Resumo Este trabalho tem como objetivo identificar as estratégias de generalização empregadas por alunos do 7° ano do Ensino Fundamental ao resolverem uma tarefa sobre sequências. O referencial teórico adotado é sobre os processos do raciocínio matemático na matemática escolar, com foco nas estratégias de generalização e nos processos de validação relacionados. A coleta de dados foi realizada por meio da gravação em áudio das resoluções dos alunos que, posteriormente, foram transcritos pelos pesquisadores. A análise dos dados foi realizada a partir de um quadro que sintetiza as estratégias de generalização e os processos de validação relacionados, construído à luz do referencial teórico do raciocínio matemático e com foco na natureza das generalizações. Os resultados deste trabalho indicam que os alunos tendem a utilizar estratégias de generalização e processos de validação que privilegiam a observação empírica dos dados.

Abstract The main goal of this paper is to identify the generalization strategies employed by Brazilian 7th grade students when solving a mathematical task about sequences. The theoretical background adopted is about the mathematical reasoning processes at school mathematics, focusing on the generalization strategies and in the validation processes related. The data was collected by the audio recording of the students’ tasks solving and the data analysis was made with audio transcription, based on a frame made from the mathematical reasoning theoretical background and studies related to generalization strategies. The work results indicate that students tend to use generalization strategies and validation processes that favor the empirical data observation.

Resumo Este artigo apresenta resultados de uma investigação sobre o raciocínio matemático, mais especificamente sobre as ações de professores que o potencializam. O objetivo foi identificar, categorizar e discutir as ações efetuadas por duas professoras durante a discussão de tarefas exploratórias realizadas em duas turmas do 1° Ciclo de Ensino Básico1, uma do 1° ano e outra do 3° ano, de uma escola pública da periferia de Lisboa. Os dados foram coletados por meio de observação participante suportada por gravação em áudio e vídeo das aulas. Após a transcrição, os dados foram analisados em quatro categorias de ações de professores, a saber: convidar; guiar/apoiar; informar/sugerir e desafiar. Por meio da análise, ressaltamos que as ações efetuadas pelas professoras durante a discussão das tarefas favoreceram os processos de conjecturar, comparar, identificar padrões e justificar dos alunos. Os resultados alcançados por este estudo trazem evidências da relevância que as ações dos professores têm para o desenvolvimento do raciocínio matemático desde os primeiros anos.

Abstract This paper presents the results of an investigation into mathematical reasoning, specifically about the actions of teachers to enhance it. The objective was to identify, categorize, and discuss the actions performed by two teachers during the discussion of exploratory tasks solved in two classes of the 1st Cycle of Basic Education, a 1st grade and a 3rd grade class of a public school near Lisbon. Data were collected through participant observation supported by audio and video recording of the classes. After transcription, data were analyzed in four categories of teacher actions: invite; guide/support; inform/suggest, and challenge. Data analysis concerns that the actions carried out by the teachers in whole-class discussions favored the student's processes of conjecture formulation, comparison, identification of patterns, and justification. The results achieved by this study provide evidence to the relevance of the teachers' actions for the development of mathematical reasoning since the early years.

Resumo Este estudo tem como objetivo principal analisar as perspectivas e os conhecimentos evidenciados nos relatos de uma professora que atuava em salas de aula do 3º ano do Ensino Fundamental, antes e depois de um processo formativo em que ela participou. Utilizamos a análise descritiva e interpretativa de um questionário do perfil da professora, de um questionário de avaliação final da formação e de uma entrevista semiestruturada realizada dois anos depois do fim do processo formativo. Para analisar os dados, aportamo-nos às ideias a respeito do conhecimento didático do professor de Matemática. Os resultados indicam que, antes do processo formativo, a professora revela dificuldades com o respectivo conhecimento, bem como sobre seu ensino e suas perspectivas negativas. Depois da realização do processo formativo, suas perspectivas passam a ser positivas, assumindo novas posturas a respeito do conhecimento da Matemática, do aluno, seus processos de aprendizagem e sobre o conhecimento dos processos de trabalho na sala de aula de Matemática.

Abstract This study aims to analyze the perspectives and knowledge evidenced in the reports of a Third grade elementary school teacher, before and after a formative process in which she participated. We use descriptive and interpretative analysis of a teacher profile questionnaire, a final evaluation questionnaire, and a semi structured interview conducted two years after the end of the formative process. We analyzed the data based in the ideas about the didactics knowledge of the mathematics teacher. The results indicate that, before the formative process, the teacher displayed difficulties with mathematics knowledge and its teaching and held negative perspectives about mathematics. After completing the formative process, her perspectives were more positive and she took up new positions regarding mathematics knowledge, the students, and their learning processes and the knowledge of the work processes in the mathematics classroom.

