Resumo em Português:

Resumo A presente investigação analisa tarefas particulares de estudo, pertinentes ao modo de organização de ensino desenvolvido por Davýdov e colaboradores, cuja finalidade é o desenvolvimento do pensamento teórico dos estudantes. A delimitação se volta à apreensão dos componentes do sistema conceitual de adição e subtração, referentes ao primeiro ano escolar. A análise, com base na Teoria Histórico-Cultural, centra-se no movimento de permanência e de surgimento de componentes essenciais dos conceitos, proporcionados pelas tarefas, que foram extraídas de dois livros: didático e orientação ao professor. As tarefas proporcionam um movimento de ida e volta, que cria a necessidade de determinar ou eliminar a desigualdade entre grandezas, que constituem propriedades da adição e subtração, respectivamente. Geram apropriações das significações algébrica, aritmética e geométrica.

Resumo em Inglês:

Abstract The present research analyzes particular study tasks, pertinent to the way of teaching organization, developed by Davýdov and collaborators, whose purpose is the students’ theoretical thinking development. The delimitation turns to the apprehension of the addition and subtraction conceptual systems’ components, referring to the first school year. The analysis, based on the Historical-Cultural Theory, focuses on the movement of permanence and the emergence of the concepts’ essential components, provided by the tasks, which were extracted from two books: didactic (book) and teacher orientation (book). Tasks provide a round-trip, which creates the need to determine or eliminate the inequality between magnitudes, which are addition and subtraction properties, respectively. They generate appropriations of algebraic, arithmetic, and geometric meanings.

Resumo em Português:

Resumo O artigo discute parte dos dados de uma investigação realizada com professoras dos Anos Iniciais em formação. Dentre os objetivos formativos que possuíamos, destacamos que a finalidade deste é compreender como ocorreu a aprendizagem das operações de adição e subtração a partir da compreensão da estrutura interna do sistema de numeração, sendo por intermédio de atividades de ensino desenvolvidas com as quatorze licenciandas matriculadas na disciplina “Conteúdos e processos de ensino de Matemática”, do 4° período da licenciatura em Pedagogia da Universidade Estadual de Goiás - Campus Quirinópolis. Na busca por respostas de como aconteceu essa aprendizagem, foi organizado um experimento formativo, posto aqui como caminho metodológico da pesquisa. Nesse viés o experimento buscava criar situações para que a aprendizagem dessas operações se materializasse. O método de investigação escolhido foi o materialismo histórico dialético. Concernente a tais escolhas, a estrutura de análise é composta de unidade, episódio, cenas e flashes. Os resultados dão indícios de que as licenciandas compreenderam que os sistemas de numeração possuem uma lógica interna válida para todas as bases numéricas que os compõem e, a partir dessa conexão interna do sistema de numeração, é possível realizar as operações de adição e subtração como parte dessa operacionalização interna do sistema. Concluímos que as licenciandas se apropriaram da relação essencial dos sistemas de numeração, a formação de suas ordens e a gênese das operações de adição e subtração.

Resumo em Inglês:

Abstract The article discusses part of the data of an investigation carried out with elementary school teachers. Among the formative objectives we had, we emphasize that the purpose of this study is to understand how the learning of addition and subtraction operations occurred from the apprehension of the internal structure of the numbering system through teaching tasks developed with the fourteen students attending the “Mathematics contents and teaching processes” subject of the 4th period of Pedagogy at Goiás State University - Quirinópolis Campus. In search for answers as how this learning happened, a formative experiment was organized, named here as research methodological path. In this bias, the experiment sought to create situations to make the learning of these operations feasible. The research method chosen was the dialectical and historical materialism one. Concerning such choices, we have a structure of analysis composed of unity, episode, scenes, and flashes. The results give us indications that the undergraduates understood that the numbering systems have an internal logic that is valid for all the numerical bases composing them, and that, from this internal connection of the numbering system on, it is possible to carry out the addition and subtraction operations, as part of this internal system operationalization. We concluded that the undergraduates have appropriated the essential relation of the numbering systems, the formation of their orders, and the genesis of addition and subtraction operations.

Resumo em Português:

Resumo Este artigo apresenta os resultados de uma pesquisa realizada com o objetivo de conhecer o entendimento do conceito de média aritmética, de jovens em vulnerabilidade socioeconômica e ambiental. Utilizou-se o método clínico-crítico piagetiano na realização da coleta e análise dos dados. Os instrumentos utilizados na coleta de dados foram construídos pelos realizadores do estudo. A amostra constitui-se de doze jovens, entre quinze e dezessete anos, estudantes do Centro de Convívio dos Meninos do Mar - CCMar, no litoral sul brasileiro. A análise apontou para a existência de três níveis de compreensão do referido conceito, sendo: primeiras aproximações ou ideias incipientes; noções de média aritmética baseadas em pensamento concreto; média aritmética como medida representativa de um conjunto de dados. A partir dessa investigação é possível indicar que o conceito de média aritmética exige a realização de abstrações reflexionantes, ou seja, os elementos simbólicos do pensamento necessitam sair dos referentes materiais, pois não é um conceito material, e sim formal.

Resumo em Inglês:

Abstract This paper presents the results of a research carried out with the objective of knowing the understanding of the arithmetic mean concept by young people in socioeconomic and environmental vulnerability. The piagetian clinical-critical method was used to perform the data collection and analysis. The instruments used in the data collection were constructed by the authors. The sample consisted of twelve teenagers between the ages of fifteen and seventeen, students of Centro de Convívio dos Meninos do Mar - CCMar, in the Brazilian South Coast. The analysis pointed to the existence of three levels of understanding for the concept discussed above, as follows: first approximations or incipient ideas; notions of arithmetic mean based on concrete thought; arithmetic mean as a representative measure of a data set. From this investigation it is possible to indicate that the arithmetic mean concept requires the realization of reflective abstraction, there for, the symbolic elements of thought need to leave the material referents, because this is not a material concept, but a formal one.

