A note on mathematical modeling for loading boxes into containers
						while considering cargo stability

Yamashita, Denise Sato; Morabito, Reinaldo

doi:10.1590/S0103-65132013005000041

Denise Sato Yamashita

denisesy@dep.ufscar.br, UFSCar, Brasil

Reinaldo Morabito ^**UFSCar, São Carlos, SP, Brasil

morabito@ufscar.br, UFSCar, Brasil

*UFSCar, São Carlos, SP, Brasil

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Figura 1.
Caixas empacotadas com base completamente apoiada.

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Figura 2.
Exemplo de posicionamento de uma caixa do tipo i dentro de um contêiner nas coordenadas (p,q,r).

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Figura 3.
Posição relativa entre duas caixas em um contêiner (estabilidade vertical).

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Figura 4.
Área de contato entre duas caixas no plano xy (estabilidade vertical - em relação ao eixo Z).

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Figura 5.
Pontos dos 4 cantos da base de uma caixa (a) e 4 bordas da base de uma caixa (b).

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Figura 6.
(a) Exemplo de posicionamento da base de uma caixa dentro de um contêiner 10 × 10 × 10 no plano xy; (b) Coordenadas dos pontos de apoio

(\bar{p}, \bar{q})

da caixa i, V_i = {(1,1), (3,1), (1,3), (3,3)}.

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Figura 5.
Pontos dos 4 cantos da base de uma caixa (a) e 4 bordas da base de uma caixa (b).

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Figura 6.
(a) Exemplo de posicionamento da base de uma caixa dentro de um contêiner 10 × 10 × 10 no plano xy; (b) Coordenadas dos pontos de apoio

(\bar{p}, \bar{q})

da caixa i, V_i = {(1,1), (3,1), (1,3), (3,3)}.

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Figura 7.
Problema da resolvido com o modelo MEV com fator de estabilidade e percentual do volume ocupado (VO) iguais a: (a) α=1 e VO=72,6%, (b) α=0,9 e VO=74,49%, (c) α=0,8 e VO=74,69%, (d) α=0,7 e VO=79,11%.

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Figura 8.
Problema da resolvido com o modelo MEVE apoiando os quatro cantos da base da caixas; volume ocupado no contêiner foi de 74,88%.

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Figura 9.
>Exemplo 1 da , resolvido sem estabilidade – 27 caixas (a) e com o modelo MEVE apoiando os quatro cantos da base da caixas – 25 caixas (b).

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Figura 10.
Exemplo 2 da , resolvido sem estabilidade – 27 caixas (a) e com o modelo MEVE apoiando os quatro cantos da base da caixas – 25 caixas (b).

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Figura 11.
Exemplo 3 da , resolvido sem estabilidade – 29 caixas (a) e com o modelo MEVE apoiando os quatro cantos da base da caixas – 28 caixas (b).

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Tabela 1.
Comparação entre problemas teste resolvidos com e sem combinações cônicas para problemas do grupo A.

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Tabela 2.
Resultados computacionais para problemas teste com contêineres de tamanho (L, W, H) =(10,10,10).

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Tabela 3.
Resultados computacionais para problemas teste com contêineres de tamanho (L, W, H)=(20,20,20).

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Tabela 4.
Resultados computacionais para problemas teste com contêineres de tamanho (L, W, H)=(30,30,30).

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Tabela 5.
Dados referentes ao problema teste da .

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Tabela 6.
Comparação das soluções para os três exemplos de Lins, Lins e Morabito (2002)LINS, L.; LINS, S.; MORABITO, R. An n-tet graph approach for non-guillotine packings of n-dimensional boxes into an n-container. European Journal of Operational Research, v. 141, p. 421-439, 2002. http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00135-2
http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)... e Junqueira (2009)JUNQUEIRA, L. Modelos de programação matemática para problemas de carregamento de caixas dentro de contêineres. 2009. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção)-Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2009..

