Mathematical sequences in the Mexican curriculum in middle school

Nuñez-Gutierrez, Karina; Cabañas-Sánchez, Guadalupe

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Sumário

ARTÍCULO • Bolema 37 (77) • Oct-Dec 2023 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v37n77a15 copy

Mathematical sequences in the Mexican curriculum in middle school

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Abstract

In this article, the meanings of mathematical sequences in natural numbers were examined through their conceptual structure, representations, and modes of use in the middle school mathematics curriculum in Mexico and in fourteen textbooks used for teaching and learning mathematical sequences in this school level. For this purpose, we carried out a didactic analysis focused on the dimension of mathematical content (RICO et al., 2008; RICO, 2012; RICO, MORENO, 2016). The results show that, in Mexico, the topic of mathematical sequences is addressed from elementary to middle school and the teaching proposals address the use of multiple representations and applications in other disciplines. The meanings of the mathematical sequences examined in the Mexican curriculum are conceptual, procedural, representational, and contextual.

Content Analysis; Sequences; Curriculum; Textbook; Middle School

Organizador Curricular
Estructura Conceptual			Sistemas de representación	Sentido y Modos de uso
Campo conceptual	Campo procedimental	Campo Actitudinal	Numérico Tabular Algebraico Gráfico Verbal	Términos Contextos Fenómenos Situaciones
1. Hechos 2.Conceptos 3. Estructuras matemáticas	1.Destrezas 2.Razonamientos 3. Estrategias	Emociones Normas Valores	Numérico Tabular Algebraico Gráfico Verbal	Términos Contextos Fenómenos Situaciones

Grado de secundaria	Editoriales	Cantidad de libros de textos analizados	Cantidad de tareas sobre sucesiones
Primero	Larousse, Santillana, SM e Innovat	5	36
Segundo	Fernández editores, Larousse, SM, Innovat y Esfinge	6	58
Tercero	SM, Esfinge y Correo del Maestro	3	31
	Total	14	125

Grado	Aprendizaje esperado	Orientaciones didácticas
Primero	· Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de la sucesión que representan.	De la primaria a la secundaria: el paso a la simbolización algebraica: se avanza en el estudio de las sucesiones dando paso a la descripción de las regularidades por medio de una expresión algebraica.
		Formulación y uso de expresiones algebraicas: respecto a las sucesiones, las literales se introducen para representar números generales y en este grado se plantean y resuelven problemas de sucesiones cuyas expresiones algebraicas tienen la forma 𝑎𝑥+𝑏.
		Uso de TIC: la hoja de cálculo favorece el trabajo con el análisis de relaciones entre expresiones algebraicas de sucesiones de números.
Segundo	· Verifica algebraicamente la equivalencia de expresiones de primer grado, formuladas a partir de sucesiones. · Formula expresiones de primer grado para representar propiedades (perímetros) de figuras geométricas y verifica equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente (análisis de las figuras).	Hacia la equivalencia de expresiones algebraicas: verifiquen la equivalencia de expresiones, cuando estas representen la regla de una misma sucesión. Para este fin es recomendable recuperar ejemplos tratados en el primer grado (u otros parecidos) y explicar la equivalencia con base en el hecho de que las distintas expresiones algebraicas representan la misma sucesión.
Segundo		Figuras geométricas y equivalencia de expresiones: el cálculo del área y el perímetro de figuras, usando literales para representar las dimensiones, permite relacionar la representación geométrica con la algebraica proporcionando un terreno fértil para ensayar, conjeturar y validar las múltiples representaciones algebraicas de una misma situación y establecer su equivalencia.
Tercero	· Formula expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas y verifica la equivalencia de expresiones, tanto algebraica como geométricamente. · Diferencia las expresiones algebraicas de las funciones y de las ecuaciones.	· Algunos problemas de cálculo de áreas de figuras constituyen un campo fértil para obtener expresiones algebraicas y determinar su equivalencia. · A partir de la discusión de la equivalencia de las expresiones algebraicas, es conveniente tratar aspectos importantes de la representación simbólica de las literales que surgen en el proceso del establecimiento de la equivalencia, como la multiplicación y la factorización de expresiones algebraicas y la simplificación de términos semejantes. · En este grado es importante establecer la equivalencia de las fórmulas para el cálculo del área de figuras geométricas como el triángulo, el rombo, el trapecio y los polígonos regulares. Es un momento apropiado para enfatizar la jerarquía de operaciones.