Resumo em Espanhol:

Resumen En este trabajo se utilizan los dictados matemáticos, como enfoque didáctico-instrumental, para realizar un estudio longitudinal sobre la capacidad de representación matemática de niños y niñas en edades tempranas, caracterizando sus producciones. Para tal fin, se ha realizado un estudio de campo con una muestra total de 104 niñas y niños de 1°, 2° y 3° de Educación Infantil. Los resultados obtenidos, independientemente de la edad, son: a) se evidencia una relación positiva entre el índice de dificultad de los dictados y el porcentaje de niños y niñas que no completan su tarea con éxito; b) la repetición de tareas, dentro del mismo dictado, con dificultad equivalente fomenta el aprendizaje significativo, independientemente del nivel cognitivo de las niñas y de los niños; c) en consonancia con los niveles de Van Hiele, se detectan mayores dificultades en la representación simbólica de objetos con mayor grado de abstracción y complejidad matemática.

Resumo em Inglês:

Abstract In this work, mathematical dictations are used as a didactical-instrumental approach to perform a longitudinal study on the mathematical representation capacity in children at an early age. For this purpose, a field study was carried out with a total sample of 104 girls and boys of 1st, 2nd, and 3rd grade of Early Childhood Education. The results obtained, regardless of the age group, are: a) there is a positive relationship between the difficulty index of the dictates and the percentage of children who did not complete their task successfully; b) the repetition of tasks, within the same dictation, with equivalent difficulty fosters significant learning, regardless of the cognitive level, for girls and boys; c) according to the Van Hiele levels, greater difficulties are detected in the symbolic representation of objects when a higher degree of abstraction and mathematical complexity appear.

Resumo em Português:

Resumo Este artigo tem como objetivo compreender o modo como os alunos desenvolvem a flexibilidade de cálculo multiplicativo num contexto de ensino exploratório, pretendendo responder a três questões de investigação: (i) Quais as estratégias usadas pelos alunos quando resolvem tarefas de multiplicação?; (ii) Como evoluem as estratégias usadas pelos alunos?; e (iii) Como é que os alunos usam de forma flexível o cálculo multiplicativo? A investigação insere-se no paradigma interpretativo de natureza qualitativa, tendo sido realizada uma experiência de ensino numa turma de 3.° ano. A recolha de dados recorreu às seguintes técnicas: observação participante e recolha documental. O artigo foca apenas um par de alunos. Os resultados revelam que os alunos utilizaram múltiplas estratégias na resolução das tarefas envolvendo a multiplicação, evoluindo de estratégias aditivas, associadas a sequências de múltiplos, para estratégias multiplicativas, estabelecendo relações numéricas, e usando fatos básicos conhecidos e propriedades da multiplicação. Esta evolução encontra-se associada ao desenvolvimento da flexibilidade do cálculo multiplicativo dos alunos, o qual, inicialmente, se encontra ancorado na organização dos objetos em partes iguais, evidenciando, no final da experiência de ensino, uma conexão clara entre a ideia de um mesmo produto ser simbolizado por um elevado número de decomposições multiplicativas, a operação de divisão e a identificação da relação proporcional. O estudo evidencia a inexistência de um paralelismo entre o desenvolvimento de estratégias multiplicativas em situações de cálculo e em situações de proporcionalidade.

Resumo em Inglês:

Abstract This article aims to understand how the students develop the multiplicative calculation flexibility in a context of exploratory teaching, answering three research questions: (i) What are the strategies used by students when solving multiplication tasks?; (ii) How do the strategies used by the students evolve?; and (iii) How do the students use the multiplicative calculation in a flexible manner? The investigation adopts a qualitative methodology within an interpretive paradigm having been held a teaching experience in a 3rd grade classroom. The data collection took place through the following techniques: participant observation and documentary collection. The article focuses only one pair of students. The results show that students used multiple strategies to solve tasks involving multiplication, evolving from additive strategies, associated with sequences of multiples, to multiplicative strategies, establishing numerical relationships, and using known basic multiplication facts and properties. This evolution is associated to the development of multiplicative calculation flexibility by the students, which is initially anchored in organizing the objects in equal parts, evidencing, at the end of the teaching experience, a clear connection between the idea of the same product being symbolized by a high number of multiplicative decompositions, the operation of division and the identification of the proportional relationship. The study shows the lack of parallelism between the development of multiplicative strategies in calculation and proportional situations.

Resumo em Português:

Resumo Neste artigo analisamos, com base num quadro teórico sobre a comparação multiplicativa, a evolução conceituai de Bruno, aluno do 6.° ano (11 anos), focando-nos na articulação adaptativa e flexível de conceitos, estratégias, relações numéricas, propriedades das operações e representações. O modo como explora as cinco tarefas propostas no âmbito de uma experiência de ensino indica-nos que a construção conceitual da comparação multiplicativa de Bruno se situa na ligação entre fator multiplicativo e razão escalar. O seu conhecimento sobre os números e as suas relações permite-lhe usar diferentes representações dos racionais na tradução das estratégias que implementa. Estas variam entre aditivas e multiplicativas e, nas últimas, predomina a utilização da linha numérica dupla com apenas dois pontos. A análise da evolução de Bruno valida e amplia o quadro conceitual teórico adotado inicialmente.

Resumo em Inglês:

Abstract In this article we analyze, based on a theoretical framework on multiplicative comparison, Bruno's conceptual evolution, a student of the 6th grade (11 years), focusing on the adaptive and flexible articulation of concepts, strategies, numerical relations, properties of operations and representations. The way he explores the five tasks proposed in a teaching experiment indicates that the conceptual construction of Bruno's multiplicative comparison lies in the connection between the multiplicative factor and the scalar ratio. His knowledge of numbers and their relationships allows him to use different representations of rational ones in translating the strategies he implements. These vary between additive and multiplicative, and in the latter, the use of the double number line with only two points predominates. The analysis of Bruno's evolution validates and expands the theoretical conceptual framework adopted initially.

