a Figura 3 e apliquemos a lei de Gauss sobre o elemento de superfície cilíndrico (pill box) para encontrar a conhecida equação da descontinuidade, aqui mostrada na Equação (4) encontrada na ampla literatura de nível superior (e.g. pág. 31 da Ref. [⁵]).

Figura 3
Descontinuidade da componente normal do campo elétrico através de uma superfície carregada.

(4) $$E_1^{\perp }-E_2^{\perp }=\frac{{\sigma }_{Local}}{{\epsilon }_0}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\frac{d{Q}_{Local}}{dA}$$

A descontinuidade em uma superfície carregada é uma função da carga local, ou melhor, da densidade de carga local. Se não há carga em um elemento de área da superfície não há descontinuidade através deste elemento. Tomando o bem conhecido livro de eletrodinâmica de David Griffith [⁶], veja a transcrição de um fragmento de texto da pág. 102, que reitera os argumentos acima.

Agora, o elemento de área não pode exercer uma força sobre ele mesmo, da mesma forma que você não pode erguer a si mesmo ficando em pé em um cesto e puxando as alças. A força no elemento, então, deve-se exclusivamente ao E_Outras, e este não sofre descontinuidade (se retirássemos o elemento, o campo no “buraco” seria perfeitamente suave/regular). A descontinuidade deve-se inteiramente à carga do elemento.³

Mesmo diante da argumentação de Griffith [⁶], um resultado ubíquo na literatura, o autor (em [¹]) afirma que a presença de uma carga elétrica (dQ) em um ponto não cria um campo infinito neste ponto e que o campo dela pode ser definido sobre ela mesma. Como argumento, usa o conhecido campo no interior de uma esfera uniformemente carregada (i.e. E(r) = (k|Q|/R³)r). Este é o campo da carga líquida contida no interior de uma superfície gaussiana (q_Gauss) de raio r, sobre esta superfície (i.e. k|q_Gauss|/r²). Este é um excelente resultado que mostra que, conforme em [²], se há uma distribuição volumétrica de cargas, em casca ou esfera, existe uma transição contínua do campo através desse volume até a superfície. Este resultado não mostra o campo de um elemento infinitesimal desta distribuição sobre ele mesmo.

Em outro trecho, Lima afirma que a Eq. (1) não apresenta uma singularidade não integrável em z=R (extensivo para as Eqs. (2) e (3)) sob o argumento de que o ponto P é encerrado por uma área nula e, portanto, não está associado a uma quantidade finita de carga, não podendo, assim, ser tratado como uma carga puntiforme. Se não houvesse carga em P:

• (i)

  a densidade local de cargas seria nula e não haveria descontinuidade alguma;

• (ii)

  se σ = 0 e dQ=0, as Equações (2a,2b e 3a,3b), obviamente, levariam ao valor E_P = 0, mostrando que este é um ponto “vazio” e esse elemento em nada influencia na superposição dos anéis. Em suma, o campo calculado em P só se deve ao restante das cargas, é dado por todas as cargas, menos a do anel de P;

• (iii)

  o campo evoluiria suavemente de dentro para fora (de 0 a 1 ou 0 a σ/ε₀), passando por infinitos valores e até mesmo por 1/2 na superfície, mas, de forma alguma, seria descontínuo ou representado pelo gráfico da Figura 1, defendido pelo Teorema encontrado em [¹]. (Vide transcrição do Griffith acima);

• (iv)

  não haveria força radial para fora sobre o elemento de superfície em P nem sobre qualquer outro elemento da superfície da esfera⁴ ;

• (v)

  não haveria pressão eletrostática alguma sobre a superfície da esfera.⁵

Sendo assim, existe sim um elemento de carga não nulo em ambos os anéis diametralmente opostos da esfera (em z = ±R) dados, justamente, por dQ = σdA (para que σ seja constante, finito e diferente de zero, dQ e dA são não nulos). Contudo, para mostrar que este elemento de carga se comporta como uma carga puntiforme, façamos r=0 e d = R−z na Eq. (1), encontrando a expressão para o campo de uma carga puntiforme a uma distância “d” não nula da mesma e que não está definido em d=0 (ou z=R).

(5a) $$d{E}_Z=\frac{k_{0}dQ}{d^2}$$

Em um caso particular de um ponto sobre a esfera, podemos fazer z = −R na Eq. (1); e θ = π nas Eqs. (2b) e (3b), encontrando, em todas,

(5b) $$d{E}_Z=\frac{k_{0}dQ}{4R^2}$$

Esta é a expressão do campo de uma carga puntiforme dQ a uma distância 2R da mesma. Obviamente, isto ocorre pois d = 2R≫Rdθ. Ao nos aproximarmos muito do elemento de carga dQ, que ocupa a superfície dA em z=R, ele irá se comportar como um pequeno disco carregado, gerando em pontos próximos à sua face um campo de módulo $\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$ para dentro e para fora da esfera. Não estamos dizendo que o campo do disco é infinito, estamos dizendo que este pequeno disco gera campos com valores finitos e sentidos opostos em suas faces $\left(\pm \frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\right)$ e que o campo não está definido sobre a superfície, sobre o próprio disco, onde d=0 ou z=R. Então, o restante das cargas deve gerar um campo em P $\left(+\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\right)$ de dentro para fora (é aí que está o recalcitrante fator 1/2), de modo a fazer com que o campo interno seja nulo e o externo seja $\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$. Mais adiante, como já feito em [²], mostraremos como se comporta o campo quando “viajamos” através de um orifício na esfera, tal qual através do ponto P quando se retira a carga dQ.Passaremos por 1/2 e não saltaremos para ele.