Primer año	Segundo año	Tercer año
Términos
Sucesión. Expresión general/fórmulas/reglas. Conjunto ordenado. Progresión. Progresión aritmética. Progresión geométrica. Patrón. Diferencia. Término general y particular.	Sucesión. Regla general algebraicas/expresiones algebraicas. Sucesiones numéricas. Patrón. Progresiones aritméticas. Término. Diferencia.	Expresión algebraica. Ecuación de segundo grado o cuadráticas. Término. Consecutivos. Incremento. Regularidades. Constante. Área. Binomios. Variables.
Notaciones
d (diferencia) α_n (término general) $a_{n} = a_{1} + (n - 1) * d$ (término general) $a_{n} = a_{k} + (n - k) * d$ (cualquier término) α₁,α₂,α₃,...,α_n n (posición del término) α_k (término)	α_k (término) α₁ (primer término de la sucesión) n (posición del elemento) α_n (número de elementos) $a_{n} = a_{1} + (n - 1) * d$ (sucesión aritmética)	$y = a x^{2} + b x + c (sucesión$ α, b,c coeficientes Binomios: $a (a + b) = a^{2} + a b$ $(a \pm b) = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ $(a + b) (a + c) = a^{2} + (b + c) a + b c$
Convenios
Patrones numéricos y geométricos. Visualización. Tabulación. n - ésimo término, la letra “ n ” representa cualquier número natural. Expresiones algebraicas de primer grado.	n - ésimo término. Tabulación. Equivalencia de expresiones algebraicas de primer grado. Manipulaciones algebraicas convenientes	Tabulación. Representación gráfica. Equivalencia de expresiones algebraicas cuadráticas.
Resultados
La sucesión donde la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.	La sucesión aritmética obtiene todos sus términos sumando al anterior un número fijo llamado diferencia, excepto al primer término.	En las sucesiones cuadráticas el aumento en una de las variables no es proporcional al aumento de la otra variable.

Primer año	Segundo año	Tercer año
Conceptos
Sucesión numérica	Sucesión Sucesión aritmética Sucesión lineal	Sucesión cuadrática

Estructuras

Definición de sucesión en los números naturales, φ( n ) = n , para todo n ∈ N
Término general de una sucesión {α_n}.
Finitud ${F_{n}}_{n = k}^{\infty} (infinita)$
Acotación.
Recurrencia.
Convergencia.
Progresiones aritméticas de orden superior: $a_{n} = c_{0} x^{p} + c_{1} x^{p - 1} + \dots + c_{p - 1} x + c_{p}$
Diferencias finitas: $Δ u_{0} = u_{1} - u_{0}, Δ u_{1} = u_{2} - u_{1}, \dots, Δ u_{n} = u_{n} - u_{n - 1}, u_{n + 1} - u_{n}, \dots$

Propiedades	Características
Monotonía	Estrictamente creciente
Finitud	Infinita
Acotación	No acotada
Convergencia	Divergente
Recurrencia	De orden 2 o 3

Primer año	Segundo año	Tercer año
Destrezas
Representar algebraicamente la regla general de una sucesión con constante aditiva a partir del lugar que ocupa un término de la sucesión.	Representar mediante expresiones algebraicas equivalentes la regla de sucesiones aritméticas.	Representar algebraicamente expresiones de segundo grado para representar propiedades del área de figuras geométricas
Razonamiento
Razonamiento Matemático (inductivo, deductivo y analógico): Análisis de figuras como terreno útil para la formulación de conjeturas o hipótesis y su validación. Determinar el término k-ésimo de la sucesión. Determinar expresiones algebraicas de las sucesiones de figuras o numéricas. Validar las expresiones algebraicas en casos conocidos de la sucesión.
Estrategias
Arreglos geométricos y descomposición de figuras. Organización de tablas. Recurrencia.

Grado	Gráfico	Verbal	Numérico	Pictórico	Tabular	Algebraico
Primero	0	8	26	56	26	12
Segundo	0	4	23	28	18	58
Tercero	7	6	0	21	5	31

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