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	Com combinações cônicas				Sem combinações cônicas
(L,W,H)	Num. prob. resolvidos	Tempo médio (s)	Tempo máximo (s)	Tempo mínimo (s)	Num. prob. resolvidos	Tempo médio (s)	Tempo máximo (s)	Tempo mínimo (s)
(10,10,10)	10	9,01	47,1	0,14	10	39,06	307,21	0,46
(20,20,20)	10	1,34	6,65	0,06	9	386,13	1.643,14	5,53

Grupo		Modelos	Num. sol. < 3.600 s	Tempo médio (s)	Tempo máximo (s)	Tempo mínimo (s)	Volume ocupado (%)
A	MEV	α = 1,0	10	50,99	228,43	0,21	94,98
		α = 0,9	10	54,31	240,75	0,21	94,98
		α = 0,8	10	58,65	246,97	0,25	95,17
		α = 0,7	10	28,71	194,76	0,22	95,52
	MEVE	Cantos	10	22,98	170,83	0,20	94,98
	MEVE	Bordas	10	9,00	47,10	0,14	94,98
B	MEV	α = 1,0	10	116,29	540,31	6,90	99,54
		α = 0,9	10	58,65	133,76	2,76	99,54
		α = 0,8	10	78,18	260,11	3,45	99,54
		α = 0,7	10	70,43	4,21	168,31	99,54
	MEVE	Cantos	10	21,44	84,03	1,26	99,54
	MEVE	Bordas	10	9,00	24,62	0,98	99,54

Grupo	Modelos		Num. sol. < 3.600 s	Num. sol. > 3.600 s	Desvio (%)	Tempo médio (s)	Tempo máximo (s)	Tempo mínimo (s)	Volume ocupado (%)
A	MEV	α = 1,0	10	0	0,00	1,16	7,13	0,07	75,78
		α = 0,9	10	0	0,00	3,18	19,68	0,10	75,78
		α = 0,8	10	0	0,00	0,85	4,60	0,10	76,54
		α = 0,7	10	0	0,00	5,59	49,56	0,07	76,62
	MEVE	Cantos	10	0	0,00	1,17	6,85	0,12	75,78
	MEVE	Bordas	10	0	0,00	1,34	6,65	0,06	75,78
B	MEV	α = 1,0	0	6	4,44	-	-	-	91,35
		α = 0,9	0	6	6,58	-	-	-	89,57
		α = 0,8	0	6	4,51	-	-	-	91,31
		α = 0,7	0	6	4,59	-	-	-	91,25
	MEVE	Cantos	0	8	5,36	-	-	-	91,22
	MEVE	Bordas	0	6	2,58	-	-	-	92,28

Grupo	Modelo		Num. sol. < 3.600 s	Num. sol. > 3.600 s	Desvio (%)	Tempo médio (s)	Tempo máximo (s)	Tempo mínimo (s)	Volume ocupado (%)
A	MEV	α = 1,0	10	0	00,00	1,80	11,61	0,10	70,97
		α = 0,9	10	0	00,00	2,08	13,70	0,11	71,16
		α = 0,8	10	0	00,00	2,81	22,04	0,10	71,82
		α = 0,7	10	0	00,00	0,89	02,75	0,12	73,59
	MEVE	Cantos	10	0	00,00	0,91	03,05	0,07	71,53
	MEVE	Bordas	10	0	00,00	1,06	05,10	0,14	70,97
B	MEV	α = 1,0	1	2	51,63	1.876,34	1.876,34	1.876,34	73,80
		α = 0,9	0	3	5,16	-	-	-	87,01
		α = 0,8	1	2	8,85	664,68	664,68	664,68	86,75
		α = 0,7	1	1	7,54	1.099,25	1.099,25	1.099,25	89,55
	MEVE	Cantos	1	2	8,15	815,47	815,47	815,47	86,71
	MEVE	Bordas	1	2	5,87	82,99	82,99	82,99	87,71

i	l_i	w_i	h_i	b_i	v_i
1	21	13	20	01	0,2020
2	20	08	12	04	0,0711
3	21	22	16	01	0,2740
4	14	13	09	11	0,0607
5	12	11	12	05	0,0587