3. A Integração

Admitindo-se, como dito por Jackson [⁵], Griffith [⁶], Purcell [⁷], etc., que o campo é descontínuo na superfície de um condutor com distribuição superficial de cargas, no caso da geometria esférica e com o método da superposição de anéis, a superposição de todos os anéis sobre a esfera gera uma singularidade não integrável em pontos da superfície. Assim, para regularizar a integral, exclui-se o ponto do domínio em que há descontinuidade (em que o integrando diverge) e procede-se com o limite de aproximação de P. Método já mostrado e bem fundamentado em [², ³] e [⁴]. Para generalizar, considere dE_z função de uma variável qualquer (e.g. dE_z = f(w)), com descontinuidade em w=a (f(a) é indefinido). O procedimento bem conhecido de regularização da integral impropria é:

(6) $${\int }_a^{b}f(w)\mathit{d}w=\underset{k\to a}{lim}{\int }_k^{b}f(w)\mathit{d}w$$

Desta forma, os procedimentos de integração associados às Eqs. (1–3), retirando-se um elemento infinitesimal de carga (dq) da superfície, levariam ao mesmo fator 1/2. Isto é, o campo gerado por todas as cargas da vizinhança de P (E_Q–dq), excluindo-se a carga deste elemento de superfície seria radial para fora e dado por:

(7) $${E_{Q-dq}|}_{z=R}=\frac{1}{2}{k}_0\frac{Q}{R^2}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$$

Onde Q é a carga total da esfera. Este campo, ao se superpor ao campo do elemento de superfície em z=R, zera o campo no interior, faz o campo ser $\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$ em pontos externos muito próximos da esfera e cria descontinuidade em z=R.

Com todo o rigor matemático, na Ref. [²] é mostrada uma expressão para o cálculo do campo de “todos” os anéis em um ponto qualquer do diâmetro da esfera e não só na superfície. A equação na forma dimensional é mostrada a seguir na Equação (8). O eixo de simetria foi tomado no eixo z para efeito comparativo com [¹].

(8) $$E(z)=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\frac{R}{z}\left[\frac{-R+z}{\sqrt{{(-R+z)}^2}}+1\right],z\ne \pm R$$

A descontinuidade no valor do campo pode ser rigorosamente obtida quando se faz o limite de E(z) com z tendendo a R pela direita e pela esquerda, além de que, E(R) é indefinido, a função E(z), como esperado, apresenta uma descontinuidade na superfície, conforme mostra a Figura 4. Na Figura 5, coloca-se o conhecido gráfico do potencial elétrico com destaque para a não diferenciação do mesmo com respeito a z, em z=R, ratificando a descontinuidade do campo.

Figura 4
Descontinuidade do campo elétrico na superfície do condutor esférico.

Figura 5
Gráfico de V(z) com destaque para o fato de que esta função é NÃO derivável em z=R (superfície).

(9) $$\{\begin{array}{c}\underset{z\to R^{-}}{lim}E(z)=0\hfill \\ \underset{z\to R^{+}}{lim}E(z)=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}\hfill \end{array}$$

Agora, se retirarmos o elemento de carga do elemento de área onde se encontra P, conforme as palavras citadas de David Griffith [⁶], o campo deve evoluir suavemente entre seus notórios valores de “0” no interior da esfera até “$\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$” em pontos justapostos à sua superfície. Para verificar este comportamento, em [²], o procedimento de retirada do elemento de carga é feito através da alteração do limite de integração, tal qual feito nas demais referências associadas, levando ao seguinte resultado:

(10) $$E(z,\xi )=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\frac{R}{z}\left(1+\frac{-R+zcos(\xi )}{\sqrt{R^2+z^2-2Rzcos(\xi )}}\right)$$

Esta equação mostra que quando ξ→0, o campo neste pequeno orifício é “$\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$” e que não há, de fato, descontinuidade alguma entre pontos internos e externos. Os limites laterais são absolutamente iguais e também assumem este valor. Vide Eq. (11).

(11) $$\underset{\xi \to 0}{lim}E(z\to R^{+,-},\xi )=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$$

Para mostrar a transição do campo através do orifício e a confirmação da não descontinuidade, observe a Figura 6 que mostra a plotagem de três gráficos representativo da Eq. (10), com ξ = 10⁻⁷ rad em três escalas diferentes.

Figura 6
Gráficos que mostram a evolução do campo através do elemento de área carregado retirado da superfície do condutor no ponto P.

