Resumo Este estudo analisa o conhecimento de acadêmicas matriculadas na disciplina Fundamentos e Metodologias de Matemática para os anos iniciais do Ensino Fundamental, oferecida no quarto semestre de um curso de Pedagogia. O problema norteador da pesquisa consiste no seguinte: o que revelam as manifestações das acadêmicas de Pedagogia em relação ao conhecimento sobre o modo de organização do Ensino Desenvolvimental, na especificidade do conceito de fração? Para tanto, foi realizado um Experimento Didático Desenvolvimental com duração de um semestre. Tomaram-se como referência de análise as manifestações orais e escritas sobre o modo de organização do ensino de fração. Foram consideradas as compreensões iniciais, o processo percorrido e o estágio final de apreensão. Inicialmente, as acadêmicas compreendiam o conceito de fração e seu ensino empiricamente. Durante o desenvolvimento do Experimento Didático Desenvolvimental, as compreensões iniciais foram desestabilizadas e deram origem a alguns elementos correspondentes ao conhecimento teórico. Fundamental seguinte tanto Tomaramse Tomaram se apreensão Inicialmente empiricamente teórico

Abstract This study analyses the knowledge of students enrolled in the subject Fundamentals and Methodologies of Mathematics for early years of Elementary School offered in the fourth semester in a University Level Pedagogy Course. The guiding research problem is as follows: What do the manifestations of the Pedagogy academics reveal in relation to knowledge about the way of organizing Developmental Teaching, specifically on the concept of fractions? Thereunto, a Developmental Didactic Experiment was developed during one semester. It took as reference oral and writing impressions on the organization mode of teaching fraction. Initial understandings, the process carried out, and the final stage of seizure were considered. Initially, the students understood empirically the concept of fraction and its teaching. During the development of the Developmental Didactic Experiment, initial understandings were destabilized and gave origin to some elements regarding theoretical knowledge. Course follows Teaching fractions Thereunto out considered Initially

Overcoming traditional teaching method occurs through the scientific concepts teaching at theoretical level. This movement becomes possible with thinking development at theoretical level in students, incorporated by the logical-historical movement of concepts. Ergo, research was guided by the following question: how to promote thinking movement at theoretical level during teaching and learning of magnitude angle through a proposal of Developmental Teaching articulated with Teaching Guiding Activity (TGA) in the Elementary School sixth grade? Thereunto, studies were based on Developmental Teaching and on TGA. Therefore, a didactic experiment was developed through two Learning Triggering Situations (LTS) articulated with actions by proposed Davídov. Two first actions were performed through two sensory object games and contemplated by fifth and sixth study actions, during all the formative experiment, through analyses, interventions, and guidance. Then, through learning of elements which compose the conceptual system, participants developed components consistent with theoretical-level thinking following the movement of reduction from concrete to abstract, so that they unveiled the genesis of the concept and modeled the essential relation through abstractions and generalizations based on the need for quantification of rotation movement.

La superación del método de enseñanza tradicional ocurre a través de la enseñanza de conceptos científicos a nivel teórico. Este movimiento se hace posible con el desarrollo del pensamiento a nivel teórico en los estudiantes, incorporado por el movimiento lógico-histórico de los conceptos. Así, la investigación se ha guiado por la siguiente pregunta: ¿Cómo promover el movimiento del pensamiento, a nivel teórico, durante la enseñanza y el aprendizaje del ángulo de magnitud, a través de una propuesta de Enseñanza Desarrolladora en conjunto con la Actividad Orientadora de Enseñanza (AOE) en el sexto año de la Enseñanza Fundamental? Para ello, los estudios fueron basados em la Teoría de la Enseñanza del Desarrollo y en la AOE. De esa manera, un experimento didáctico fue desarrollado por medio de dos Situaciones Desencadenantes del Aprendizaje (SDA) en articulación con acciones propuestas por Davídov. Las dos primeras acciones fueron desarrolladas a través de dos juegos de objetos sensoriales y contemplados por la quinta y sexta acción de estudio durante todo el experimento formativo, por medio de analices, intervenciones y orientaciones. Así, por el aprendizaje de los elementos que componen el sistema conceptual, los participantes desarrollaron componentes condicentes con el pensamiento a nivel teórico, debido al movimiento de reducción de concreto a abstracto, de modo que revelaron la génesis del concepto y modelaron la relación esencial a través de abstracciones y generalizaciones ancladas en la necesidad de cuantificar el movimiento de rotación.

