Abstract Geometry teaching and learning processes have allowed us to pose several problems that have been intensively studied by the Mathematics Education research community in recent decades, focusing on aspects such as software use, student knowledge, mathematical complexity, teacher knowledge etc. However, today, there is still interest in understanding the difficulties associated with the teachers' practices, in particular, regarding the management of the classes they carry out, since this directly impacts geometry learning by the students. In this sense, we present a study that consists on the observation of the management of two teachers who have faced the teaching of Euclid's Theorems in their second-year courses in Middle Education in Chile. To this end, direct observation of the classes was carried out and both teachers were subsequently interviewed. For the analysis of pedagogical management, we used Guy Brousseau's Theory of Didactical Situations (TSD), specifically focusing on the notions of didactical contract, didactical milieu, and the processes of devolution and institutionalization. The methodology used in the study is qualitative, descriptive, and interpretive, where extracts of episodes from a class are retrieved. The analysis reveals numerous didactical paradoxes that do not favor the learning of the students in relation to the foreseen objectives, nor to the mathematical objects treated in class. Among the paradoxes, phenomena such as the topaze and resonance effects are observed, detected in the teacher-student interaction. The need to analyze in depth the professional practices of teachers is evident, since this work revealed the rupture between the institutional discourse and the pedagogical management in practice.

Resumen Los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la geometría han permitido plantear diversos problemas que han sido estudiados intensamente por la comunidad de investigación en Didáctica de la Matemática en las últimas décadas, centrándose en aspectos tales como el uso de software, el conocimiento de los alumnos, la complejidad matemática, el conocimiento del profesor etc. No obstante, hoy en día aún sigue vigente el interés por entender las dificultades asociadas a las prácticas de los profesores, en particular, sobre la gestión de las clases que llevan a cabo, ya que esto impacta directamente en el aprendizaje de la geometría de los estudiantes. En este sentido, presentamos un estudio que consiste en la observación de la gestión de dos profesores que se han enfrentado a la enseñanza de los Teoremas de Euclides en sus cursos de segundo año de Educación Media, en Chile. Con este fin, se realizó la observación directa de las clases y, posteriormente, se entrevistó a ambos profesores. Para el análisis de la gestión pedagógica utilizamos la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) de Guy Brousseau, concretamente nos interesamos por las nociones de contrato didáctico, medio didáctico, procesos de devolución e institucionalización. La metodología utilizada en el estudio es de tipo cualitativa, descriptiva e interpretativa, donde se recupera extractos de episodios de una clase. El análisis revela numerosas paradojas didácticas que no favorecen el aprendizaje de los alumnos en relación con los objetivos previstos, ni a los objetos matemáticos tratados en clases. Entre las paradojas se observan fenómenos como el efecto topaze y el de resonancia, detectados en la interacción profesor/alumno. Queda en evidencia la necesidad de analizar en profundidad las prácticas profesionales de los profesores, pues en este trabajo se pone de manifiesto la ruptura entre el discurso institucional y la gestión pedagógica en práctica.

Abstract The article reports on the careful examination of the interactions in students aged 13 and 14 years old when dealing with a teaching sequence about randomness and certainty. We use photographic images as the material medium that enabled us to identify students' conceptions of randomness in the “paramathematician” status; that is to say, the notions functions as tools to predict events. We rely on the notion of a didactic contract, didactic means, and the returning of the theory of didactic situations to design situations, implement them and, then, analyze the students’ productions. The research methodology adopted was the qualitative analysis in ongoing phases, such as analysis a priori, experimentation, and analysis of results. Through this research arises, among other things that most students assigned to the random phenomena, subjective meanings stating clearly that they did not accomplish to identify the random event referred to in their own stories.

Resumen Este artículo da cuenta de las interacciones observadas con alumnos de 13 y 14 años, frente a una secuencia didáctica sobre aleatoriedad y certeza. Utilizamos como medio material imágenes fotográficas las que nos permitieron identificar concepciones de los alumnos sobre aleatoriedad en su estatus paramatemático, es decir, las nociones funcionando como herramientas para predecir sucesos. Nos basamos en las nociones de contrato didáctico, medio didáctico y devolución de la teoría de situaciones didácticas, para concebir las situaciones, ponerlas en práctica y posteriormente analizar las producciones de los alumnos. La metodología de investigación que adoptamos es cualitativa, siguiendo las fases de análisis a priori, experimentación y análisis de resultados. Uno de los resultados importantes da cuenta de que la mayoría de los alumnos han asignado significados subjetivos a los fenómenos aleatorios contemplados en las situaciones, lo cual deja en evidencia que los alumnos no logran identificar el suceso aleatorio contemplado en sus historias.

Este artículo hace referencia a los conocimientos disciplinares que estudiantes de pedagogía básica necesitan movilizar para enfrentar problemas de construcción geométrica con utilización de instrumentos físicos, digitales e intelectuales. Además, identificar las operaciones cognitivas que ponen en juegos y los paradigmas geométricos en que se sitúan para validar sus producciones. El estudio se apoya en el marco teórico de Duval, y otros investigadores que trabajan en su línea y en los Paradigmas Geométricos de Gonseth-Houdement-Kuzniak. La metodología es cualitativa con estudio de casos. Se aplicaron dos situaciones de tres tareas cada una en dos sesiones trabajadas individualmente por cuatro estudiantes voluntarios elegidos al azar; dispusieron de ficha de trabajo, instrumentos para la construcción y un computador. Entre los resultados encontramos que no explicitan el procedimiento de construcción; cuando se ubican en la Geometría física, no se dan cuenta que midiendo es posible verificar, y en el caso de la Geometría plana, no ponen en juego las definiciones, propiedades y teoremas; no justifican sus afirmaciones ni procedimientos utilizados; no consideran el procesador geométrico. En cuanto a los procesos cognitivos, muestran diferentes niveles de razonamiento, privilegiando el discurso natural, aunque deficientemente.

This article focus on discipline knowledge that that elementary pedagogy students need to activate to face problems of geometric construction by using physical, digital and intellectual instruments. In addition, to identify the cognitive operations that they put in games and the geometric paradigms in which they place to validate their productions. This study is based on Duval's theoretical frame, and other investigators who work in his line as well, and at Gonseth-Houdement-Kuzniak's Geometric Paradigms. The methodology is qualitative with this case study. There were applied two situations of three tasks, each one in two sessions which they were worked individually by four voluntary students chosen randomly; they had worksheets, tools for construction and a computer. Within the results, it was found no explanation in procedures of construction; when they are located in the physical Geometry, they do not realize that by measuring, it is possible to check, and in case of the flat Geometry, they do not affect definitions, properties and theorems; they justify neither his affirmations nor used procedures; they do not consider the geometric processor. As for the cognitive processes, they show different levels of reasoning, favoring the natural speech, although it is deficient.