Resumo em Espanhol:

Resumen Los futuros profesores de matemáticas requieren una educación integrada para responder a las exigencias del sistema escolar, de manera que sean capaces de vincular explícitamente conocimientos adquiridos en su formación con las experiencias basadas-en-la-práctica. Este artículo tiene por objetivo indagar acerca de los vínculos y brechas entre los conocimientos teóricos y los conocimientos prácticos perceptuales de una estudiante a profesora que participa de una experiencia de Estudio de Clases en un curso universitario, a través del plan de la lección, observación de clases y entrevistas. Los resultados del estudio evidencian situaciones asociadas con estos vínculos y brechas entre los conocimientos de una futura profesora, que emergen en la experiencia de enseñanza de la multiplicación de expresiones algebraicas, y cómo estos influyen en la comprensión sobre su gestión y en las oportunidades de aprendizaje de sus alumnos.

Resumo em Inglês:

Abstract Prospective mathematics teachers require an integrated education to respond to the school system demands, so that they are able to explicitly link the knowledge acquired in their training with the practice-based experiences. The purpose of this article is to investigate the links and gaps between the theoretical knowledge and the perceptual practical knowledge of a prospective teacher who participates in a Lesson Study experience in a university course, through the lesson plan, class observation and interviews. The results show situations associated with these links and gaps between the knowledge of a prospective teacher that emerge in the teaching experience of algebraic expressions multiplication, and how these influence the management understanding and learning opportunities for their students.

Resumo em Português:

Resumo O presente texto tem como objetivo principal discutir como as propostas para a utilização de problemas no ensino de Aritmética estiveram presentes nas salas de aula do Ensino Primário, tendo como corpus 72 cadernos franceses do período entre 1870 e 1936. Tal discussão envolveu, além da exploração dos cadernos, as relações com as prescrições e as orientações para o ensino de Matemática na Escola Primária francesa nesse período histórico. A análise teve como referenciais o conceito de consumo de Certeau, a perspectiva dos cadernos como produto e produtor da cultura escolar, segundo Gvirtz e Larrondo, e a importância de considerar a existência de regras específicas para o uso dos cadernos, mencionada por Viñao. Os resultados apontam que, ao longo do tempo, as temáticas envolvidas nos problemas, aos poucos deixam de abordar aspectos da vida no campo e a marcha do ensino, que inicialmente envolvia problemas de um único tipo (proporcionalidade), entre 1915 e 1936, passa a envolver a centralidade de determinado conteúdo - relacionado também a problemas-tipo - e a propor uma sequência de conteúdos. Além disso, considera-se que nesse momento histórico os problemas estavam presentes nos cadernos escolares como um saber a ser ensinado.

Resumo em Francês:

Résumé L'objectif principal de ce texte est de discuter comment les propositions d'utilisation des problèmes d'enseignement de l'arithmétique étaient présentes dans les salles de classe de l’école primaire, ayant pour corpus 72 cahiers français datant de la période comprise entre 1870 et 1936. La discussion a impliqué l'exploration des cahiers et les relations avec les prescriptions et les orientations pour l'enseignement des mathématiques à l’école primaire française de cette période historique. L’analyse avait pour référence le concept de consommation de Certeau, la perspective des cahiers en tant que produit et producteur de la culture scolaire, selon Gvirtz et Larrondo, et l'importance de considérer l'existence de regles spécifiques pour l'utilisation des cahiers, mentionnées par Viñao. Les résultats montrent que, au cours du temps, les thématiques des problèmes sont progressivement moins liés aux aspects de la vie rurale et que la démarche de l'enseignement, qui comportaient initialement des problèmes de type unique (proportionnalité), entre 1915 et 1936 commence à impliquer la centralité de certains contenus - également liés à des problèmes-type - et à proposer une séquence de contenus. De plus, on considère que, dans ce moment historique, les problèmes étaient présents dans les cahiers scolaires en tant que savoir à enseigner.

Resumo em Inglês:

Abstract This article discusses how proposals for the use of problems in arithmetic teaching were present in primary school classrooms. The corpus consists of 72 French notebooks from the period between 1870 and 1936. Besides the notebooks’ exploration, the discussions approached the relations with prescriptions and guidelines for mathematics teaching in French primary school in that historical period. The theoretical framework for the analysis involved Certeau's consumption concept, Gvirtz and Larrondo's perspective of the notebook as both a product and a producer of school culture, and the importance of considering the existence of specific rules for the use of notebooks, as mentioned by Viñao. The results show that, over time the themes used in problems little by little stopped approaching aspects of life in the countryside, and the teaching march, which initially involved only one type of problem (proportionality), started to approach the centrality of a specific content - also related to type-problems - and to propose a sequence of contents in the period between 1915 and 1936. In addition, we take into consideration the fact that, in that historical period, problems were present in notebooks as some knowledge to be taught.

Resumo em Português:

Resumo O prólogo de um livro é um dos múltiplos exemplos de paratextos, definidos por Gérard Genette como esses elementos e convenções que fazem um texto tornar-se um livro. Isso pode fornecer informações sobre aspectos como a motivação e a intenção do autor, a origem das ideias apresentadas, potenciais leitores etc. No caso particular de textos matemáticos dedicados em certa medida ao ensino, o prólogo pode informar as concepções e crenças do autor sobre a matemática, seu ensino e sua aprendizagem. Neste trabalho, analisamos o prólogo do Compendio Mathematico, escrito por Thomas Vicente Tosca em 1707. Essa abordagem nos permitirá obter uma visão sobre como a matemática, seu ensino e sua aprendizagem foi concebida durante a pré-ilustração na Espanha.