Resumo Neste texto relata-se parte de um estudo realizado num contexto de formação continuada, do qual participaram professores que lecionam Matemática para os Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Buscou-se compreender quais são as implicações dessa formação no processo de desenvolvimento profissional dos professores, em particular, da professora Safira. Trata-se do recorte de uma investigação de doutorado em andamento que está sendo desenvolvida pela primeira autora, em que se discutem questões relativas ao ensino de Probabilidade. Adotando uma metodologia qualitativa, procurou-se descrever e interpretar a participação da professora Safira, a partir dos dados coletados em um questionário inicial de pesquisa, nas sessões de formação, em uma entrevista e na observação de vídeos de aulas desenvolvidas pela professora. Os resultados foram analisados à luz de teorias a respeito do conhecimento, reflexão e desenvolvimento profissional. Evidenciou-se que o desenvolvimento profissional da professora foi impulsionado por sua participação no processo formativo, que contribuiu para a aquisição de conhecimentos e para o desenvolvimento ou a ampliação da sua capacidade de reflexão, influenciando-a no planejamento de situações novas de ensino e na escolha de intervenções adequadas à compreensão, por parte dos seus alunos, dos conceitos explorados.

Abstract This article reports part of a study carried out in the context of continued education in which the participants were mathematics teachers working at the early years of elementary school. We sought to understand the implications of such formative stance in a teacher's professional development, and, in particular, for the teacher Safira. This article is part of an on-going doctoral research that is being carried out by the first author, in which issues related to probability teaching are discussed. Based on a qualitative methodology, the investigation aimed to describe and interpret Safira's participation from data collected on the initial research questionnaire, during the development sessions, in an interview and on observations of video-recorded classes conducted by the teacher. Results were analyzed using theories related to knowledge, reflection, and professional development. It was evidenced that the teacher's professional development was boosted from her participation in the formative process, which contributed to knowledge acquisition and to the development or enhancement of her reflective capacity, thus exerting influence on her planning regarding new teaching situations and on her choice for adequate intervention promoting the students' understanding of the concepts being taught.

Resumo Numa perspectiva de desenvolvimento numérico em que o conceito de número é ampliado à medida que diferentes conjuntos numéricos são abordados, é natural que os alunos recorram aos conhecimentos que têm e os estendam aos novos conjuntos, o que nem sempre conduz a conclusões corretas. Neste sentido, este artigo tem como objetivo compreender que potencialidades têm situações que sugerem extensões de conhecimentos incorretas como meio para promover a construção da compreensão de numeral decimal. Apresentamos parte de um estudo que segue a modalidade de Investigação Baseada em Design, tendo sido realizada uma experiência de ensino onde participaram 25 alunos e a professora titular, no 3° e 4° ano de escolaridade. Neste texto, são analisadas as discussões entre quatro alunos, organizados em pares, em torno de tarefas centradas em três extensões de conhecimentos incorretas. Os resultados evidenciam que as situações propostas promovem o recurso a justificações e contraexemplos, desenvolvendo assim o raciocínio matemático. Os resultados revelam também potencialidades para a construção da compreensão de numeral decimal, nomeadamente a nível da mobilização de modelos, conceitualização da unidade e da compreensão do valor de posição dos algarismos no numeral decimal, em particular de zero.

Abstract Considering a perspective of numerical development where the concept of number is expanded as different number sets are approached, it's only natural that pupils rely on their knowledge and extend them to the new sets, which does not always lead to correct conclusions. Hence, in this paper we aim to understand the potential of situations that suggest incorrect knowledge extensions as a means to promote the construction of decimal number understanding. Part of a broader study that follows a Design Based Research is reported, within which a teaching experiment was carried out with 25 students and their teacher, in 3rd and 4th grades. In this paper, we analyze the discussions among four students, organized in pairs, regarding tasks that promoted the discussion of three common incorrect knowledge extensions. The results evidence that the proposed situations promote the use of justifications and counterexamples, developing mathematical reasoning. The results also reveal the potential to build decimal number understanding, namely in models use, unit conceptualization, and place value concept, in particular zero.

Resumo O estudo que se apresenta neste artigo foca-se no papel que as representações assumem à medida que são usadas e transformadas como modelos de situações contextualizadas e vão evoluindo para modelos de raciocínio, por alunos do 1.° ciclo do Ensino Básico (dos 8 aos 10 anos). Remete para uma aprendizagem dos números racionais com compreensão, enquadrada numa perspetiva de desenvolvimento do sentido de número. É apresentada uma trajetória de aprendizagem que privilegia inicialmente a compreensão da percentagem e são analisadas quatro tarefas de uma experiência de ensino, que segue os procedimentos metodológicos de uma Investigação Baseada em Design. Os dados foram recolhidos através da observação participante, apoiada num diário de bordo, gravações áudio e vídeo das aulas e produções dos alunos. A análise evidencia que a construção comparticipada de modelos a partir de representações, inicialmente associadas à percentagem, fortalece a interpretação de relações e facilita a compreensão de conceitos relativos aos números racionais.