Estes gráficos, com escalas horizontais diferentes, mostram a evolução do campo quando “viajamos” através do orifício de onde foi retirada a carga da superfície para eliminar a descontinuidade do campo. Ao ponto que nos afastamos da esfera, vemos uma transição súbita do valor do campo e, quando próximos, vemos que, de fato, o campo evolui suavemente através desse, mostrando mais uma vez que, em se retirando o elemento de superfície, a descontinuidade não mais existe. Não obstante, como o campo é contínuo em todo o domínio e sabendo que $E(z)=-\frac{\partial V}{\partial z}$ mostra-se, na Figura 7, o comportamento do potencial elétrico ao longo do eixo z, com destaque para pontos muito próximos de z=R, de onde foi retirado o elemento de carga e por onde transita-se através do “buraco”. Este destaque mostra que V(z) está longe de estar associado à transição do campo sugerida em [¹] e representada no gráfico da Fig. 1. Sugere-se, enfim, que o leitor se indague: como seria o comportamento do potencial se a transição do campo fosse, de fato, como mostrada na Fig. 1?

Figura 7
Comportamento do potencial elétrico em função da posição, ao longo de uma direção radial com destaque para a transição entre pontos internos e externos próximos do “buraco” deixado pela retirada do elemento de carga dq.

4. Conclusões

Após análise da metodologia adotada por [¹], observamos que o uso da superposição de anéis para a determinação do campo elétrico em um ponto da superfície carregada de um condutor esférico apresenta um nítida descontinuidade em z=R, evidenciada, exatamente, a partir da fórmula clássica do campo elétrico gerado por um anel em pontos do eixo de simetria do mesmo, Eq. (1). O campo não deixa de ser descontínuo neste ponto (z=R ou θ = 0), nem a função não passa a ser integrável nele, por uma mudança de variável. A descontinuidade tem invariância topológica. Todas as Equações advindas de (1) devem ser aplicáveis em todos os pontos do domínio, excetuando-se z=R, inclusive a Equação (3a), através da qual Lima [¹] afirma que o ponto pode ser reincluído e que leva ao suposto salto de E=0 até $E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$ e deste para $E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$. Sendo assim, os limites de integração associados às Equações (1–3) devem ser [−R,R) e (0,π]. Ainda, conforme o próprio autor, a retirada deste ponto do domínio não afeta o valor da integração e leva ao mesmo fator 1/2 (associado ao Valor Principal de Cauchy para integrais impróprias) mas, não faz o campo variar de acordo com a Fig. 1. O campo transitaria suavemente de E=0 a $E=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$ através do orifício deixado em P, conforme dito por [⁶] e demonstrado por [²] com a Eq. (10) e a representação gráfica na Fig. 5. Isto não é nada além de estarmos dizendo que a descontinuidade do campo elétrico em uma superfície carregada é dada, exclusivamente pela carga presente no elemento de superfície, pela densidade de cargas local. Excluindo-se este elemento, não há mais descontinuidade, conforme ratificado pela famosa Ref. [⁵].

Por fim, se o modelo adotado é o de uma distribuição superficial esférica de cargas, o gráfico representativo é o da Figura 4 e sugere-se:

“Para qualquer esfera condutora de raio R e densidade superficial σ, em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é descontinuo em pontos de sua superfície, nulo em seu interior e $\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}$ para pontos da superfície externa quando, então, cai com a lei do inverso do quadrado da distância ao centro da esfera.”

REFERÊNCIAS

• ^1.
  F.M.S. Lima, Rev. Bras. Ensino Fís. 42, e20200182 (2020)
• ^2.
  G.E. Assad, Rev. Bras. Ens. Fís. 42, e20190245 (2020)
• ^3.
  K. Slodkowski, M.C. Pinheiro e T.C. Luchese, Rev. Bras. Ensino Fís.40, e2311 (2018).
• ^4.
  F.M.S. Lima, Resonance 23, 1215 (2018)
• ^5.
  J.D. Jackson, Classical Electrodynamics: (Wiley, NewYork, 1998), 3rd ed., p. 31.
• ^6.
  D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice Hall, Upper Saddle River-NJ, 1999), p. 102.
• ^7.
  E.M. Purcell e D. J. Morin, Electricity and Magnetism: 3rd , ed. (Cambridge University Press, New York, 2013), v. 2.

• 1
  Texto traduzido para a língua portuguesa.
• 2
  O elemento de carga pode ser escrito, sem perda de generalidade, por dQ = 2πσR²senθdθ.
• 3
  Texto traduzido para a língua portuguesa.
• 4
  A força elétrica sobre a superfície (dF = σdQ/2ε₀) pode ser vista na página 30 da Ref. [⁷].
• 5
  Se tomarmos a expressão da nota de rodapé anterior e substituirmos dQ por σdA, encontramos a força por unidade de área ou a pressão eletrostática (dF/dA = p = σ₂/2ε₀) que pode ser vista na Ref. [⁶] ou na página 32 da Ref. [⁷], inclusive com um cálculo de um valor típico de 3, 6.10⁻⁴ N/m².

Datas de Publicação

• Publicação nesta coleção
  29 Jan 2021
• Data do Fascículo
  2021

Histórico

• Recebido
  03 Nov 2020
• Aceito
  15 Dez 2020