The electron gas degeneracy and its importance in Astrophysics

We present an elementary discussion of the quantum regime of an electron gas and its applications in Stellar Evolution, with the ideia of contributing to a more physical approach to this important state of matter in the first years of Science careers.

Keywords:
Electron gas; stars; hydrostatic equilibrium

Authorship

J.E. Horvath ^** Endereço de correspondência: foton@iag.usp.br

Universidade de São Paulo, Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas, Departamento de Astronomia, São Paulo, SP, Brasil.Universidade de São PauloBrasilSão Paulo, SP, BrasilUniversidade de São Paulo, Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas, Departamento de Astronomia, São Paulo, SP, Brasil.

http://orcid.org/0000-0003-4089-3440

* Endereço de correspondência: foton@iag.usp.br

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Formulas (8)

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Figure 1
A distribuição de densidade no interior do Sol hoje. A densidade central é de umas 160 vezes a média, e aumenta conforme o Sol envelhece porque o hélio inerte vai se acumulando, mas a pressão exercida precisa manter o equilíbrio hidrostático. Quando as reações nucleares ficam impossíveis (limite de Schoenberg-Chandrasekhar), a estrela sai da Sequência Principal e seu núcleo se contrai, aumentando ainda mais a densidade. Assim, a densidade central

ρ_{C}

cresce com o tempo, e a região central pode entrar no regime quântico.

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Figure 2
a) Um gás qualquer (no caso, o carbono) mantém as nuvens eletrônicas separadas se a densidade for da ordem de

\sim 1 g c m^{- 3}

; mas quando a densidade aumenta por causa da evolução da estrela, é possível que as nuvens entrem em contato, como mostrado em (b), e os elétrons mostrem sua natureza quântica.

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Figure 3
A plataforma do trem nas horas de pico como analogia da distribuição de elétrons no regime quântico, vide texto.

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Figure 4
Um caroço estelar em contração pode ser detido pela degenerescência eletrônica se sua evolução o leva a intersectar a curva preta que delimita a “região proibida”. Este é o caso do caroço de massa M₁ quando chega no ponto marcado com o quadrado. Porém, se a massa for maior, a degenerescência dos elétrons não joga nenhum papel, e o caroço pode se equilibrar com a pressão do gás perfeito (caso do M₂) já que quando a densidade é muito alta, os elétrons ficam relativísticos, a inclinação diminui e as curvas ficam paralelas, ou seja, a condição de equilíbrio hidrostático não têm mais solução. A cruz preta marca a última massa onde é possível o equilíbrio da gravitação com o gás de elétrons degenerado, precisamente a famosa “massa de Chandrasekhar”.

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Figure 5
As soluções da equação de equilíbrio hidrostático utilizando um gás de elétrons não relativístico (azul) são válidas até

0.5 M_{⊙}

aproximadamente. Para massas maiores, o limite ultra-relativístico é o mais adequado. A massa de Chandrasekhar onde as soluções deixam de existir é a linha pontilhada vertical vermelha [²[2] J.E. Horvath, Rev. Bras. Ensino Fís. 35, 4501(2013).].

(1)

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(4)

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(8)

Figure 1 A distribuição de densidade no interior do Sol hoje. A densidade central é de umas 160 vezes a média, e aumenta conforme o Sol envelhece porque o hélio inerte vai se acumulando, mas a pressão exercida precisa manter o equilíbrio hidrostático. Quando as reações nucleares ficam impossíveis (limite de Schoenberg-Chandrasekhar), a estrela sai da Sequência Principal e seu núcleo se contrai, aumentando ainda mais a densidade. Assim, a densidade central $ρ_{C}$ cresce com o tempo, e a região central pode entrar no regime quântico.

Figure 2 a) Um gás qualquer (no caso, o carbono) mantém as nuvens eletrônicas separadas se a densidade for da ordem de $\sim 1 g c m^{- 3}$ ; mas quando a densidade aumenta por causa da evolução da estrela, é possível que as nuvens entrem em contato, como mostrado em (b), e os elétrons mostrem sua natureza quântica.

Figure 3 A plataforma do trem nas horas de pico como analogia da distribuição de elétrons no regime quântico, vide texto.

Figure 4 Um caroço estelar em contração pode ser detido pela degenerescência eletrônica se sua evolução o leva a intersectar a curva preta que delimita a “região proibida”. Este é o caso do caroço de massa M₁ quando chega no ponto marcado com o quadrado. Porém, se a massa for maior, a degenerescência dos elétrons não joga nenhum papel, e o caroço pode se equilibrar com a pressão do gás perfeito (caso do M₂) já que quando a densidade é muito alta, os elétrons ficam relativísticos, a inclinação diminui e as curvas ficam paralelas, ou seja, a condição de equilíbrio hidrostático não têm mais solução. A cruz preta marca a última massa onde é possível o equilíbrio da gravitação com o gás de elétrons degenerado, precisamente a famosa “massa de Chandrasekhar”.

Figure 5 As soluções da equação de equilíbrio hidrostático utilizando um gás de elétrons não relativístico (azul) são válidas até $0.5 M_{⊙}$ aproximadamente. Para massas maiores, o limite ultra-relativístico é o mais adequado. A massa de Chandrasekhar onde as soluções deixam de existir é a linha pontilhada vertical vermelha [²[2] J.E. Horvath, Rev. Bras. Ensino Fís. 35, 4501(2013).].

(1)

Δ p \geq \frac{ℏ}{Δ x} \sim \frac{ℏ N^{1 / 3}}{V^{1 / 3}} .

(2)

⟨ E_{K} ⟩ = \frac{Δ p^{2}}{2 m} \sim \frac{ℏ^{2} N^{2 / 3}}{V^{2 / 3} m} .

(3)

U = N ⟨ E_{K} ⟩ \sim \frac{ℏ^{2} N^{5 / 3}}{V^{2 / 3} m} .

(4)

P_{e} = k \frac{ℏ^{2} N^{5 / 3}}{V^{5 / 3} m},

(5)

\frac{d P}{d r} = - \frac{G m ρ}{r^{2}},

(6)

E_{grav} = - \frac{3}{5} {(\frac{4 π}{3})}^{1 / 3} \frac{G M^{2}}{V^{1 / 3}},

(7)

P_{grav} \equiv - \frac{\partial E_{grav}}{\partial V} = C M^{2 / 3} ρ^{4 / 3},

(8)

P_{grav} = 2.6 \times 10^{33} {(\frac{M}{M_{⊙}})}^{2 / 3} {(\frac{ρ}{ρ_{0}})}^{4 / 3} \frac{e r g}{c m^{3}} .

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Sociedade Brasileira de Física Caixa Postal 66328, 05389-970 São Paulo SP - Brazil - São Paulo - SP - Brazil
E-mail: marcio@sbfisica.org.br

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[1] * Endereço de correspondência: foton@iag.usp.br