Resumo em Inglês:

Abstract The preface of a book is one of the main examples of paratexts, defined by Gérard Genette as those devices and conventions that enable a text to become a book. It can provide information about aspects such as the author's motivation and intention, the origin of the presented ideas, the potential readers, etc. In the particular case of a mathematical text devoted to some extent to teaching, the preface can provide information about the author's conceptions and beliefs about mathematics, its teaching and learning. In this work, we analyze the preface of Compendio Mathematico written by Thomas Vicente Tosca in 1707. This approach will allow us to have a view of how the teaching and learning of mathematics as well as mathematics itself were conceived during Spanish preenlightenment.

Resumo em Português:

Resumo Questões envolvendo a identificação, análise e interpretação de erros cometidos por estudantes em Matemática não são recentes, embora muito ainda possa ser investigado sobre esse assunto. O objetivo do presente estudo foi identificar, a partir da literatura já existente, variáveis relevantes na produção de erros em Matemática. Uma revisão sistemática da literatura do período entre 2012 e 2017 foi realizada, de forma independente, por duas pesquisadoras para avaliar a concordância entre elas. Foram pesquisados artigos nas bases de dados ERIC, PsycArticles, SciELO e Math Educ Database com os descritores erro AND matemática; erro AND procedimento AND matemática; padrão de erro AND matemática; análise de erros AND matemática; erro sistemático AND matemática e seus correspondentes em inglês e espanhol. Foram identificados 415 artigos, dos quais foram analisados 31 que tratavam da produção de erro. As variáveis identificadas como responsáveis pela produção dos erros mais comuns referem-se às causas internas ou dificuldades não especificadas do aluno e aos erros nos procedimentos de ensino. A responsabilidade pelo erro geralmente é atribuída aos alunos e a principal tendência da pesquisa é apenas informar a produção de erros, uma vez que apenas alguns estudos indicaram formas de evitar ou lidar com os erros produzidos pelos alunos de maneira específica e descritiva. Ressalta-se a importância e a necessidade de investigar práticas educativas para prevenir e lidar com erros.

Resumo em Inglês:

Abstract Issues involving the identification, analysis, and interpretation of mistakes made by mathematics students are not recent, although much still can be investigated on this subject. The aim of the present study was to identify, from the existing literature, relevant variables in the production of errors in mathematics. A systematic review of the literature of the period between 2012 and 2017 was independently performed by two researchers to evaluate the concordance between them. We searched the ERIC, PsycArticles, SciELO and Math Educ Database databases with the descriptors error AND mathematics OR math, error AND procedure AND mathematics OR math, error pattern AND mathematics OR math, analysis of errors AND mathematics OR math, systemic error AND mathematics OR math and their correspondents in Portuguese and Spanish. A total of 415 articles were identified, of which 31 were analyzed, dealing with error production. The variables identified as responsible for producing the most common errors refer to the student's internal causes or unspecified difficulties and errors in the teaching procedures. Responsibility for error is usually attributed to the students and the main trend of the research is only to inform the production of errors, since only a few studies have indicated ways to avoid or deal with errors produced by students in a specific and descriptive way. We emphasize importance and necessity of investigating educational practices to prevent and deal with errors.

Resumo em Espanhol:

Resumen Se presenta un estudio de evaluación de los conocimientos de un grupo de futuros profesores españoles de Educación Secundaria y Bachillerato, en relación a los errores de sus estudiantes en la inferencia estadística. Dicho conocimiento forma parte de la faceta cognitiva del conocimiento-didáctico matemático del profesor. Para llevar a cabo la evaluación se pidió a setenta estudiantes, que se preparaban como futuros profesores, describir los errores previsibles de sus estudiantes al realizar un contraste de hipótesis y un intervalo de confianza, después de haber resuelto ellos mismos un problema de cada uno de estos tipos. Las respuestas obtenidas se clasifican en relación con diferentes etapas de los procedimientos (selección del procedimiento, planteamiento, errores conceptuales, procedimentales e interpretación) y las categorías en cada una de estas etapas se determinan teniendo en cuenta los errores descritos en la investigación sobre comprensión de la inferencia estadística. Los resultados muestran cierto conocimiento de los errores frecuentes por parte de los futuros profesores, aunque, en general, falta precisión y hay poca consciencia de los errores relacionados con el nivel de significación y p-valor.

Resumo em Inglês:

Abstract The aim of this work was to assess the knowledge of students' errors in statistical inference in a group of Spanish prospective High and Secondary School teachers. This knowledge is part of the cognitive facet of teachers' didactic-mathematical knowledge. A sample of seventy prospective teachers was asked to describe their students' most likely error in carrying out a statistical test and a confidence interval, after having solved themselves a problem of each type. The responses are classified in agreement with the different steps in the procedures (selecting a procedure, problem setting, conceptual, procedural, and interpretative errors). The categories in each of these stages are determined by considering the errors described in research on understanding statistical inference. The results suggest a medium knowledge of the most frequent errors by prospective teachers; however, there is a general lack of precision and little awareness of errors linked to the significance level and p-value.

Resumo em Espanhol:

Resumen La gran cantidad de datos estadísticos que se presentan en la vida cotidiana hace que el razonamiento estadístico sea una habilidad absoluta que poseen los estudiantes. Mientras tanto, el razonamiento estadístico está influenciado por diversos factores, tanto cognitivos como no-cognitivos. Este estudio enfatiza la influencia de los factores no-cognitivos, que es la ansiedad estadística. El propósito de este estudio es describir la ansiedad estadística del profesor de matemáticas (que tenga una formación inicial que le permita ingresar en la profesión docente)bajo la influencia de la ansiedad estadística en el razonamiento estadístico. En esta investigación se utiliza el método mixto, con una muestra de 33 maestros con formación inicial, participantes de una conferencia de estadística básica. El instrumento utilizado en este estudio es un cuestionario de ansiedad estadística desarrollado por Earp(2007), y una prueba de razonamiento estadística desarrollada por Chan et al (2016) El resultado mostró que la ansiedad estadística de estos profesores de matemáticas estaba en el nivel moderado sobre los aspectos de participar de los cursos, estudiar y practicar, y estaba en el nivel superior en el aspecto del examen. Los niveles de ansiedad estadística, en todos los aspectos, permanecen iguales tanto para hombres como para mujeres. La ansiedad estadística no afecta directamente la capacidad del razonamiento estadístico, la ansiedad estadística puede predecir en un 0,1% de la capacidad del razonamiento estadístico. En los indicadores de razonamiento y los indicadores de ansiedad estadística, hay resultados relevantes entre la ansiedad estadística experimentada por los docentes estudiados, sobre el indicador relativo a desarrollar conclusiones basadas en soluciones matemáticas, explicar hallazgos estadísticos e interpretar estadísticas con indicadores de razonamiento estadístico; están analizando e interpretando dados.

Resumo em Inglês:

Abstract The large number of statistical data present in everyday life makes statistical reasoning an absolute ability possessed by students. Meanwhile, the statistical reasoning is influenced by various cognitive and non-cognitive factors. This study emphasizes the influence of non-cognitive factors, which are the statistical anxiety. The purpose of this study is to describe the statistical anxiety of pre-service mathematics teacher and the influence of statistical anxiety on statistical reasoning. This research method is a mixed-method with sample of 33 pre-service teachers who are taking basic statistics courses. The instrument used in this study is a statistical anxiety questionnaire developed by Earp (2007)and a statistical reasoning test developed by Chan et al (2016). The result showed that the statistical anxiety of pre-service mathematics teachers was in the moderate level on the aspects of taking the courses, studying and practicing; and was in the higher level on the aspect of the examination. Statistical anxiety levels on every aspect are equally good for both men and women. Statistical anxiety does not directly affect the ability of statistical reasoning and it can only impair 0.1% of the statistical reasoning ability. On reasoning indicators and statistical anxiety indicators, there are relevant results between the statistical anxiety experienced by the pre-service teachers on the indicator for developing conclusions based on mathematical solutions, explaining statistical findings, and interpreting statistics with indicators on statistical reasoning; they areanalyzing and interpreting data.

Resumo em Espanhol:

Resumen Exponemos resultados de un estudio cuyo objetivo es la caracterización de la producción documental de acceso abierto de la comunidad de habla hispana en Educación Matemática para la educación media. A partir de una taxonomía de términos clave, específica de la Educación Matemática, realizamos una aproximación semántica al contenido de la documentación que fue producida por esta comunidad de profesores e investigadores entre 1986 y 2017. Definimos las siguientes variables de estudio: nivel educativo, enfoque, matemáticas escolares y currículo. Realizamos el cruce de la variable nivel educativo con las otras variables y, con un proceso de normalización, identificamos los valores de las variables en los que la educación media se distingue de los otros niveles educativos por tener el mayor o el menor porcentaje de publicación de documentos. En comparación con otros niveles educativos, la educación media se distingue por tener el mayor o uno de los mayores niveles de producción en actividades. Se destaca por abordar temas de probabilidad, cálculo, medida y álgebra, y de aula y aprendizaje.

Resumo em Inglês:

Abstract We present results of a study which objective was the open access documental production characterization of the Spanish-speaking community in Mathematics Education for middle school. From a taxonomy of key terms specific to Mathematics Education, we made a semantic approach to the documentation content, which was produced by this community of teachers and researchers between 1986 and 2017. We defined the following study variables: educational level, document type, school mathematics, and curriculum. We crossed the educational level variable with the other variables and, with a normalization process, we identified the values of these variables in which the middle school is different from the other educational levels, since it has the highest or lowest percentage of documents published. In comparison with other educational levels, middle school is distinguished by having the highest or one of the highest production levels in activities. It stands out for addressing issues of probability, calculation, measurement and algebra, and classroom and learning.

Resumo em Português:

Resumo Este artigo reflete sobre a falta de articulação entre o ensino dos números irracionais na Educação Básica e na formação inicial de professores de Matemática. Na Educação Básica, argumenta-se que o assunto é tratado com superficialidade e pouco aprofundamento conceitual, basicamente por meio de exemplos, enquanto, na formação inicial do professor de Matemática, ainda prevalece uma abordagem formalista desse tema, o que não capacita o futuro professor para ensinar números irracionais na Educação Básica. O resultado desse descompasso entre a licenciatura e a Educação Básica pode provocar uma dupla descontinuidade no ensino, como Felix Klein apontou há mais de um século. No caso dos números irracionais, mais especificamente, esse descompasso pode provocar a formação de um círculo vicioso: o professor sai da universidade sem uma formação adequada para abordar o assunto na Educação Básica, fazendo com que seus alunos cheguem até a universidade sem uma imagem adequada de número irracional, e o ciclo se repete.

Resumo em Inglês:

Abstract This article presents a reflection about the lack of articulation between the teaching of irrational numbers in Basic Education and in the initial mathematics teacher education. In basic education, the subject is treated with superficiality and little conceptual deepening, basically by way of examples, while in the mathematics teacher initial formation, there is the prevalence of the formalist approach to irrational numbers, which does not enable the future teacher to teach the subject in basic education. Felix Klein had already pointed out the result of this break between undergraduate and basic education in mathematics over a century ago - there is a double discontinuity in teaching. In the case of irrational numbers, more specifically, this mismatch can provoke a vicious cycle: the teacher leaves the university without adequate formation to address the subject in Basic Education, causing the students to reach the university without an adequate image of the irrational number, and the cycle repeats itself.