Ex.	Sol. Lins, Lins e Morabito (2002)LINS, L.; LINS, S.; MORABITO, R. An n-tet graph approach for non-guillotine packings of n-dimensional boxes into an n-container. European Journal of Operational Research, v. 141, p. 421-439, 2002. http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)00135-2 http://dx.doi.org/10.1016/S0377-2217(02)...	Sol. Junqueira (2009)JUNQUEIRA, L. Modelos de programação matemática para problemas de carregamento de caixas dentro de contêineres. 2009. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção)-Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2009.	MEV 100% estabilidade			MEV Cantos			MEV Bordas
	Num. caixas	Num. caixas	Num. caixas	Tempo (s)	Dev. (%)	Num. caixas	Tempo (s)	Dev. (%)	Num. caixas	Tempo (s)	Dev. (%)
1	26	27	23	3.600	14,81	25	1.030,4	0	25	937,1	0,00
2	26	27	22	3.600	18,51	25	3.008,3	0	24	3.600,0	5,25
3	29	29	28	3.600	5,04	28	745,8	0	28	26,7	0,00

\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{{p \in X_{i} | S - I_{i} + 1 \leq p \leq S}} \sum_{{q \in Y_{i} | t - W_{i} + 1 \leq q \leq t}} \sum_{{r \in Z_{i} | u - h_{i} + 1 \leq r \leq u}} X_{i p q r} \leq 1 \\ S \in X, t \in Y, u \in Z \end{array}

\begin{matrix} \sum_{{i | r^{'} - h_{i} \geq 0}}^{m} \sum_{{p \in X_{i} | p^{'} - I_{i} + 1 \leq p \leq p^{'} + I_{j} - 1}} \sum_{{q \in Y_{i} | q^{'} - W_{i} + 1 \leq q \leq q^{'} + W_{j} - 1}} L_{i j}^{[2]} \cdot W_{i j}^{[2]} \cdot X_{i p q (r^{'} - h_{i})} \geq α \cdot I_{j} \cdot W_{j} \cdot X_{j p^{'} q^{'} r^{'}} j = 1, ..., m \\ p^{'} \in X_{j}, q^{'} \in Y_{j}, r^{'} \in Z_{j} / {0} \\ com {\begin{cases} L_{i j}^{[2]} = m i n (p + I_{i}, p^{'} + I_{j}) - m a x (p, p^{'}) \\ W_{i j}^{[2]} = m i n (q + W_{i}, q^{'} + W_{j}) - m a x (q, q^{'}) \end{cases} \end{matrix}

\begin{array}{l} S_{i s t} = {(p, q) | p = s - \bar{p} e q = t - \bar{q}, p \in X_{i}, q \in Y_{i}, (\bar{p}, \bar{q}) \in V_{i}, \bar{p} \leq s, \bar{q} \leq t} \\ i = 1, ..., m, s \in X_{i}, t \in Y_{i} \end{array}

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{{p \in X_{i} | s - I_{i} + 1 \leq p \leq s}} \sum_{{q \in Y_{i} | t - W_{i} + 1 \leq q \leq t}} X_{i p q (u - h_{i}) \geq} \\ \sum_{i = 1}^{m} \sum_{(p, q) \in S_{i s t}} X_{i p q u} \\ \forall S \in X, t \in Y, u \in Z / {0} \end{matrix}

\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{{q \in Y_{i} | t - W_{i} + 1 \leq q \leq t}} \sum_{{r \in Y_{i} | u - h_{i} + 1 \leq r \leq u}} X_{i s q r} \\ \geq \sum_{i = 1}^{m} \sum_{(q, r) \in S D_{i t u}} X_{i (S - I_{i}) q r} \\ \forall S \in X / {0}, t \in Y, u \in Z \end{array}

\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{m} \sum_{{p \in X_{i} | s - I_{i} + 1 \leq p \leq s}} \sum_{{r \in Y_{i} | u - h_{i} = 1 \leq r \leq u}} X_{i p t r} \geq \\ \sum_{i = 1}^{m} \sum_{(p, r) \in S F_{i s u}} X_{i p (t = W_{i}) r} \\ \forall S \in X, t \in Y, u \in Z \end{array}

[1] *UFSCar, São Carlos, SP, Brasil

Brasil

Brasil

A note on mathematical modeling for loading boxes into containers while considering cargo stability