Contribution of the Hermeneutic Circle of Understanding to Development of Ethical Interpretation in Mathematics Classroom

Quintanilla, Verónica A.; Gallardo, Jesús

doi:10.1590/1980-4415v35n69a14

Verónica A. Quintanilla E-mail: veronicaquintanilla@uma.es.

Doctora en Didáctica de la Matemática por la Universidad de Málaga (UMA). Profesora de Didáctica de la Matemática. Departamento de Didáctica de la Matemática, de las Ciencias Sociales y de las Ciencias Experimentales de la Universidad de Málaga (UMA), Málaga, España.

http://orcid.org/0000-0003-4939-9406

Jesús Gallardo E-mail: gallardoromero@uma.es.

Doctor en Didáctica de la Matemática por la Universidad de Málaga (UMA). Profesor de Didáctica de la Matemática. Departamento de Didáctica de la Matemática, de las Ciencias Sociales y de las Ciencias Experimentales de la Universidad de Málaga (UMA), Málaga, España.

http://orcid.org/0000-0003-0117-2173

E-mail: veronicaquintanilla@uma.es.

E-mail: gallardoromero@uma.es.

Alumno	Composición 1	Composición 2	Composición 3
A1	Cuadrado, octógono, eneágono, triángulo (Ob). Me parece bonito, pero no muy geométrico (Cu).	Círculo, cuadrado, medio círculo (Ob). Me parece una figura ordenada y encajada. Me parece limpio y bonito (Cu).	Círculo, rombo, romboide, triángulo, segmento (Ob). Limpio, bonito, ordenado y muy bien encajado (Cu).
A2	Eneágono, cuadrilátero, triángulo, heptágonos, cuadrados (Ob). Ha sido construido con la herramienta polígono (Ins). Me recuerda a una fábrica (Cu).	Cuadrados, semicírculos, puntos, conos (Ob). Herramienta circunferencia y polígono (Ins). Me parece geométricamente correcto y se parece al león (Cu).	Rombos, círculos, triángulos (Ob). Simetría axial y polígonos (Ins). Entretiene con tantos colores y figuras (Cu).
A3	Hay tres triángulos, un eneágono, un octógono, un heptágono, un cuadrado y un trapecio. Lo que tiene en negro es un rectángulo (Ob). Cómo se hace: he hecho un rectángulo y primero he puesto un triángulo y después he puesto varios polígonos de varios lados (Pr).	Hay cinco cuadrados, tres círculos, cuatro arcos de circunferencia, sectores circulares (Ob). Cómo se hace: primero habrá empezado por los ojos, después por la nariz, después por la boca y, por último, las orejas (Pr).	Tiene un montón de rombos, triángulos y círculos con colores (Ob). Cómo se hace: Primero hace un rombo, después otro rombo al lado y dos triángulos arriba y abajo y luego un círculo encima del triángulo de arriba y debajo del triángulo de abajo. Y así sucesivamente (Pr).
A4	Tiene eneágonos, cuadrados, triángulos y un cubo (Ob). Lo podría haber construido con segmentos, con polígonos o con polígonos regulares (Ins). Tiene una figura en 3D, pero las demás son planas y no tiene mucho sentido (Cu).	Hay cuadrados, mitades de círculos, rectángulos y círculos (Ob). Creo que lo ha hecho con segmentos o polígono (Ins). Me parece muy geométrico y me encanta el diseño (Cu).	Hay triángulos y círculos (Ob). Creo que lo ha hecho con polígonos (Ins). Me parece muy geométrico y a la vez muy bonito. Muy colorido (Cu).
A5	Está hecho por hexágonos, triángulos, pentágonos, cuadrados (Ob). Está bien (Cu).	Está hecho por cuadrados y rectángulos (Ob). Está muy chula, me encanta el diseño (Cu).	Está hecho por cosas geométricas (Ob). Es un pájaro comiendo semillas. Está muy chulo (Cu).