A superação do método tradicional de ensino ocorre por meio do ensino de conceitos científicos em nível teórico. Esse movimento se torna possível com o desenvolvimento do pensamento em nível teórico nos estudantes, incorporado pelo movimento lógico-histórico dos conceitos. Logo, a pesquisa guiou-se pela seguinte pergunta: como promover o movimento do pensamento, em nível teórico, durante o ensino e aprendizagem da grandeza ângulo, por meio de uma proposta de Ensino Desenvolvimental em articulação com a Atividade Orientadora de Ensino (AOE) no sexto ano do Ensino Fundamental? Para tanto, os estudos foram fundamentados na Teoria do Ensino Desenvolvimental e na AOE. Assim, um experimento didático foi desenvolvido por meio de duas Situações Desencadeadoras de Aprendizagem (SDA) em articulação com ações de Davídov. As duas primeiras ações foram desenvolvidas por meio de dois jogos objetais sensoriais e contempladas pela quinta e sexta ações de estudo, durante todo o experimento formativo, por meio de análises, intervenções e orientações. Posto isso, pela aprendizagem dos elementos que compõem o sistema conceitual, os participantes desenvolveram componentes condizentes ao pensamento em nível teórico, em razão do movimento de redução do concreto ao abstrato, de modo que desvelaram a gênese do conceito e modelaram a relação essencial por meio de abstrações e generalizações ancoradas pela necessidade de quantificação do movimento de rotação.

RESUMO O objetivo deste estudo consiste em investigar o processo de origem e o desenvolvimento de elementos característicos do ensino desenvolvimental de Davýdov durante a introdução dos conceitos de multiplicação e divisão com acadêmicas de um curso de pedagogia, por meio de um experimento didático desenvolvimental. Para a apreensão da realidade pesquisada, acompanhamos os 15 encontros semanais, com duração de 3 horas cada, com 23 acadêmicas. Consideramos três momentos de análise: 1) ponto de partida; 2) processo de aprendizagem; e 3) ponto de chegada. Expusemos os resultados por meio de episódios formativos que apontam alguns indícios de superação de elementos do modo de organização do ensino empírico pelo teórico, no processo de aprendizagem das acadêmicas, tais como: revelação e modelação da relação nuclear dos conceitos e sistemas conceituais a partir das relações entre grandezas na interconexão das significações aritméticas, algébricas e geométricas.

ABSTRACT This study aims at investigating the origin and development process of characteristic elements of Developmental teaching by Davýdov during the introduction of multiplication and division concepts with students of a Pedagogy faculty through a developmental didactic experiment. To apprehend the researched reality, the 15 weekly encounters were followed, each lasting 3 hours, with 23 students. Three moments of analysis were considered: 1) starting point; 2) learning process; and 3) arrival point. Results were exposed through training episodes that point out some evidence of overcoming elements of organization of empirical teaching by the theoretical one in the students’ learning process, such as: revealing and modeling of relationship core of concepts and conceptual systems from the relations among greatness in the interconnection of arithmetic, algebraic, and geometric relations.

RESUMEN El objetivo de este estudio consiste en investigar el proceso de origen y desarrollo de elementos característicos de la Enseñanza del desarrollo de Davýdov durante la introducción de los conceptos de multiplicación y división con estudiantes de una Facultad de Pedagogía por medio de un experimento didáctico del desarrollo. Para la aprehensión de la realidad investigada, fueron acompañados los 15 encuentros semanales, con duración de 3 horas cada, con 23 estudiantes. Fueron considerados tres momentos de análisis: 1) punto de partida; 2) proceso de aprendizaje; y 3) punto de llegada. Los resultados fueron expuestos por medio de episodios formativos que apuntan algunos indicios de superación de elementos del modo de organización de la enseñanza empírica por el teórico, tales como: revelación y modelación de la relación nuclear de conceptos y sistemas conceptuales desde las relaciones entre grandezas en la interconexión de las significaciones aritméticas, algébricas y geométricas.

Resumo: Davýdov, doutor em Psicologia e seguidor de Vygotski, coordenou o processo de elaboração de uma proposta para o ensino de Matemática na Rússia, a partir dos fundamentos da Teoria Histórico-Cultural. Tal proposição foi publicada por meio de livros didáticos e manuais de orientação ao professor. Esse material constituiu a fonte de dados da pesquisa apresentada neste artigo, cujo objetivo foi investigar o modelo da relação essencial da tabuada na proposição davydoviana. Para tanto, selecionamos três tarefas do material didático davydoviano, cuja análise possibilitou revelar os elementos que constituem a essência da tabuada e como estes se relacionam e conformam o modelo universal em um sistema de representações objetal, gráfica e literal.

Abstract: Davýdov, PhD in Psychology and Vygotsky's follower, coordinated a proposal for Mathematics teaching in Russia, based on Historical-Cultural Theory assumptions. The proposal was published by means of textbooks and teacher's guides. This material constitutes the data source for the present research. The aim is investigate the model of the essential relationships of multiplication within Davýdov's proposal. Therefore, we selected three teaching tasks from the teaching material based on Davýdov assumptions. Its analysis enabled us to reveal the elements that constitute the essence of the multiplication table and how they are connected and form a universal model represented as an object, graphically and in text.