Resumo em Português:

Resumo Este artigo tem por objetivo discutir o conceito de problema em Modelagem Matemática no contexto abrangido pela Educação Matemática. Trata-se de resultado de uma pesquisa, norteada pela metodologia qualitativa, em que realizamos um curso envolvendo a construção de jogos eletrônicos. A pergunta diretriz assumida é: como se mostra o problema no processo de Modelagem Matemática envolvido na construção de jogos eletrônicos por alunos de um curso de Licenciatura em Matemática? Como principal referencial teórico trazemos a visão deleuziana de problema, que não associa o problema à dúvida nem à pergunta, colocando-o em um estado não atual. A análise de dados, aliada a um aprofundamento teórico-filosófico, apresenta possíveis consonâncias entre essa visão e as atividades de Modelagem Matemática desenvolvidas. Como resultado, apresentamos que o modo como o problema é determinado condiciona os encaminhamentos das situações desenvolvidas e, consequentemente, o próprio processo de Modelagem Matemática.

Resumo em Inglês:

Abstract In this paper, we discuss the problem concept in Mathematical Modeling in the context of Mathematics Education. It is the result of a research guided by a qualitative methodology, where we set a course involving the construction of electronic games. As the main theoretical reference, we bring Deleuze's problem vision, that is not associated with doubt or question, but with a non-actual state. Data analysis combined with a theoretical and philosophical depth, led to the construction of a problem concept aligned with the mathematical modeling activities we developed. As a result, we show that the way the problem is determined conditions the developed situations and, therefore, the process of Mathematical Modeling.

Resumo em Espanhol:

Resumen En este trabajo se analizaron los procesos de visualización implicados en una tarea que requiere generar y representar cuerpos de revolución. La tarea se administró a cuatrocientos estudiantes del grado de maestro de Educación Primaria. Se adoptó como marco teórico el enfoque Ontosemiótico de la Instrucción y el Conocimiento Matemáticos, utilizándose como herramienta analítica la noción de configuración en su vertiente epistémica y cognitiva. Para el análisis de datos se empleó una metodología de investigación mixta: con una componente cualitativa que evaluó las categorías de objetos primarios, y otra cuantitativa que categorizó el grado de corrección de las respuestas. El análisis de los procesos de visualización se realizó por medio de las nueve configuraciones cognitivas identificadas en las soluciones de los estudiantes. Los errores de resolución se concentraron más en el procesamiento visual de la información que en el proceso de interpretación de la información figurativa. La mayoría de ellos se debieron a dificultades para movilizar las habilidades de reconocimiento de relaciones y posiciones espaciales, observándose una correspondencia entre la efectividad de las configuraciones cognitivas y la representación externa de los cuerpos generados.

Resumo em Inglês:

Abstract In this work we analyzed the visualization processes involved in a mathematical task that requires generating and representing solids of revolution. The task was administered to four hundred university students from the Bachelor's Degree in Primary Education. We adopted the Ontosemiotic Approach to Mathematical Instruction and Knowledge as a theoretical framework, using the configuration notion as an analytical tool in both its epistemic and cognitive aspects. For the data analysis, we used a mixed method approach: a qualitative dimension evaluating the primary objects categories, and a quantitative dimension categorizing the answers' success degree. The visualization processes analysis was done via the nine cognitive configurations identified from the students' solutions. The resolution errors focused more on the visual processing than on the interpreting figurative information processing. The majority of these errors were due to difficulties in mobilizing the recognition's abilities of spatial relations and positions, observing a correspondence between the effectiveness of cognitive configurations and the external representation of the generated solids.

Resumo em Português:

Resumo Neste artigo, teve-se por objetivo investigar as contribuições de uma proposta interventiva de ensino de Geometria, baseada nas ideias básicas da perspectiva, para ampliar o repertório de representações planas e as habilidades de visualização de dez alunos do Ensino Médio de uma escola pública brasileira do Ceará. Com base no desenvolvimento histórico de técnicas para a representação plana de figuras espaciais e orientados metodologicamente pelo Design Experiment, elaboraram-se atividades para, em três encontros, analisar pinturas e imagens de várias épocas e utilizar um ambiente de Geometria Dinâmica para explorar técnicas de construção de imagens em perspectiva. Procurou-se suporte teórico nos estudos de Parzysz e de Gutiérrez sobre representações planas de figuras espaciais, particularmente nas ideias de polo do “visto” e polo do “sabido”. A análise qualitativa dos dados evidenciou que o uso de um software pode despertar interesse por construções geométricas e por Geometria e mostrou que houve limitações no aprendizado de novos conceitos relativos às representações, principalmente os baseados nos previamente estabelecidos desses participantes. Por outro lado, o uso do software permitiu que alguns participantes se conscientizassem da importância do conhecimento das regras de representação para a interpretação de imagens em perspectiva, o que mostra que um trabalho dessa natureza, a longo prazo, pode promover aprendizagem e visualização em Geometria.

Resumo em Inglês:

Abstract The objective was to investigate contributions of an interventional proposal using perspective initial ideas for Geometry teaching, in order to expand the repertoire of plane representations and spatial visualization abilities for ten Brazilian High School students. Based on the historical development of techniques for bidimensional representations of spatial figures and methodologically oriented by Design Experiment procedures, activities have been developed in three meetings, at first to analyze paintings and images from various times and, afterwards, using the Dynamic Geometry environment to explore techniques for constructing images in perspective. We sought theoretical support in Parzysz and Gutiérrez's studies on bidimensional representations of spatial figures, particularly on the ideas of "seeing" and "knowing" poles. Qualitative data analysis showed that using a software may provoke interest on geometric constructions and Geometry study, although there were limitations in learning new concepts, especially those based on those participants previous ones. On the other hand, using the software has allowed some participants to become aware of the importance of knowing the representation rules for the interpretation of images in perspective, which shows that a long-term work of this nature can promote learning and visualization in Geometry.