1	Profesor: ¿Si tuvieseis que elegir una…?	No se usan conocimientos matemáticos en la argumentación. No se reconoce el valor de los análisis propios.
2	Grupo: La de A4.
3	A1: Porque siendo de A4, ya está mejor.
4	Profesor: Pero alguna razón habrá.
5	A1: Estaría perfectamente y aparte de decir lo que piensa, dice lo que podría mejorar.
6	Profesor: ¿Y de las vuestras no rescatáis nada?
7	A1: No, las nuestras están fatal.
8	A2: Sólo lo que ha dicho A4 y ponerlo de otro color.
9	Profesor: A3, ¿tú qué dices? ¿También elegirías la de A4?
10	A3: [Sonríe y asiente con la cabeza]
11	Profesor: A5, ¿tú qué elegirías?	No se usan conocimientos matemáticos en la argumentación. No se reconoce el valor de otros análisis.
12	A5: La mía.
13	A3: ¡Hombre, porque la tuya la has escrito tú!
14	A5: Porque la he hecho yo.
15	Profesor: ¿Pero tiene la tuya algo que no diga A4?
16	A4: Mala letra.
17	Grupo: [Risas]
18	Profesor: ¿Y no os parece una buena opción ir por todas las descripciones eligiendo palabras distintas…?	Se usan conocimientos matemáticos para excluir otros posibles análisis.
19	A2: No lo veo.
20	A1: No, no, no lo veo. Mira [Lee la descripción de A4]: “Tiene una figura en tres dimensiones, pero las demás son planas y no tiene mucho sentido”. [Lo justifica] Es que esto [la figura] está muy chico y no tiene mucho sentido. [Continúa leyendo] “Lo podría haber construido con segmentos, con polígonos o con polígonos regulares. Tiene eneágonos, cuadrados, triángulos y un cubo”. ¡Más perfecto que eso…!

31	A2: El de A1.	Se usan conocimientos matemáticos (aspectos geométricos informales) para justificar y anteponer el análisis propio. No se reconoce suficientemente el valor de otros análisis.
32	A1: [Centrándose en su propio análisis] La frase de “limpio, bonito, ordenado y muy bien encajado” tiene que entrar, porque rima. Y porque está muy bien explicado matemáticamente.
33	Profesor: ¿Qué más cosas?	Se mantiene la predisposición al consentimiento con el otro mediante el reconocimiento de diferentes análisis.
34	A6: Yo, de A2.
35	A3: Yo el de A1.
36	Profesor: A4, ¿tú?
37	A4: A1, A2.
38	A1: La fusionamos y sale una cosa buena.
39	Profesor: ¿A qué conclusión llegamos entonces?	Se usan conocimientos matemáticos en la argumentación.
40	A1: Una frase de A2 y después mi frase de “limpio, ordenado y muy bien encajado”. [Dirigiéndose a A2] Y tu frase, ¿cuál? Dila.
41	A2: Entretiene con tantos colores y figuras.
42	A1: No, que A2 diga lo que hay, por si hay círculos, cuadrados, …
43	A2: Yo he puesto: “rombos, círculos, triángulos”
44	Profesor: ¿Y lo que dice A3, de cómo se construye la figura?	Se mantiene la predisposición al consentimiento con el otro mediante el reconocimiento de diferentes análisis.
45	A1: Eso también se debería meter. Eso está bien. Encima de todo lo que le ha costado para decir eso. Porque yo me lio.
46	A4: A1, A2 y A3.

Estudiante	Teselación 1	Teselación 2	Teselación 3
E1	La figura es un triángulo. Ha utilizado traslación, simetría axial y simetría central (Ob). Ha tenido que utilizar la acción de polígono y ha hecho un triángulo. Lo ha trasladado y ha hecho simetría axial y central (Pr). Las herramientas que utiliza son: polígono, traslación, simetría axial y central (Ins). Está guapo ya que de un triángulo saca hexágonos (Cu).	La figura es un hexágono (Ob). Ha utilizado la acción de polígono, ha hecho un hexágono, lo ha trasladado y luego ha utilizado la simetría axial (Pr). No me gusta, ya que no tiene nada en especial (Cu).	La figura es una E y la otra es (Ob): Ha utilizado el polígono, luego la simetría axial (Pr). Polígono, simetría axial (Ins). Me gusta. Tiene forma curiosa y es muy acogedor a la vista (Cu).
E2	Triángulo (Ob). Primero se dibuja un triángulo. Luego, se traslada usando la traslación central. Se quitan los puntos y se colorean los triángulos (Pr). Traslación central (Ins). Está muy bonito y además lo he hecho yo (Cu).	Hexágonos (Ob). Primero tienes que dibujar un hexágono y trasladarlo usando la traslación central. Se seleccionan todos y se colorean todos a la vez (por filas) (Pr). Es precioso (Cu).	La figura es una E y la otra es (Ob): Polígono, simetría axial (Ins). No me gusta. Está muy cargado (Cu).
E3 y E4	Triángulos, pentágonos, rombos, rectángulo (Ob). Primero haría triángulos pequeños y pondría dos de pico juntos y luego de base separados (Pr). Simetría axial, simetría central, colores, punto y polígono (Ins). Me parece muy curioso, porque depende cómo lo mires, puedes ver diferentes formas geométricas (Cu).	Pentágonos, rombos, triángulos, cuadrado (Ob). Primero dibujaría un pentágono, después copiaría uno al lado del otro y lo iría copiando hacia abajo y los lados (Pr). Punto, polígono, traslación, inversión, color (Ins). Juntando los pentágonos puedes llegar a hacer triángulos y rombos y me parece algo significativo (Cu).	Cuadrados, rectángulos (Ob). Haría cuadrados y los pegaría hacia abajo y los lados. Y pondría rayas en la mitad de los cuadrados. Luego colorearía (Pr). Simetría axial, punto y colores (Ins). Es interesante y muy ordenada (Cu).

