Adaptation and Validation of an Instrument to Measure the Concept of Variables for University Students

Alcaraz-Rivera, Miguel; Eccius-Wellmann, Cristina; Yáñez, Pedro Saúl Orenday

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Sumário

ARTÍCULO • Bolema 37 (77) • Oct-Dec 2023 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v37n77a16 copy

Adaptation and Validation of an Instrument to Measure the Concept of Variables for University Students

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Abstract

University students make algebraic errors whose source is probably an incorrect or inappropriate use of variables. It is interesting for Mathematics Education to have an instrument that identifies the uses and characterizations of the variable that presents the greatest difficulty. This work’s objective is to adapt and validate an instrument that meets these characteristics. The instrument questions represent the complexity of the mathematical object variable with three partial meanings: variable as unknown, variable as a general number, and variable in functional relation. The characterizations address levels of abstraction ranging from interpretation to manipulation and symbolization. For the validation, the questionnaire is applied to 251 business school freshmen at a private university in Guadalajara, Mexico. Those items with low commonalities and that in a factorial analysis show either unstable factors or distribution in multiple factors are discarded, generating a reduced questionnaire that is applied to 129 students. The reliability of the new questionnaire is good with a Cronbach’s alpha of 0.808. Its validity is verified with eleven factors related to the different characterizations of the three uses of the variable, which explain 75.68% of the total variance.

Algebra; Variable Concept; Measuring Instrument; Mathematics

Los lápices azules cuestan 5 pesos mientras que los lápices rojos cuestan 6. Al comprar cierta cantidad de lápices azules y rojos me gasté 90 pesos. Si α es el número de lápices azules y r el número de lápices rojos, ¿qué se puede concluir sobre α y r?

G3. Interpretar a y r como variables simbólicas (número de lápices azules y número de lápices rojos) a las que se puede multiplicar por su costo para obtener el costo total de cada tipo de lápices.
F1. Reconocer la correspondencia entre lápices azules (a) y lápices rojos (r)
F6. Expresar el costo de la compra de los lápices azules y rojos como una relación funcional relación funcional 5a+4r = 90
F4. Reconocer la variación conjunta de a y r para obtener el gasto total 5a + 4r = 90
Se considera que la caracterización principal que define el objetivo de este ítem es expresar el costo como una relación funcional (F6).

Constructo	Dimensión (usos de la variable entendidos como significados parciales)	Indicadores (caracterizaciones de la variable)
Concepto de la variable	Variable como incógnita	I1. Reconocer e identificar en un problema la existencia de algo desconocido que se puede determinar I2. Interpretar la variable simbólica que aparece en una ecuación como un ente que puede tomar valores específicos. I3. Sustituir el o los valores de la variable que hacen que la ecuación sea verdadera. I4. Determinar la incógnita que aparece en ecuaciones o problemas, llevando a cabo las operaciones algebraicas o aritméticas necesarias. I5. Identificar la incógnita en una situación específica y representarla simbólicamente en una ecuación.
	Variable como número general	G1. Reconocer patrones y reglas en secuencias numéricas y en familias de problemas. G2. Interpretar la variable simbólica como un ente que puede tomar cualquier valor. G3. Interpretar la variable simbólica como un objeto indeterminado que se puede operar. G4. Manipular el símbolo para simplificar o desarrollar expresiones algebraicas. G5. Desarrollar la idea de método general distinguiendo los elementos variables de los invariantes en familias de problemas similares, hasta llegar a la simbolización de un método general sobre el cual éste actúa.
	Variable en relación funcional	F1. Reconocer la correspondencia entre cantidades en sus diferentes representaciones: tabla, gráfica, problema verbal o expresión analítica. F2. Determinar los valores de la variable dependiente cuando se conocen los de la variable independiente. F3. Determinar los valores de la variable independiente cuando se conocen los de la variable dependiente. F4. Reconocer la variación conjunta de las variables que intervienen en una relación en cualquiera de sus formas de representación. F5. Determinar los intervalos de variación de una de las variables cuando se conocen los de la otra. F6. Expresar una relación funcional de manera tabular, gráfica, y/o analítica, a partir de los datos de un problema.


