Epistemology of the integral as the foundation of the integral calculus

Mateus-Nieves, Enrique

doi:10.1590/1980-4415v35n71a17

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Sumário

Artículo • Bolema 35 (71) • Sep-Dec 2021 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v35n71a17 copy

Epistemology of the integral as the foundation of the integral calculus

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A historiography of the integral was carried out in order to identify its ontology and implications in the process of formalization of integral calculus. It is a qualitative research based on the historiography of a mathematical content analyzed with some tools of the Ontosemiotic Approach to Knowledge and Mathematical Instruction, developed with university students taking the integral calculus subject. The tracking of the information made it possible to identify some epistemological ruptures that directed the research to identify changes in the conception of the integral. The organization of the information made it possible to identify three periods: 1) The integral as an “operator”. 2) Evolution of the integration operation giving rise to integral calculus. 3) Foundations of integral calculus. Integral calculus was identified as a little explored field and normally considered complex. This proposal allows us to think of the integral not as a complex object, but as a mathematical entity made up of different meanings that must be decomposed to be studied. The three periods proposed here make it possible to: identify the complexity that makes it up; think of possible ways of relating, connecting, or articulating this complexity, with a view to achieving an articulation that results in understanding, and the development of mathematical competences in those who study it.

Keywords:
Integral ontology; Integral calculus; Integral epistemology

Componentes	Descripción
Situaciones- problema	Problema de medida relativa, en un contexto intramatemático, desde tres situaciones particulares: a) La duplicación del cubo; b) La trisección de un ángulo; y c) La cuadratura del círculo. Problema de medir distancias largas (por ejemplo, la distancia de la Luna a la Tierra). Problemas en los que hay que encontrar áreas, volúmenes, centros de gravedad de curvas, superficies, círculos, esferas, cónicas y espirales.
Lenguajes	Geométrico.
Definiciones	Magnitudes conmensurables e inconmensurables. Diferentes tipos de curvas. Elementos de las curvas.
Procedimientos	Procesos básicos para medir: medida directa; descomponer, recomponer y superponer, respetando el principio de homogeneidad. Método de exhausción (El método exhaustivo inscribe una sucesión de polígonos en la figura no rectilínea que se quiere cuadrar, desde una aproximación entre figuras geométricas de medida conocida, inscritas y circunscritas, que acotan la figura que se quiere conocer, dicho valor se presume como el límite). Método de reducción al absurdo.
Proposiciones	Principio de homogeneidad: solo se pueden comparar magnitudes de igual dimensión. Resultados obtenidos para casos particulares de medida superficial y medida volumétrica (por ejemplo: el área del primer ciclo de una espiral es igual a una tercera parte del área del círculo circunscrito).
Argumentos	El argumento utilizado consiste en la aplicación correcta del método de exhausción para la resolución del problema, utilizando como operación fundamental: la integración.

Componentes	Descripción
Situaciones-problema	– Procedimientos heurísticos basados en la demostración euclidiana. – Desarrollar técnicas para calcular tangentes o realizar cuadraturas. – Carencia de una teoría aritmética satisfactoria para cantidades inconmensurables. – Necesidad de demostrar. – Uso de simbolismo algebraico.
Lenguajes	Geométrico, aritmético, analítico, algebraico.
Reglas (definiciones, proposiciones, procedimientos)	– Invención y uso de la geometría analítica para solucionar problemas de cuadraturas, tangentes, máximos y mínimos. – Uso del infinito. – Uso de álgebra geométrica. – Derivadas, anti derivadas, integrales. – Introducción del símbolo ∞ para representar el infinito. – Se considera lo infinitamente pequeño. – Creación del cálculo infinitesimal. – Generalización del cálculo de cuadraturas por Newton y Leibniz, quienes manejan la operación integración como una relación inversa entre problemas de tangentes y cuadraturas.
Argumentos	Cavalieri mantiene la integración como una operación razonando al estilo griego: – Sustituye la evaluación de una suma infinita de elementos infinitamente pequeños. – Generaliza el cálculo de cuadraturas, abandona el método exhaustivo. – No da una definición explícita de indivisible. Críticas al trabajo de Cavalieri: aspectos relacionados con el continuo, el infinito y su exposición retórica, extensa e intrincados razonamientos geométricos, que hacen difícil su lectura y comprensión. Ruptura, conceptual y metodológica, del enfoque geométrico de Cavalieri, dándose una aritmetización que condujo al uso implícito del límite. Lo analítico se convirtió en el método apropiado para reemplazar la intuición geométrica en los procesos de contar y medir. Wallis: – Ruptura total con el rigor de la geometría griega y la tradición aristotélica de evitar el infinito. – Transforma el problema del cálculo de cuadraturas en el problema de hallar el área bajo la curva. – Identifica cuatro elementos que fueron importantes en la conceptualización de la integral definida. Newton: – Posiciona la operación integración como una generalización del cálculo de cuadraturas, en el ámbito de la física dinámica. – Adhiere el modelo físico-matemático para la intelección del mundo natural. – Desarrolló técnicas equivalentes a la integración por partes y a la substitución. – Construyó las primeras tablas integrales en la historia de las matemáticas. Leibniz: – Postuló que el cálculo lógico, como la construcción posible de los conceptos complejos a partir de los primitivos en virtud de la razón. – Desarrolla un cálculo lógico. – Proporciona para el nuevo cálculo, herramientas lógicas universales que son independientes del objeto de análisis, alcanzando así, una legitimidad absolutamente necesaria. Newton y Leibniz sintetizan y establecen un instrumento algorítmico sistemático conocido como cálculo infinitesimal, (cálculo diferencial newtoniano e integral leibniciano).
Relaciones	– Técnicas carentes de rigor usadas de forma heurística. – Implementación de algoritmos generales, en términos algebraicos y no geométricos, dando origen al nuevo cálculo infinitesimal. – Idea dominante, implícita, de integral indefinida como un operador cuyo desarrollo se enfocó en problemas que originaron integrales definidas. Estas segundas, originan otras, descubiertas, pero no formalizadas en este período: integrales impropias, que más tarde se formalizarían como integrales impropias de primera y segunda especie, surgen al extender la noción de integral a intervalos no acotados, y a funciones no acotadas sobre un intervalo acotado. – Newton (desarrollando tesis absolutas) y Leibniz (desarrollando tesis relativas), posicionan la operación integración como una generalización del cálculo de cuadraturas, en el ámbito de la física dinámica, estableciendo la relación inversa entre problemas de tangentes y cuadraturas. – Newton y Leibniz se adhieren al modelo físico-matemático para la intelección del mundo natural; sintetizan y establecen un instrumento algorítmico sistemático conocido como el Cálculo Infinitesimal con las siguientes características: – Unificaron en dos conceptos generales: integral y derivada, la gran variedad de técnicas y problemas que se abordaban con métodos particulares. – Desarrollaron un simbolismo y unas reglas formales de cálculo que podían aplicarse a funciones algebraicas y trascendentes, independiente de cualquier significado geométrico. – Reconocieron la relación inversa fundamental entre la derivación y la integración.