Resumo em Português:

Resumo Este trabalho apresenta resultados de uma pesquisa que teve como objetivo analisar as práticas matemáticas de um aluno de catorze anos de idade, com necessidades especiais decorrentes do Transtorno do Espectro Autista (TEA), incluído em uma sala de aula regular de 9°ano. Neste texto, são trazidas reflexões sobre o autismo e seu histórico, além de algumas considerações teóricas que dão suporte ao estudo e são descritos os procedimentos metodológicos empregados em dez sessões individuais, duas coletivas e observações realizadas pela professora nas aulas de Matemática, nas quais se discutiu os conceitos matemáticos: Produtos Notáveis e as Equações do 2°grau. As análises destacam a importância e a influência dos instrumentos mediadores (materiais e semióticos) nas práticas matemáticas do aluno e para a sua inclusão efetiva nas aulas de Matemática.

Resumo em Inglês:

Abstract This project demonstrates the result of a research, which aimed at analysing the mathematics practices of a 14 year-old student, with special needs due to the Autism Spectrum Disorder (ASD), included in a ninth grade regular classroom. In this text, we bring reflections about autism and its history, in addition to some theoretical considerations that give support to the study and the methodological procedures applied in ten individual sittings, two collective ones and the observations made by the teacher in the mathematics classes, in which the mathematics concept, Notable Products and Quadratic equations, were discussed. The analyses highlight the importance and the influence of the mediating instruments (materials and semiotics) in the student's mathematical practices and for their effective inclusion in Mathematics classes.

Resumo em Português:

Resumo Neste artigo, propomos duas discussões sobre a Matemática em cursos de serviço, uma relacionada a práticas problematizadoras, que amplia a perspectiva da resolução de problemas no aspecto de não somente resolver problemas dados, como também de inventar novos problemas ou novas formas de vida que requerem novas técnicas, e outra sobre a atuação docente focada em formas de ação, e não apenas em conteúdos. Isso é feito por meio de recortes de entrevistas realizadas com engenheiros eletrônicos atuantes em diferentes áreas de negócio da Petrobras. Por meio delas são exibidos diferentes modos de ver a Matemática no mundo profissional e as relações que são estabelecidas entre a Matemática no trabalho e na formação universitária.

Resumo em Inglês:

Abstract In this paper, we propose two discussions about mathematics in service courses, one related to problematizing practices that enlarge the perspective of problem-solving not only about solving given problems, but also of inventing new techniques and new forms of life, and another about the teaching activity focused on forms of action and not only on content. We did all discussions through excerpt of interviews made with electronic engineers working in different Petrobras’ business areas. Through them, we exhibited different ways of viewing mathematics in the professional world and the relationships between mathematics at work and in university education.

Resumo em Português:

Resumo Neste trabalho fazemos uma análise da Matemática a partir da teoria crítica da sociedade da Escola de Frankfurt, tendo o Surrealismo como referência. Lembramos que entrelaçamentos entre Educação e Teoria Crítica já foram feitos em muitos trabalhos, inclusive em Educação Matemática: por exemplo, Adorno (2012), Pucci, Zuin e Ramos-de-Oliveira (2004) e Skovsmose (2015). O Surrealismo, por sua vez, surge como um movimento de vanguarda construído em torno de questionamentos artísticos, intelectuais e políticos, cujas ideias revolucionárias são contra qualquer imposição totalizante que implique em uma formatação do pensamento. Nossa abordagem, portanto, faz uma tentativa de abertura das possibilidades de pensamento em Matemática, estando na direção dos pontos elencados por Miguel (2016) para uma agenda contemporânea da Educação Matemática brasileira. Além disso, repensar o papel político da Matemática e, por consequência, da Educação Matemática é urgente e nada mais significativo do que recorrer à Escola de Frankfurt e ao Surrealismo, isto é, aqueles que viveram e escreveram a partir de experiências totalitárias.

Resumo em Inglês:

Abstract In this work, we analyzed Mathematics from the Frankfurt School critical society theory having surrealism as reference. We emphasize that education and critical theory have already been studied in many works, including in mathematics education: for example, Adorno (2012), Pucci, Zuin and Ramos-de-Oliveira (2004) and Skovsmose (2015). Surrealism emerges as a vanguard movement built on artistic, intellectual, and political issues, which revolutionary ideas are against any totalizing imposition that implies thought formatting. Our approach, therefore, is an attempt to open the thought possibilities in mathematics, in the direction of the points listed by Miguel (2016) for a contemporary agenda of the Brazilian mathematical education. Rethinking the political role of mathematics and, consequently, mathematical education is urgent and there is nothing more significant than resorting to the Frankfurt School and surrealism, that is, to those who lived and wrote from totalitarian experiences.

Resumo em Português:

Resumo O presente trabalho é parte de uma dissertação de mestrado e tem o objetivo de mostrar como a Matemática está inserida em um contexto discursivo que constitui sujeitos. Para isso, escolhemos a obra O Homem que Calculava, de Malba Tahan, delimitando seu contexto para um aspecto que vai além da Matemática por si só: a relação mulher-matemática. O referencial utilizado para o entendimento do que é mulher foi da pesquisadora Judith Butler, a qual compreende que é uma categoria produzida. À luz da análise do discurso de Michel Foucault, trazemos nas análises elementos a fim de compreender quais relações de gênero são estabelecidas a partir da Matemática como discurso ao longo da obra e como a mulher torna-se mulher em um jogo discursivo. Os resultados dessa análise explanam as “práticas de si” da categoria mulher diante da Matemática e sugerem que Telassim (personagem mulher da obra de Tahan) representa, independentemente do contexto histórico ou cultural, muitas mulheres que são silenciadas frente ao campo científico.

Resumo em Inglês:

Abstract The present paper is part of a Master’s degree thesis and it aims to show how mathematics is inserted in a discursive context that constitutes subjects. For this purpose, we chose the book The Man Who Counted by Malba Tahan, delimiting its context in an aspect that goes beyond Mathematics: the relation between the woman and mathematics. The referential used to understand what woman means was the researcher Judith Butler, who understands that it is a produced category. According to the discourse analysis by Michel Foucault, we bring in the analysis elements in order to understand which gender relations are established from mathematics as a discourse throughout the work and how the woman becomes the woman in a discursive set. The results of this analysis explain “self-practices” in the woman category in the face of mathematics and suggests that Telassim (Tahan's woman character) represents, regardless of the historical or cultural context, many women who are silenced in front of the scientific field.