Abstract The study presented in this paper focus on the role that representations assume as they are taken as models of a contextualized situation and reconstructed as models for reasoning, by primary school students (aged 8 to 10 years old). It regards rational numbers learning with an understanding framed by the development of a number sense perspective. Considering a learning trajectory that emphasizes initially the understanding of percentage, we analyzed four tasks of a teaching experiment that was developed, following the methodological procedures of a Design Based Research. Data were collected through participant observation, supported in a logbook, audio and video recorded lessons and students' productions at the classroom. The analysis highlights that the social construction of models from representations, initially associated with percentage, strengthens the interpretation of relations and facilitates the understanding of concepts related to rational numbers.

Este artigo apresenta as discussões e parte dos resultados de uma pesquisa desenvolvida durante três anos em uma escola de Ensino Fundamental. No estudo apresentado foram analisadas reflexões sobre a prática docente, realizadas por um grupo de 17 professores de Matemática que lecionavam para os Anos Iniciais em um contexto de um curso de formação continuada. A coleta de dados incluiu os depoimentos colhidos durante o processo de formação e entrevistas semiestruturadas realizadas depois da intervenção do professor. Teoricamente, esta investigação fundamentou-se tanto em teorias que discutem questões relacionadas à formação de professores como em estudos que investigam questões didáticas sobre a fração. A análise dos dados permitiu identificar que a reflexão observada durante o processo de formação propiciou, além do avanço na compreensão do objeto matemático, o aprimoramento da análise de questões didáticas do conteúdo.

This article presents the discussions and part of the results from a research carried out over a three-year-period in an elementary school setting. In the study, we analyzed reflections on teaching practices from 17 math teachers from an elementary school who took part in a continuing education course. Data collection included interviews obtained during the training process and semi-structured interviews conducted after the intervention of the teacher. This research was based both on theoretical discussions related to teacher training as well as studies investigating didactic questions on teaching fractions. Data analysis identified that reflections observed during training provided, in addition to advancing the understanding of mathematical object, improved analysis of didactic content.

Este artigo discute características da formação continuada de professores polivalentes em Matemática, que podem conduzir a alterações na sua relação com a Matemática e nas suas práticas de sala de aula. Para isso retoma o Programa de Formação Contínua em Matemática (PFCM), desenvolvido em Portugal. Discute o conhecimento do professor para ensinar Matemática, tipos de conhecimento necessários para um ensino proficiente e relaciona-os com o desenvolvimento de uma atitude de confiança do professor como professor que ensina Matemática. Apresenta, o caso de uma professora, formanda do PFCM durante dois anos, evidenciando o contributo do Programa para o desenvolvimento do seu conhecimento e da sua postura como professora que ensina Matemática.

This paper discusses the characteristics of continuing education for polyvalent teachers in mathematics, which may lead to changes in their attitude towards mathematics and their classroom practices. It approaches the Continuous Education Program in Mathematics (PFCM), developed in Portugal. It discusses the knowledge of the teacher to teach mathematics, the types of knowledge required for a proficient teaching, and relates them to the development of a confidence attitude in the teacher as the one who teaches mathematics. It presents the case of a teacher, trainee of PFCM for two years, highlighting the contribution of the program for the development of her knowledge and position as a teacher who teaches mathematics.

Este artigo relata parte de uma pesquisa que visou compreender que interações ocorrem na atividade de resolução de problemas capazes de desenvolver nos alunos, do 4.º ano do ensino básico, a capacidade de comunicar. Utilizou-se uma metodologia qualitativa-interpretativa. A recolha de dados fez-se através de entrevistas, observação de aulas de resolução de problemas, registos dos alunos e notas de campo. A atividade de resolução de problemas permitiu que os alunos desenvolvessem a aptidão para explicitar oralmente o raciocínio utilizado e para representarem por escrito as ideias matemáticas, criando oportunidades para comunicarem entre si e com a professora na aula. A natureza e qualidade das interações comunicativas ocorridas variaram com a abordagem da resolução de problemas na sala de aula, tendo sido decisivas tanto as interações verticais, como as horizontais para os alunos se envolverem na atividade, criarem um espírito investigativo e desenvolverem a capacidade de comunicar.

This article reports partially a research whose main goal was to understand which classroom interactions occur in the problem solving activity that are able to develop in 4th grade's pupils the ability to communicate. It was used a qualitative-interpretative methodology. The data collection was made by interviews, problem solving classroom observations, pupils' records and field notes. Problem solving activity allowed that pupils developed the aptitude to explain orally their used reasoning and to represent by writing their mathematical ideas, creating opportunities to pupils communicate among them and with the classroom teacher. It was verified that the nature and the quality of communicative interactions varied with the way of approaching problem solving in classroom. The vertical interactions as well as the horizontal ones were decisive to the pupils' involvement into the activity, the creation of pupils' investigative spirit and the development of pupils' communication ability.