Estimando a aceleração da expansão do Universo com o SimECosmo

Pereira Raymundo, Iuri Baranov; Baraúna Ferreira, Luan Orion de Oliveira; Wolney Mello1, Matheus Monteiro; Pigozzo, Cássio

doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2022-0143

Iuri Baranov Pereira Raymundo ^** Endereço de correspondência: iuribaranov@ifba.edu.br

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia, Salvador, BA, Brasil.

http://orcid.org/0000-0003-4681-3042

Luan Orion de Oliveira Baraúna Ferreira

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, SP, Brasil.

http://orcid.org/0000-0002-5214-2399

Matheus Monteiro Wolney Mello1

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia da Bahia, Salvador, BA, Brasil.

Cássio Pigozzo

Universidade Federal da Bahia, Salvador, BA, Brasil.

http://orcid.org/0000-0001-9986-4914

* Endereço de correspondência: iuribaranov@ifba.edu.br

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Figura 1
Evolução do módulo de distância em função do redshift descrito pela equação () para diferentes valores de Ω_m0. Adotamos como modelo um universo espacialmente plano composto por matéria e constante cosmológica.

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Figura 2
Exemplo de uma distribuição de densidade de probabilidade para o parâmetro de Hubble, H₀. O máximo dessa distribuição está em

72.0

km/s/Mpc, o que seria o respectivo valor de melhor ajuste. A região branca (não hachurada) representa a região de

1 σ

de confiança, ou seja, uma probabilidade acumulada de

68.4 %

do valor real estar contido ali.

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Figura 3
Os gráficos acima representam as curvas geradas pelo SimECosmo com os parâmetros de melhor ajuste descritos nas Tabelas e .

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Figura 4
Gráfico de

q (z)

gerado pelo SimECosmo com o melhor ajuste para o modelo com curvatura para os dados do Pantheon.

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Tabela 1
Idade do Universo.

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Tabela 2
Melhor ajuste e intervalos de credibilidade para os modelos cosmológicos estudados utilizando as Cadeias de Markov Monte Carlo para o pacote de dados Union 2.1. Duas análises foram realizadas, onde na primeira utilizamos como parâmetro livre Ω_m0 de forma que

Ω_{Λ 0} = 1 - Ω_{m 0}

e na segunda utilizando como parâmetros livres Ω_m0 e Ω_k0, com

Ω_{Λ 0} = 1 - Ω_{m 0} - Ω_{κ 0}

. O best-fit se refere ao conjunto de valores dos parâmetros para o qual se obtém a máxima verossimilhança, ou, equivalentemente nestas análises,

χ_{m i n}^{2}

. O valor médio (VM) e os intervalos de credibilidade de 68% e 95% estão apresentados nas linhas abaixo do best-fit para cada modelo e pacote de dados de Supernova. Desvios entre os valores de best-fit e VM sugerem distribuição de densidade de probabilidade assimétrica.

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Tabela 3
Melhor ajuste e intervalos de credibilidade para os modelos cosmológicos estudados utilizando as Cadeias de Markov Monte Carlo para o pacote de dados Pantheon. Duas análises foram realizadas, onde na primeira utilizamos como parâmetro livre Ω_m0 de forma que

Ω_{Λ 0} = 1 - Ω_{m 0}

e na segunda utilizando como parâmetros livres Ω_m0 e Ω_κ0, com

Ω_{Λ 0} = 1 - Ω_{m 0} - Ω_{κ 0}

. O best-fit se refere ao conjunto de valores dos parâmetros para o qual se obtém a máxima verossimilhança, ou, equivalentemente nestas análises,

χ_{m i n}^{2}

. O valor médio (VM) e os intervalos de credibilidade de 68% e 95% estão apresentados nas linhas abaixo do best-fit para cada modelo e pacote de dados de Supernova. Desvios entre os valores de best-fit e VM sugerem distribuição de densidade de probabilidade assimétrica.

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Modelo	Idade (bilhões de anos)
Einstein-de Sitter	9.3
$Λ$ CDM plano	13.5

		Union 2.1
		Universo Plano	Universo Curvo
	best-fit	$70.005$	69.989
H₀ (km/s/Mpc)	$V M \pm 1 σ$	$70.00 \pm 0.33$	$69.98 \pm 0.43$
	$V M \pm 2 σ$	$70.00 \pm 0.65$	${69.98}_{- 0.87}^{+ 0.82}$
	best-fit	$0.277$	0.2765
$Ω_{0}$	$V M \pm 1 σ$	$0.278 \pm 0.019$	$0.274 \pm 0.069$
	$V M \pm 2 σ$	${0.278}_{- 0.036}^{+ 0.038}$	${0.274}_{- 0.139}^{+ 0.132}$
	best-fit	0	0.0049
Ω ₀	$V M \pm 1 σ$	0	$0.01 \pm 0.18$
	$V M \pm 2 σ$	0	${0.01}_{- 0.34}^{+ 0.37}$
	best-fit	$- 0.5834$	$-$ 0.5803
q ₀	$V M \pm 1 σ$	$- 0.583 \pm 0.028$	$- 0.578 \pm 0.085$
	$V M \pm 2 σ$	$- {0.583}_{- 0.055}^{+ 0.058}$	$- {0.578}_{- 0.162}^{+ 0.174}$
	best-fit	$562.22$	562.23
$χ^{2}$	$V M \pm 1 σ$	$564.13 \pm 1.93$	$565.18 \pm 2.40$
	$V M \pm 2 σ$	${564.13}_{- 2.19}^{+ 4.12}$	${565.18}_{- 3.24}^{+ 5.00}$