1) Ordene de menor a mayor las siguientes expresiones: 𝑛 11, 𝑛 77, 𝑛 , 𝑛 22. K	2) Ordene de menor a mayor las siguientes expresiones: 𝑛 55, 2 𝑛 , 00, 𝑛 22. . K. Se agrega el elemento 0 para el análisis de su integración en el ordenamiento.	3) Ordene de menor a mayor las siguientes expresiones: 2n, -7n, n, 8n. Elaboración propia. Se agrega una variación de los problemas 1 y 2, en el que se incluye una cantidad con coeficiente negativo.
4) Duplique el valor de las siguientes expresiones: 𝑛 , 𝑛 4, 3 𝑛 , 3 𝑛 66. K	5) Si 𝑥 + 𝑦 = 20 ¿a qué es igual? a) 𝑥 + 𝑦 + 20, b) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 a) K b) Elaboración propia. Variación del problema 5a en el que se suma una variable extra en vez de una constante a la expresión de la que se conoce el valor.	6) Complete la siguiente tabla: 6a) K. Aunque fue descartado por Küchemann en su versión final del cuestionario por considerarlo confuso, lo consideramos valioso por la inducción que se debe realizar para su resolución. Se modificó el planteamiento para evitar ambigüedades. 6b) Mismo caso que el 6a. 6c) Elaboración propia. Variación del problema 6a y 6b en el que se suma un número con su recíproco aditivo.
7) Calcule el área de las siguientes figuras: K . Se agregan líneas de medidas para que los datos del problema sean más específicos.			8) Exprese el perímetro de las figuras utilizando los datos que se proporcionan, la figura ( b ) no se ve completa, pero tiene n lados que tienen la misma longitud. K. 8b) Se modifica la figura y el enunciado para que quede más clara.


9) Las lechugas cuestan 8 pesos la pi eza y los jitomates 6 pesos la pieza. Si ι es la cantidad de lechugas compradas y j la cantidad de jitomates comprados, a) ¿qué significado tiene la expresión 8𝑙 + 6𝑗? b) ¿cuántas verduras se compraron en total? K .	10) ¿Qué se puede concluir sobre x si 𝑥 = 𝑦 + 𝑧 y 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 50? K.		12) Se sabe que 𝑦 = 𝑥 + 5, y x tiene valores entre 5 y 20. a) ¿Cuál es el máximo valor que puede tener y? b) ¿Qué rango de valores puede tener y? Elaboración propia. Intervalos de variación cuando se conoce el intervalo de variación de “x”.
	11) Se sabe que 𝑦 + 𝑥 = 15, ¿qué valores puede tener x si y tiene valores entre 10 y 20? Elaboración propia. Intervalos de variación cuando se conoce el intervalo de variación de “y”.
13) Las dos intersecciones de la parábola de la figura con el eje x están dadas por la fórmula, $x = \frac{- k \pm \sqrt{k^{2} - 40}}{2}$ . ¿De las dos intersecciones dadas, cuál es el valor de la intersección que está más a la izquierda?			14) Las dos intersecciones una cierta parábola con el eje x están dadas por la fórmula, $x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 16 k}}{2 k}$ . ¿De las dos intersecciones dadas, cuál es el valor de la intersección que está más a la izquierda? Elaboración propia. Mismo caso que el anterior, sin embargo, el signo de k influye.
Elaboración propia. Problema que utiliza variables en funciones cuadráticas, en particular en la fórmula cuadrática.
15) ¿Cuál es el valor de y si x vale 5 en la siguiente expresión? $y = \frac{(x + 5) (x - 5)}{x - 5}$ Elaboración propia. Revisar casos especiales en simplificación de expresiones algebraicas racionales		17) El número de diagonales que se pueden trazar a partir de un punto en una figura parecida a la de la imagen se puede calcular restando tres al número de lados. a) ¿Cuántas diagonales tiene una figura de 6 lados? b) ¿Cuántas diagonales tiene una figura de 47 lados? c) ¿Cuántas diagonales tiene una figura de n lados? K.
16) ¿Qué puede concluir del resultado de la operación $\sqrt{- x}$ ? Elaboración propia. Revisar la concepción de raíz cuadrada.
18) ¿Qué se puede decir de c si c y d son números positivos, c + d =10 , y c es menor que d ? K.		19) ¿Cuáles de las siguientes figuras tienen el mismo perímetro que la figura de la izquierda? Elaboración propia. Revisar la intuición en el cálculo de perímetros ante la presencia de variables.