RESUMO Esta investigação foi desenvolvida no contexto da educação matemática, com base nos pressupostos da teoria histórico-cultural, com ênfase na obra de Davýdov, doutor em psicologia e seguidor de Vigotski. Davýdov coordenou o processo de elaboração de uma proposta para o ensino de matemática na Rússia e efetivou sua publicação por meio de livros didáticos e manuais de orientação ao professor. Esse material é a fonte de dados da pesquisa que consistem nas tarefas davydovianas e cujo objetivo se constitui em investigar o movimento conceitual impresso na proposição davydoviana para o ensino de tabuada por meio das ações de estudo. Os resultados indicam que a proposição do autor, para o ensino da tabuada, contempla a inter-relação das significações aritméticas, algébricas e geométricas no movimento que envolve o geral, universal, particular e singular no contexto de ações de estudo.

ABSTRACT This research was developed in the Mathematics education context based on the assumptions of the cultural-historical theory, with emphasis on the work of Davýdov, doctor in psychology and Vygotsky’s follower. Davýdov coordinated the process for elaboration of a proposal for mathematics teaching in Russia, and published through textbooks and teacher’s guiding books. This material is the data source for the research, which consisted in Davýdov’s tasks, and the aim is constituted in the investigation of the conceptual movement, Davýdov’s proposition to teach the multiplication table through study actions. The results indicate the author’s proposition for teaching the multiplication table contemplates the interrelations of arithmetic, algebraic and geometrical significations on the movement that involves the general, universal, particular and singular on the context of study actions.

RESUMEN La investigación fue desarrollada en el contexto de la educación matemática basada en los presupuestos de la teoría histórico-cultural con énfasis para la obra de Davýdov, doctor en psicología y seguidor de Vigotski. Davýdov coordinó el proceso de elaboración de una propuesta para la enseñanza de matemática en Rusia, y publicó por medio de libros didácticos y manuales de orientación para profesores. Ese material es la fuente de datos de la investigación, que consiste en las tareas de Davýdov, y cuyo objetivo es constituido en investigar el movimiento conceptual impreso en la proposición de Davýdov para la enseñanza de la tabla de multiplicar, por medio de acciones de estudio. Los resultados indican que la proposición del autor para la enseñanza de la tabla de multiplicar contempla la interrelación de las significaciones aritméticas, algébricas y geométricas en el movimiento que involucra lo general, universal, particular y singular en el contexto de acciones de estudio.

Investigamos o movimento conceitual adotado por Davýdov e seus colaboradores ao proporem o ensino do Sistema de Numeração no segundo ano do Ensino Fundamental. Davýdov, doutor em psicologia e seguidor de Vygotski, coordenou o processo de elaboração de uma proposta para o ensino de Matemática, na União Soviética, a partir dos pressupostos da Teoria Histórico-Cultural. Tal proposta foi publicada por meio de livros didáticos e de orientação ao professor. Durante a investigação, analisamos as tarefas de ensino publicadas nos mencionados livros. A análise permitiu-nos revelar, nas proposições davydovianas, as relações entre o geral, universal, singular e particular, além da consequente unidade entre o lógico e o histórico.

We investigated the conceptual movement adopted by Davýdov and his co-workers to propose the teaching of a Numbering System in the second grade of Elementary School. Davýdov, a doctor in Psychology and follower of Vygotski; coordinated the process of purpose elaboration to teaching Mathematics in the Soviet Union from the assumptions of a Historic-cultural theory. This proposal was published by the means of textbooks and of guidance to teachers. During the investigation, we analyzed the teaching tasks published in the books mentioned before. The analysis allowed us to reveal, in the propositions by Davýdov, the relationship among the general, universal, singular and particular, besides the consequence unity between the logical and historical.

Neste artigo, buscamos refletir sobre a formação do pensamento teórico-matemático nos estudantes, tomando por base os pressupostos da perspectiva histórico-cultural. Apoiando-nos em estudos de Vigotski, Leontiev, Davídov e, mais recentemente, de Moura e Lanner de Moura, discutimos a relação entre o ensino, a aprendizagem e a formação do pensamento teórico em Matemática, tendo como base a atividade de ensino.

In this paper we looked for reflecting on the mathematical theoretical thought development in students, taking into consideration a historical-cultural approach. With support on studies of Vigotski, Leontiev, Davídov and, more recently, Moura and Lanner de Moura, we discuss the relation between teaching, learning and the development of theoretical thought in Mathematics, having as basis the learning activity.