		Pantheon
		Universo Plano	Universo Curvo
H₀ (km/s/Mpc)	best-fit	$73.296$	73.394
$V M \pm 1 σ$	$73.28 \pm 0.36$	$73.37 \pm 0.46$
$V M \pm 2 σ$	${73.28}_{- 0.70}^{+ 0.73}$	${73.37}_{- 0.91}^{+ 0.89}$
$Ω_{0}$	best-fit	$0.2977$	0.3283
$V M \pm 1 σ$	$0.299 \pm 0.022$	$0.319 \pm 0.069$
$V M \pm 2 σ$	${0.299}_{- 0.043}^{+ 0.044}$	${0.319}_{- 0.138}^{+ 0.134}$
Ω _κ0	best-fit	0	$-$ 0.077
$V M \pm 1 σ$	0	$- {0.05}_{- 0.18}^{+ 0.16}$
$V M \pm 2 σ$	0	$- {0.05}_{- 0.33}^{+ 0.36}$
q ₀	best-fit	$- 0.553$	$-$ 0.5845
$V M \pm 1 σ$	$- 0.551 \pm 0.033$	$- {0.575}_{- 0.087}^{+ 0.076}$
$V M \pm 2 σ$	$- {0.551}_{- 0.064}^{+ 0.066}$	$- {0.575}_{- 0.153}^{+ 0.170}$
$χ^{2}$	best-fit	1026.86	1026.72
$V M \pm 1 σ$	$1028.89 \pm 2.03$	$1029.69 \pm 2.40$
$V M \pm 2 σ$	${1028.89}_{- 2.33}^{+ 4.17}$	${1029.69}_{- 3.29}^{+ 4.97}$

q (z) \equiv - \frac{\ddot{a}}{a H^{2}}

= \frac{1}{2} [\frac{Ω_{m 0} {(1 + z)}^{3} - 2 Ω_{Λ 0}}{\begin{matrix} Ω_{m 0} {(1 + z)}^{3} + Ω_{Λ 0} \\ + (1 - Ω_{m 0} - Ω_{Λ 0}) {(1 + z)}^{2} \end{matrix}}],

d_{L} (z) = \frac{c}{H_{0} \sqrt{Ω_{κ}}} (1 + z) senh [H_{0} \sqrt{Ω_{κ}} \int_{0}^{z} \frac{d z^{'}}{H (z^{'})}] .

C_{i j} = [\begin{matrix} σ_{11} & σ_{12} & \dots & σ_{1 j} \\ σ_{21} & σ_{22} & \dots & σ_{2 j} \\ ⠇ & ⠇ & ⋱ & ⠇ \\ σ_{i 1} & σ_{i 2} & \dots & σ_{i j} \end{matrix}] .

d_{p} (t) = \int \sqrt{- d s^{2}} = a (t) \int_{0}^{r} \frac{d r^{'}}{\sqrt{1 - κ r^{', 2}}} = a (t) d_{c},

r_{κ} (t_{0}) = \frac{1}{\sqrt{- κ}} senh (\frac{c \sqrt{- κ}}{a_{0}} \int_{0}^{z} \frac{d z^{'}}{H (z^{'})});

d_{L} (z) = \frac{a_{0} (1 + z)}{\sqrt{- κ}} senh (\frac{c \sqrt{- κ}}{a_{0}} \int_{0}^{z} \frac{d z^{'}}{H (z^{'})}) .

d_{L} (z) = a_{0} (1 + z) lim_{\sqrt{- κ} \to 0}

\times [\frac{1}{\sqrt{- κ}} senh (\frac{c \sqrt{- κ}}{a_{0}} \int_{0}^{z} \frac{d z^{'}}{H (z^{'})})] .

d_{L} (z) = a_{0} (1 + z) lim_{\sqrt{- κ} \to 0} [\cosh (\frac{c \sqrt{- κ}}{a_{0}} \int_{0}^{z} \frac{d z^{'}}{H (z^{'})})

\cdot \frac{c}{a_{0}} \int_{0}^{z} \frac{d z^{'}}{H (z^{'})}];

d_{L} (z) = {\begin{matrix} \frac{c (1 + z)}{H_{0} \sqrt{- Ω_{κ 0}}} sen & para κ = + 1 \\ \times (H_{0} \sqrt{- Ω_{κ 0}} \int_{0}^{z} \frac{d z^{'}}{H (z^{'})}) \\ c (1 + z) \int_{0}^{z} \frac{d z^{'}}{H (z^{'})} & para κ = 0 \\ \frac{c (1 + z)}{H_{0} \sqrt{Ω_{κ 0}}} senh & para κ = - 1 . \\ \times (H_{0} \sqrt{Ω_{κ 0}} \int_{0}^{z} \frac{d z^{'}}{H (z^{'})}) \end{matrix}

[1] * Endereço de correspondência: iuribaranov@ifba.edu.br

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Estimando a aceleração da expansão do Universo com o SimECosmo

Constraining the acceleration of the expanding Universe with SimECosmo