20) Ana gana $2000 a la semana, y además le pagan $200 por cada hora extra que trabaje. Si h es el número de horas extras que trabaja en una semana y S es su salario total por semana, escriba una ecuación que relacione S con h. K.	21) Si , ¿cuánto cambia y si x aumenta 2? K.		24) Los lápices azules cuestan 5 pesos mientras que los lápices rojos cuestan 6. Al comprar cierta cantidad de lápices azules y rojos me gasté 90 pesos. Si α es el número de lápices azules y r el número de lápices rojos, ¿qué se puede concluir sobre α y r ? K.
	22) Si , ¿cuánto cambia ƒ si z aumenta en 2? K.
	23) Si se sabe cierto para x = 6, ¿qué valor debe tener x si K.
25) De las dos máquinas que se muestran a continuación, la máquina de arriba puede ser alimentada por cualquier número y se van aplicando las operaciones indicadas en las cajas. ¿Se puede diseñar una máquina tal que si se alimenta con el mismo valor que la máquina de arriba se obtenga el mismo resultado utilizando las operaciones indicadas en la máquina de abajo? K. Se modifica la redacción y la figura para clarificar el objetivo del item.			26) Se tiene un terreno cuadrado de 25 metros de largo y 25 metros de ancho, se quiere quitar un pedazo a la base de manera que el área del terreno quede de 650 metros cuadrados. ¿De qué tamaño debe ser el fragmento de base que se debe eliminar? Elaboración propia. Revisar el razonamiento sobre variación conjunta.
27) En una granja hay 120 vacas, algunas son completamente negras, otras completamente blancas y otras negras con blanco. Se sabe que hay α vacas completamente negras, y que son un tercio del total, hay b vacas completamente blancas y el resto c son negras con blanco. ¿Es verdadero o falso que c siempre tiene un valor de 40? Elaboración propia. Misma justificación que el anterior.		28) El volumen de un prisma rectangular está dado por 𝑉 = 𝑏 × ℎ × 𝑙 . ¿Qué se puede concluir del volumen si b aumenta y h disminuye? Elaboración propia. Misma justificación que el anterior. 29) Una conversión aproximada de grados °C a °F se logra al multiplicar por dos y sumar treinta. Escriba la fórmula que logra esta conversión. Elaboración propia. Revisar el uso de variable en funciones.

Indicador	I-1	I-2	I-3	I-4		I-5
Número de Ítem			5a, 26	5b		17ab, 23
Indicador	G-1	G-2	G-3	G-4		G-5
Número de Ítem	7a	1, 2, 3, 6abc	10, 19a	4, 7bc, 8a		9ab, 8b, 14, 17c, 19b, 19c
Indicador	F-1	F-2	F-3	F-4	F-5	F-6
Número de Ítem	29	12a	11	18, 21, 22, 27,28	12b	13, 20, 24, 25

Estadísticas de fiabilidad
Alfa de Cronbach	N de elementos
,818	41

Medida Kaiser-Meyer-Olkin de adecuación de muestreo		0.770
Prueba de esfericidad de Bartlett	Aprox. Chi-cuadrado	6491.635
	gl	820
	Sig.	,000