1	Profesor: ¿Qué podemos hacer con estas descripciones? Tendremos que llegar a algún acuerdo.	Se usan conocimientos matemáticos en la argumentación. Predisposición al consentimiento con el otro al reconocerse otros posibles análisis.
2	E1: Crear una nueva, ¿no? Entre todas las opciones, cogemos las mejores en cada categoría.
3	E3: Yo haría eso. Por ejemplo, hay algunas que se parecen… porque todo el mundo ha puesto triángulos.
4	E4: Porque os habéis copiado de mí.	Predisposición al consentimiento con el otro frente a no reconocer el valor de otros análisis.
5	E3: Si todos tenemos lo mismo, no quiere decir que nos hayamos copiado.
6	E2: Que pensamos lo mismo.
7	Profesor: ¿Cuál elegimos?	Se usan conocimientos matemáticos en la argumentación.
8	Todos: Triángulos.
9	E2: O sea, los hexágonos se forman de poner los triángulos de esa manera, pero no forman parte de la figura. Es el espacio que tienen entre los triángulos.
10	E4: Son pentágonos.	Se usan conocimientos matemáticos en la argumentación para contribuir a resolver una discusión.
11	Todos: No, son hexágonos.
12	E4: ¡Qué no!
13	E2: Tienen seis lados, E4.
14	E4: E3, por tu culpa.
15	E2: Es un triángulo solo.	Se usan conocimientos matemáticos en la argumentación.
16	Profesor: ¿Estáis de acuerdo?
17	Todos: Sí.
18	Profesor: Y luego, ¿qué tipo de movimiento se ha utilizado? Porque E1 dice simetría axial y central, E2 habla de traslación central…
19	E2: A ver, yo lo hice con la traslación central.
20	E1: Dirás, simetría central.
21	E2: Que le das a la figura y luego le das al pico, a la esquina, y se pone así.
22	E1 y E4: Eso es simetría.
23	E2: Pues, simetría central.
24	Profesor: ¿Y respecto a las cualidades matemáticas de la figura?
25	E3: Yo he puesto que me parece muy curioso, porque depende de cómo lo mires, puedes ver diferentes formas geométricas.
26	Profesor: Como por ejemplo…
27	E4: Los rombos.
28	E3: Triángulos de diferentes medidas.
29	E1: A ver, yo he puesto que está guapo porque de un triángulo se sacan hexágonos.
30	Profesor: Oye E2, ¿hacerlo tú es una cualidad de la figura?	No se usan conocimientos matemáticos en la argumentación. No se reconoce el valor de otros análisis.
31	E2: ¡Claro! Le da puntos extra.
32	E4: Que es muy fea porque la ha hecho E2. Al hacerla E2 ya está fea.

