Developing Elementary Algebraic Reasoning through Counting with Patterns Activities

Gaita, Rosa; Wilhelmi, Miguel R.

doi:10.1590/1980-4415v33n63a13

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Bolema: Boletim de Educação Matemática

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Sumário

Artículo • Bolema 33 (63) • Jan-Apr 2019 • https://doi.org/10.1590/1980-4415v33n63a13 copy

Developing Elementary Algebraic Reasoning through Counting with Patterns Activities

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Abstract

The counting tasks with patterns are a privileged context for the development of algebraic reasoning. The onto-semiotic complexity of tasks allows the identification of study processes to improve performance in successive algebrization levels, from purely arithmetic manipulation to a practice with a consolidated algebraic level. The objective is twofold: on the one hand, to elaborate indicators that allow evaluating the performance of an operative and discursive practice in the task resolution of counting patterns. On the other hand, to propose a sequence that takes into account the epistemological, cognitive, and teaching restrictions common to these practices. A pre-test and post-test design is proposed using an open-ended questionnaire. A qualitative analysis is carried out through a case study, which provides relevant information on the development of the subjects' algebraic reasoning in the successive algebrization levels. It is concluded that Flexible Mathematical Thinking is a key indicator of the subjects’ algebraic competence; we also provided a teaching sequence that start from a basic strategy based on concrete manipulations and close generalizations to the analysis of different analytical expressions.

Keywords:
Algebraic Reasoning; Patterns; Onto-semiotic Approach; Flexible Mathematical Thinking; Norms

Nivel	Descripción del nivel en tareas de construcción y análisis de patrones
0	La determinación de casos particulares se realiza a partir de representaciones concretas y la descripción extensiva de las mismas. Los recuentos son explícitos, basados en cálculos numéricos o figuras. El análisis y discusión se realiza en lenguaje natural, numérico, icónico o gestual. Eventualmente, intervienen símbolos, que se refieren a objetos extensivos y suponen, en general, una forma abreviada de comunicar información, pero en ningún caso involucran la manipulación simbólica, abstracta o general.
1	La determinación de casos particulares se realiza a partir de representaciones concretas y la descripción extensiva de las mismas. A partir de recuentos explícitos, basados en cálculos numéricos o figuras, es posible determinar el valor de patrones específicos en función del lugar que ocupan en la serie, sin recurrir, nuevamente, al recuento efectivo ni a la representación del patrón completo (generalización cercana). El análisis y discusión se realizan en lenguaje natural, numérico, icónico o gestual, que incluye expresiones que se refieren a objetos generales y representan el caso general con un lenguaje no simbólico ni formal, pero necesariamente explícito. Eventualmente, se establecen relaciones entre figuras en la serie o propiedades del patrón.
2	La determinación de casos particulares se realiza a partir de representaciones concretas y descripción extensiva de las mismas. A partir de recuentos, basados en cálculos numéricos y representaciones gráficas, se determina el valor de patrones específicos en función del lugar que ocupan en la serie, representando el patrón completo. El análisis y discusión se realizan, en primer lugar, en lenguaje natural, numérico, icónico o gestual, y, en segundo lugar, se formaliza mediante símbolos, variables o parámetros, que refieren objetos generales y representan el caso general, que puede ser utilizado para la descripción del método de construcción del patrón. Se establecen relaciones entre figuras en la serie o propiedades del patrón, pero no se manipula para ello la escritura formal, si no que se interpreta ésta mediante lenguaje natural o numérico.
3	Se determina de la regla general y se expresa formalmente. Los casos particulares, a partir de representaciones concretas y descripción extensiva de las mismas, pueden aparecer en un análisis previo o como ejemplificación de la regla general. En casos simples, cuando la construcción efectiva es posible, eficaz y poco costosa, se puede optar por ella, pero, en general, el análisis y discusión se realizan, en primer lugar, en lenguaje simbólico literal formalizado, mediante símbolos, variables o parámetros, que refieren objetos generales y representan el caso general. Ocasionalmente, en segundo lugar, se utiliza un lenguaje natural, numérico, icónico o gestual en la descripción del método de construcción del patrón; este uso tiene una función comunicativa (reforzar una aseveración general, explícitamente formulada) o pedagógica (mostrar al docente el conocimiento extenso de la situación propuesta). Se establecen relaciones entre figuras en la serie o propiedades del patrón. Además, si es necesario, se manipula la escritura formal para obtener expresiones más simples, sin necesariamente analizar su relación con el método de construcción, centrándose el trabajo en la manipulación simbólico-literal.

Figura	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	100	1000
Segmentos	6	10	14	18	22	26	30	34	38	42	402	4002

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