Componentes	Descripción
Situaciones-problema	– Carencia de formalización del nuevo cálculo debido a problemas de rigor y fundamentación teórica. – Reconsiderar las condiciones de integrabilidad de la función sobre un intervalo determinado. – Problemas para representar series relacionadas con la integración. – Existencia de una derivada acotada que no era Riemann integrable, (Limitaciones a la integral de Riemann). – Necesidad de establecer condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad de cualquier función. – Notación de la integral y de los extremos de integración. – Necesidad de la buena definición de función, dando origen a las integrales impropias de segunda especie. – Dificultades con las integrales de Cauchy y Riemann. – Formalización del cálculo infinitesimal (Diferencial e Integral).
Lenguajes	Analítico, algebraico, geométrico.
Reglas (definiciones, proposiciones, procedimientos)	– Des-geometrización del análisis del siglo XVIII – Desarrollo del cálculo de variaciones enfocado hacia la dinámica analítica en términos de principios extremos (como los de mínima acción o el de velocidades virtuales). – Formalización del concepto de función por Dirichlet. – Incorporación en la notación de los extremos de integración. – Definición rigurosa de la integral por Cauchy y propiedades. – Definición precisa de la integral de una función definida en un intervalo que debe ser acotado y cerrado. – Profunda revisión de la noción de integral de Riemann. – Desarrollo y formalización del concepto de integral indefinida, definida y sus extensiones, (integrales impropias). – Formalización de integrales impropias de primera y segunda especie. – Definición de funciones medibles. – Se anula la metafísica teleológica de la mecánica racional con los trabajos de Euler, Lagrange y Laplace.
Argumentos	– Se concibe el cálculo no como un algoritmo para el estudio de las curvas u otros objetos geométricos, sino como el estudio de las funciones entendidas como expresiones analíticas compuestas de variables y constantes. – Trabajo con funciones multivariadas motivado por el estudio de las trayectorias ortogonales y la mecánica del continuo. – Concepto de integral basado en el rigor y precisión, alcanzando generalización. – Se establecen condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad, no solo para funciones acotadas. – Separación definitiva del cálculo de la geometría. – Separación definitiva de la integral del cálculo diferencial, Cauchy demuestra la relación inversa de la derivada y la integral, a través del teorema fundamental del cálculo en su primera versión histórica. – La integral deja de ser una herramienta para convertirse en un nuevo concepto con problemas y métodos propios. – Rescate del legado leibniciano: las matemáticas pueden entenderse como un razonamiento desde la manipulación de símbolos, independientemente de las preocupaciones metafísicas. – Se defiende la utilidad de los símbolos para cálculos matemáticos. – Se introduce el concepto de conjuntos medibles que denomina una σ-álgebra, emerge la integral de Lebesgue.
Relaciones	Fundamentación del Cálculo Integral en tres períodos: Geométrico, en el que predominan problemas y concepciones geométricas que conlleva a la des-geometrización del análisis del siglo XVIII. – Analítico o algebraico comienza en 1740, con Euler, y alcanza su expresión final con el trabajo de Lagrange a finales de siglo. – Análisis clásico que comienza a principios del siglo XIX con los escritos de Cauchy. – Se diferencia el cálculo euleriano del cálculo leibniciano. – Desarrollo y formalización del concepto de integral definida y sus extensiones (integrales impropias). – Formalización de la integral impropia por DeMorgan con series convergentes. – Estudio de funciones, simples y multivariadas, en lugar de curvas y superficies. – Posicionamiento de una definición analítica de integral definida para funciones continuas, a través de los conceptos de límite, función y convergencia. – Definición de funciones medibles. – Se establecen condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad de cualquier función. Formalización de: – Las ecuaciones diferenciales parciales, – El cálculo de variaciones, – La mecánica analítica, – El carácter algebraico del cálculo diferencial e integral – Riemann, Darboux y Lebesgue construyen un cálculo más profundo y riguroso, establecen las condiciones necesarias y suficientes para la integrabilidad. – Nuevas integrales: Denjoy-Perron y de Henstock-Kurzweil

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