Resumo em Português:

Resumo Este artigo fala das diferentes inter-relações possíveis entre Matemática e Literatura, mapeadas a partir da leitura de várias obras literárias. Seu objetivo é, à guisa das taxionomias fictícias elaboradas por Umberto Eco e Jorge Luis Borges, propor uma categorização dos diferentes modos como a Matemática se coaduna com a Literatura, chamados por Fux de entrelugares. A pesquisa, que mobilizou em sua análise autores tanto da Educação Matemática, quanto das áreas da literatura e da linguagem, apresenta como resultado três categorias: literatura com um viés matemático, literatura com termos matemáticos e literatura com estrutura matemática. Todas as categorias estão a serviço das seis justificativas que o artigo apresenta para se pensar um ensino de Matemática intermediado pela Literatura, das quais duas são discutidas aqui em maiores detalhes: a ideia de que ensinar a ler e escrever é um compromisso de todas as áreas e a necessária abertura de espaços para a criatividade na aula da Matemática.

Resumo em Inglês:

Abstract This paper focuses on different possible interrelations between Mathematics and Literature which were delineated by reading several literary works. It proposes, based on Umberto Eco’s and Jorge Luis Borge’s fictional taxonomies, a categorization of the distinct ways Math and literature intertwine, called in-between places by Fux. This piece of research, which considered the ideas of some Mathematics Education researchers and other literature and language researchers in its analysis, points to three categories: literature with mathematical bias, literature with mathematical terms and literature with mathematical structures. All categories encompass the six justifications discussed by this article in order to reflect on Mathematics teaching mediated by Literature, two of which will be addressed more comprehensively: teaching reading and writing as an activity that must be performed by every school course and the need to stimulate creativity in Math classes.

Resumo em Português:

Resumo Este artigo descreve uma experiência de aprendizagem que teve como objetivo estudar a relação da complexidade nas estruturas cognitivas dos alunos com os seus resultados escolares, cuja representação gráfica foi possível recorrendo à técnica Redes Associativas Pathfinder e ao software GOLUCA. A pesquisa envolveu 79 alunos com idades compreendidas entre os 14 e os 16 anos, que frequentavam o 9.° ano de escolaridade de escolas portuguesas. Numa fase inicial foi identificada a rede que melhor representava as relações entre os conceitos, num tema de geometria. Os alunos foram sujeitos a um teste de conhecimentos e a um teste GOLUCA antes e após a lecionação dos conteúdos e, deste modo, foi possível analisar e comparar a evolução das suas estruturas cognitivas face aos resultados escolares. Os resultados do nosso estudo sugerem que esta nova abordagem pode constituir um método útil para estudar e compreender as redes conceituais dos alunos durante os processos de aprendizagem dos conceitos matemáticos, ou outros, permitindo ao professor observar o progresso de aprendizagem do aluno de modo mais completo e, consequentemente, a realização de uma melhor adequação de tarefas e metodologias de ensino.

Resumo em Inglês:

Abstract This article describes a learning experience with the aim at studying the complexity relationship between cognitive structures and school performances. Its graphic representation was made possible by using the Pathfinder Associative Networks technique and the GOLUCA software. This research involved 79 students with ages between 14 and 16 years old who attended the 9th grade of Portuguese schools. In a first approach, we identified the network that better represented the relations among the concepts in a geometry topic. Students did a knowledge test and a GOLUCA test before and after the topics were taught and, therefore, it was possible to analyze and compare the evolution of their cognitive structures having in mind their school performances. The results of our study suggest that this new approach may be part of an useful method to study and understand the conceptual networks of students during the process of learning Mathematics or other subjects’ topics, allowing the teacher to watch the students’ learning progress in a more complete way and consequently, accomplishing a better adequacy of tasks and teaching methods.

Resumo em Português:

Resumo O artigo evidencia e discute aspectos da colaboração profissional docente mobilizados no contexto dos estudos de aula, concebidos como uma abordagem de desenvolvimento profissional de natureza colaborativa e reflexiva e centrados na prática letiva. O estudo centrou-se na realização de entrevistas com sete professores do 1.° ao 3.° ciclos de Ensino Básico, os quais participaram em três estudos de aula promovidos em um agrupamento de escolas públicas de Lisboa, em 2013-2014, sob a coordenação de uma equipe de investigadores do Instituto de Educação da Universidade de Lisboa. As entrevistas, semiestruturadas, foram realizadas em junho e julho de 2016 e analisadas na perspectiva qualitativa e interpretativa de pesquisa, mediante uma análise de conteúdo dos depoimentos. Os resultados apontam que, no contexto de um estudo de aula, a colaboração docente se concretiza no entrecruzamento de três aspectos principais – a partilha, a cooperação e o apoio pessoal –, manifestando-se, em especial, no planejamento e realização da aula de investigação e nas atividades profissionais cotidianas.

Resumo em Inglês:

Abstract This paper analyses teacher collaboration in lesson studies, regarded as a professional development process. We interviewed seven teachers, from the 1st to the 3rd cycle of basic education, who participated in three lesson studies carried out in public schools in Lisbon, in 2013-2014, led by a team of researchers from the Instituto de Educação da Universidade de Lisboa. The interviews were semi-structured and were undertaken in June and July of 2016, being analyzed in the qualitative and interpretative research perspective. The results suggest that in the context of a lesson study, collaboration among teachers takes place in the intersection of three main aspects – sharing, cooperating, and personal stimulus – and show up especially in planning and carrying out the research lesson and in the daily professional activities.