	Componente
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
P2	,000	-,062	-,064	,025	,004	-,007	,899	-,012	,007	-,043	,050	,030
P3	,060	-,114	-,044	,086	-,026	,026	,898	-,066	-,040	-,024	,016	-,027
P5a	,188	-,143	-,060	,062	,080	-,934	-,022	,013	-,019	-,030	-,016	,154
P5b	,155	-,276	-,137	,093	,108	-,922	,013	-,008	,030	-,012	-,066	,205
P6a	,124	-,934	-,061	,111	,169	-,152	,079	,044	-,064	-,001	-,072	,163
P6b	,108	-,936	-,048	,049	,222	-,223	,119	,102	-,060	-,007	-,079	,139
P6c	,144	-,960	-,072	,113	,180	-,221	,081	,032	-,053	,005	-,049	,207
P7a	,036	-,138	-,207	,760	,047	,043	-,040	-,005	-,179	-,223	-,043	-,004
P7b	,097	-,119	-,117	,858	,025	-,035	,022	-,010	-,172	-,094	-,012	,102
P7c	,139	-,050	,026	,713	,058	-,101	,158	,287	-,205	,083	-,029	,127
P8a	,308	,006	-,066	,628	,192	-,261	,093	,198	-,189	,135	-,017	,090
P9a	,191	,006	-,085	,107	,070	,035	-,030	,814	-,134	,097	,007	,015
P9b	,231	-,103	,015	,141	,050	-,066	-,028	,756	-,096	,028	,043	,163
P11	,118	-,085	,011	,094	,121	-,050	,033	,097	-,745	,098	-,164	-,083
P12a	,164	,008	,035	,272	,197	-,057	-,030	,099	-,667	-,059	-,061	,191
P12b	,110	-,027	,127	,186	-,013	,075	,049	,144	-,826	-,039	,059	,074
P14	,045	-,038	,031	-,173	-,005	-,005	-,002	-,041	-,029	,806	,058	-,001
P17a	,922	-,102	-,195	,076	,158	-,161	,038	,167	-,136	,064	,052	,145
P17b	,933	-,111	-,182	,115	,116	-,190	,028	,195	-,122	,068	,067	,130
P17c	,920	-,132	-,108	,236	,188	-,171	,048	,186	-,192	,127	,015	,125
P18	,083	,066	-,130	,092	,093	,040	-,060	,157	,035	,734	-,090	-,065
P19a	,136	-,122	-,767	,130	,056	-,006	,108	-,031	,114	,062	-,021	,144
P19b	,165	-,044	-,908	,079	,074	-,087	,003	,049	,043	,033	-,005	,070
P19c	,198	-,010	-,876	,099	,119	-,157	,032	,024	,018	,057	,022	,133
P21	,264	-,260	-,156	,141	,432	-,254	-,006	,074	-,257	,090	-,059	,776
P22	,072	-,147	-,128	,055	,054	-,149	,006	,098	,028	-,073	-,147	,906
P24	-,124	-,085	-,091	,025	,027	-,147	,006	,017	-,058	,015	-,804	,107
P25	,047	-,028	,057	,031	,205	,064	-,068	-,038	-,053	,003	-,743	,075
P26	,136	-,199	-,112	,063	,720	-,106	-,020	-,032	-,025	,155	-,186	,141
P27	,067	-,170	-,074	,034	,826	-,069	-,016	,118	-,151	,001	-,206	,132
P28	-,037	-,122	,091	,022	,292	-,156	-,008	,483	-,216	,105	-,540	-,002
P29	,196	-,135	-,045	,085	,878	-,104	,018	,111	-,120	,009	-,013	,137

Factor	1	2	3	4	5
Ítems	17ª,17b,17c,24	6ª,6b,6c	19ª,19b,19c	26,27,29	2,3
6	7	8	9	10	11
9ª,9b,28	7ª,7b,7c,8ª	5ª,5b,	21,22,25	11,12ª,12b	14,18

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