Slope Conceptualizations in Mathematics Textbooks

Flores, Crisólogo Dolores; Dolores, Gerardo Ibáñez

doi:10.1590/1980-4415v34n67a22

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Sumário

Artículo • Bolema 34 (67) • Aug 2020 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v34n67a22 copy

Slope Conceptualizations in Mathematics Textbooks

Authorship SCIMAGO INSTITUTIONS RANKINGS

Abstract

This paper reports the results of an investigation whose objective is to find which slope conceptualizations have a presence in high school mathematics textbooks and which are the predominant ones. For this, we used the Content Analysis method, where the objects of analysis are found in content exposition, worked examples, and in the exercises or problems proposed in the textbooks. As a reference framework we used the eleven slope conceptualizations identified by Stump (1999)STUMP, S. Secondary mathematics teachers' knowledge of slope. Mathematics Education Research Journal, Sydney, v. 11, n. 2, p. 124–144, 1999. and Moore-Russo, Conner and Rugg (2011MOORE-RUSSO, D.; CONNER, A.; RUGG, K. Can slope be negative in 3-space? Studying concept image of slope through collective definition construction. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 76, n. 1, p. 3–1, 2011.). Our findings indicate the presence of most of the conceptualizations identified in the previous research, however, there is a notable predominance of those that emerge from the analytical definition of slope, such as the parametric coefficient, algebraic ratio, and trigonometric conception and its internal application in determination of parallelism or perpendicularity between lines as is the determining property. These conceptualizations, on the one hand, induce to formation of the idea that slope makes sense only in intra-mathematical context, and on the other hand, they favor the development of procedural knowledge on detriment of conceptual knowledge. Understanding the slope requires the creation of internal networks as a product of connections between conceptualizations intra and extra mathematical plane, in addition to the harmonious development of conceptual and procedural knowledge. Achieving the understanding of the concepts is essential for Mathematics Education, however, our results indicate that the texts used by teachers can hardly contribute to this achievement.

Keywords:
Mathematics textbooks; Slope conceptualizations; High School level; Mathematics understanding

Categoría	La pendiente como…	Código
Razón geométrica	Razón del desplazamiento vertical sobre el desplazamiento horizontal en la gráfica de una recta (a menudo vista como el triángulo rectángulo en la gráfica de una recta que resalta el desplazamiento horizontal y el vertical).	G
Razón algebraica	Cambio en y sobre el cambio en x; representación de la razón con expresiones algebraicas (a menudo visto como $\frac{Δ y}{Δ x}$ o $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ ).	A
Propiedad física	Propiedad de la recta a menudo descrita con expresiones como: grado, inclinación, ladeo, declive, empinado, qué tan alto sube una recta.	P
Propiedad funcional	Razón de cambio constante entre variables o cantidades (por ejemplo, cuando x aumenta 2, y aumenta 3) presente en varias representaciones de funciones; a veces se vé en situaciones que involucran razones relacionadas o constantes de proporcionalidad (donde la tasa unitaria es la pendiente).	F
Coeficiente paramétrico	Coeficiente m (o su valor numérico) en $y = m x + b$ o en $y - y_{1} = m (x_{2} - x_{1})$ que actúa como un parámetro.	PC
Concepción trigonométrica	Propiedad relacionada con el ángulo que una recta forma con una recta horizontal (usualmente el eje positivo x); tangente del ángulo de inclinación.	T
Concepción en Cálculo	Medida relacionada con la derivada como la pendiente de la tangente a una curva, de una recta secante, o cómo razón de cambio instantánea para cualquier función (incluso no lineal).	C
Situación del mundo real	Situación física (estática, por ejemplo: una rampa, escalera etc.)	R
Situación del mundo real	Situación funcional dinámica que relaciona dos variables (v.g., distancia vs tiempo, velocidad vs tiempo, costo vs tiempo).	R
Propiedad determinante	Propiedad que determina si las rectas son paralelas o perpendiculares entre sí; propiedad con la cual una recta puede ser determinada si un punto de la recta es también dado.	D
Constante lineal	Recta o plana, ausencia de curvatura de una recta que no se ve afectada por la traslación; propiedad única de las rectas (puede ser referenciada como lo que hace que una línea sea recta o la rectitud de una línea); mención de que cualesquiera dos puntos de una recta pueden ser utilizados para determinar la pendiente.	L
Indicador de comportamiento	Propiedad que indica el crecimiento, decrecimiento, tendencia horizontal de una recta o la propiedad que indica la cantidad (o severidad) del aumento o disminución de una recta; si no es cero, indica que la recta tiene una intersección con el eje x.	B

Frases	Argumentos	Conceptua- lizaciones
Dos rectas son perpendiculares si la pendiente de una de ellas es la recíproca negativa de la pendiente de la otra… Se sabe que: $t a n (90^{o} + θ_{1})$ = $c o t θ_{1}$ . Sustituyendo el valor de θ₂, $t a n θ_{2} = - \cot θ_{1} = \frac{- 1}{\tan θ_{1}}$ . Expresando esto en términos algebraicos queda: $m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}$ . Fuenlabrada y Fuenlabrada (2014FUENLABRADA, S.; FUENLABRADA, I. R. Geometría Analítica. 4. ed., México, D. F., Mc Graw Hill Education, 2014., p. 35-36).	La condición de perpendicularidad indica la presencia de la conceptualización propiedad determinante. Las expresiones del tipo: $t a n (90^{o} + θ_{1})$ indican la presencia de la concepción trigonométrica. En la expresiones $m_{2} = - \frac{1}{m_{1}}$ está presente la conceptualización coefiente paramétrico.	D, T, PC.
Por ejemplo: Si la recta pasa por los puntos $A (- 1, 6)$ y $m = - 4$ , entonces su ecuación corresponde a: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ . Sustituyendo valores: $\begin{array}{l} y - 6 = - 4 [x - (- 1)] \\ y - 6 = - 4 [x + 1] \end{array}$ Esta es la forma de representar la recta pero … Esta es la forma más común que aparece: $y - 6 = - 4 x - 4$ $y = - 4 x - 4 + 6$ $y = - 4 x + 2$ $4 x + y + 2 = 0$ Ecuación lineal con dos variables. Salazar (2018)SALAZAR, P. Matemáticas 3. México. D. F.: Compañía Editorial Nueva Imagen, 2018., p. 80	El uso de las variables m y su valor numérico evidencían la presencia de la conceptualización coeficiente paramétrico. La representación en la gráfica del desplazamiento en x e y para representar la pendiente denota la utilización de la conceptualización razón geométrica.	PC, G.
“Una empresa recibe un préstamo por $120 000 con un interés simple de 4% sobre el capital inicial. Haz la gráfica y determina el valor de la pendiente”. Méndez (2013MÉNDEZ, A. Matemáticas III. 2. ed. México D. F.: Editorial Santillana S. A. de C. V, 2013., p. 54)	Es una situación funcional dinámica porque relaciona las variables: dinero y tiempo, por tanto utiliza la conceptualización del mundo real. Está presente la razón de cambio constante en el interés simple, por tanto puede utilizarse la conceptualización propiedad funcional. La construcción de la gráfica puede inducir al uso de la razón geométrica y el cálculo de la pendiente al uso del coeficiente paramétrico.	R, F, G, PC.

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