33	E4: La ha hecho E2.	Se usan conocimientos matemáticos en la argumentación para evitar la discusión. Predisposición al consentimiento con el otro.
34	E3: ¡La he hecho yo! Esta la hice yo con E2, pero yo participé más que E2.
35	E2: Bueno, vamos a tener una conversación matemática.
36	Profesor: ¿Qué objetos base son los que se utilizan para crear esta teselación?
37	Todos: Hexágonos.
38	E2: Algunos han puesto pentágonos, maestro. Yo no he sido.	No se reconoce el valor de otros análisis.
39	E3: Sí, es que me equivoqué. Vale, no sabemos contar en esta clase.
40	E1: No sabrás contar tú.
41	E3: No sabemos. Y no te estoy metiendo a ti.
42	Profesor: Bueno, ¿cómo se construiría la figura?	Se usan conocimientos matemáticos en la argumentación. Predisposición al consentimiento con el otro.
43	E2: Con una traslación.
44	E4: Que no, que no es una traslación. Se llama simetría.
45	E2: Pues simetría.
46	E4: Con la simetría central, ¿no? ¡Axial!
47	E1: Central.
48	E4: ¿Por qué central?
49	E1: Porque es sobre un punto. Si es sobre un punto, es central. Si es sobre una recta, es axial.
50	E3: Sí, sí, nosotros hicimos el punto.
51	Profesor: ¿Y la segunda fila cómo la hacéis? ¿También simetría central?
52	E3: Sí.
53	Profesor: ¿Y dónde tocáis…?
54	E2: En el punto de la derecha, creo. O en el de la izquierda, no me acuerdo.
55	E4: Por eso yo creo que es simetría axial.
56	E2: Ah, yo he puesto traslación. Me he confundido, maestro. Me he confundido.
57	Profesor: ¿Y lo que dice E4 está bien?
58	Todos: Sí.
59	Profesor: ¿Y qué os parece la figura? Escuchemos a E3.	No se reconoce el valor de otros análisis.
60	E4: Yo paso de escucharla.
61	Profesor: Hacéis una figura…
62	E3: Y sacamos otra.
63	Profesor: ¿Alguna otra característica matemática?
64	E1: A ver, ¿cuál?
65	E4: Tiene seis hexágonos para abajo, seis para el lado y son hexágonos.	Se usan conocimientos matemáticos en la argumentación.
66	E2: Claro. Y entonces, concuerda seis y seis. Y queda estético.	Se usan conocimientos matemáticos en la argumentación.

[1] E-mail: veronicaquintanilla@uma.es.

67	Profesor: Bueno, vamos a seguir el orden de las otras composiciones.	Se usan conocimientos matemáticos en la argumentación. Predisposición al consentimiento con el otro.
68	E2: Primero, los objetos.
69	E3: Con un cuadrado.
70	E2: Yo he puesto que la figura es una E y la otra la he dibujado.
71	E3: Dibujó una E.
72	E1: Claro, se dibuja una E. Después de dibujar una E, se coge la simetría axial y se va todo el rato copiando las E. Luego, coges y dibujas ese polígono en medio y lo vas trasladando… No, no es traslación, es también simetría axial. Y vas haciendo simetría axial hasta rellenar todos los huecos.
73	Profesor: ¿Qué os parece esta composición?	Al final, se usan conocimientos matemáticos en la argumentación para reconocer el valor de la figura.
74	E2: A mí no me gusta. Porque está muy cargado de cosas.
75	Profesor: ¿La figura no tiene ningún valor matemático?
76	E3: Es que, en verdad, no sé por qué puse “es interesante y muy curiosa”. Si no me gusta. Me recuerda a una cárcel.
77	E2: Es simétrico todo.

Brasil

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Contribution of the Hermeneutic Circle of Understanding to Development of Ethical Interpretation in Mathematics Classroom

Abstract

21	A4: Una frase de A6, una frase de A2 y una frase de A3 [Propone que sean ellos los que elijan una frase para componer una respuesta híbrida].	Predisposición al consentimiento con el otro al reconocerse otros posibles análisis.
22	A1: Y ahí va a salir una “pedazo” de respuesta… [Dirigiéndose a A2] A ver, di una de tus frases, la que más bonita te parezca.
23	A2: “Me parece geométricamente correcto y se parece al león”.	Se usan conocimientos matemáticos en la argumentación.
24	A1: [Dirigiéndose a A6] ¿Y la tuya?
25	A6: [Elige parte de la descripción dada por A3] “Hay cinco cuadrados, tres círculos…”
26	A1: Vale. [Dirigiéndose ahora a A3] ¿Y una frase tuya?
27	A3: “Primero habrá empezado por los ojos, después por la nariz, …”
28	A1: Venga, pues ya está, pues esas tres…	Se usan conocimientos matemáticos para fundamentar una respuesta conjunta. Se mantiene la predisposición al consentimiento con el otro.
29	A4: Una buena respuesta.
30	A1: Mira, primero va la de A6 [objetos], después va la de A3 [procedimiento] y después va la de A2 [cualidades]. Porque lo de “se parece a un león”, eso es más… Que es más información de él, vamos.