Abstract: From a lesson study based on an exploratory approach, we analyze the development of secondary school mathematics teachers’ knowledge on task design and anticipating students’ strategies and difficulties, in the lesson planning and reflection on students’ work. The research is qualitative/ interpretative. Data were collected by participant observation (with researcher’s journal and audio/video recordings), document collection, and interview. The results suggest that in the planning sessions, discussions about the wording and ordering of questions in the task, influenced by anticipation of students’ solving strategies and difficulties, created opportunities for teachers to develop their knowledge about task design, the strategies students might follow and ways to support them. The teachers developed their knowledge of how to teach exploratory tasks, namely the selection and sequencing of students’ answers for the whole-class discussion. In the post-lesson reflections, they expanded their knowledge about students and their learning by discussing strategies and unanticipated difficulties and seeking for reasons for those difficulties.

Resumo. A partir de um estudo de aula baseado numa abordagem exploratória, analisamos o desenvolvimento do conhecimento de professoras de Matemática do ensino secundário sobre a elaboração de tarefas e a antecipação de estratégias e dificuldades dos alunos, no planeamento da aula e na reflexão sobre o trabalho dos alunos. A investigação é qualitativa/interpretativa. Os dados foram recolhidos por observação participante (com diário de bordo e gravações áudio/vídeo), recolha documental e entrevista. Os resultados sugerem que, nas sessões de planeamento, as discussões sobre a redação e sequenciação das questões da tarefa, influenciadas pela antecipação de estratégias e dificuldades dos alunos, criaram oportunidades para as professoras desenvolverem o seu conhecimento sobre a elaboração de tarefas, as estratégias que os alunos podem seguir e formas de os apoiar. Desenvolveram também o seu conhecimento sobre a condução da realização de tarefas exploratórias, nomeadamente a seleção e sequenciação de respostas para a discussão coletiva. Nas reflexões pós-aula, ampliaram ainda o seu conhecimento sobre os alunos e a sua aprendizagem, discutindo estratégias e dificuldades não ante-cipadas e procurando razões para essas dificuldades.

Resumo Originário do Japão, o Estudo de Aula (jugyō kenkyū) é uma abordagem de desenvolvimento profissional de professores colaborativa e reflexiva, e centrada na prática letiva. Por sua dinâmica de desenvolvimento e possibilidades de promover aprendizagens profissionais, os Estudos de Aula têm sido realizados e investigados em vários países do mundo. Neste artigo, nos propomos a identificar e discutir aspectos relativos às aprendizagens profissionais de professores de Matemática, desenvolvidos ou aprofundados em pesquisas que focam os Estudos de Aula. Nossa análise centrou-se em um conjunto de 32 trabalhos sobre a temática criteriosamente escolhidos de revistas com alto impacto, indexadas no Scopus, que examinam as possibilidades e contribuições desta abordagagem para o desenvolvimento profissional de professores que ensinam Matemática. Evidenciamos, mediante uma análise qualitativa, que a participação no Estudo de Aula oportuniza aos participantes aprendizagens profissionais em três domínios centrais: Matemática, ensino da Matemática e cultura profissional. Estas aprendizagens promovem o desenvolvimento profissional docente favorecendo mudanças nas práticas profissionais, disposições, valores e conhecimentos dos professores.

Abstract Originating in Japan, the lesson study (jugyō kenkyū) is a collaborative and reflective teacher professional development process, centered on the teaching practice. Due to its development dynamics and possibilities to promote professional learning, the lesson study has been carried out and investigated in several countries around the world. In this article, we strive to identify and discuss aspects related to the professional learning of mathematics teachers, developed or deepened in research that focuses on lesson study. Our analysis is made on a set of 32 works on the subject, selected from high impact journals, indexed in Scopus, which examine the possibilities and contributions of lesson study to the professional development of teachers who teach mathematics. We evidence, through a qualitative analysis, that the participation in lesson study provides the participants with professional learning in three central domains: mathematics, mathematics teaching, and professional culture. Such learning promotes the professional development of teachers favoring changes in their professional practices, dispositions, values, and knowledge.

Resumo Com este artigo, pretendemos mostrar como é que professoras do 1.° ciclo que ensinam Matemática e que participam num estudo de aula desenvolvem os seus modos de reflexão e colaboração. A investigação é de natureza qualitativa e interpretativa com design de estudo de caso. Os resultados mostram que o envolvimento em momentos de planejamento de tarefas e de análise do trabalho dos alunos, quando as professoras refletem sobre a prática e para a prática, as ajuda a desenvolverem relações de colaboração, passando de narrar e procurar ideias a trabalho em copropriedade. O envolvimento crescente do grupo com o propósito de atingirem objetivos comuns favoreceu também o desenvolvimento dos níveis de reflexão das professoras. Inicialmente, as professoras tendiam a atribuir as dificuldades dos alunos à natureza da Matemática ou à imaturidade dos alunos. No final, identificavam os problemas de aprendizagem dos seus alunos, sugeriam e fundamentavam modos de ajuda-los a ultrapassar essas dificuldades e transpunham essas sugestões para mudanças a serem feitas na sua própria prática.

Abstract With this article we aim to show how primary teachers teaching that participate in a lesson study in mathematics develop their reflections and collaboration. The research is qualitative and interpretive with a case study design. The results show that the involvement in moments of planning and analysis of the students’ work, where teachers reflect on practice and for practice helps them to develop collaborative relationships, moving from storytelling and scanning to joint work. The growing involvement of the group with the purpose of achieving common goals favored the development of teachers’ reflection levels. Initially, the teachers tended to attribute the students’ difficulties to the nature of mathematics or their immaturity. At the end, they identified their student's learning problems, suggested and justified ways to help them to overcome these difficulties and transposed these suggestions for changes to undertake in their own practice.

Résumé: Cet article met l’accent sur un processus de formation réalisée dans une perspective d’enseignement exploratoire, que value une orientation vers la pratique et la réflexion collective parmi les participants. Notre but est d’analyser les changements qui les enseignants ont ressenti dans leurs points de vue sur d’enseignement et la façon dont ils regardent la formation effectuée. Le cadre théorique est fondée sur une conception de la pratique professionnelle que prend comme nucléaires les concepts de tâche et communication e une perspective de la construction de dispositifs de formation qui suivent l’approche exploratoire. Les participants sont 19 enseignants de 1er à 6ème année de l’école. L’étude est basée sur les enregistrements d’un journal de bord, un questionnaire à réponse ouverte et des entrevues. Les résultats montrent que, par suite du travail effectué, les enseignants valorise l’enseignement exploratoire et les discussions collectives et assument une forte expectative sur les capacités des élèves. En ce qui concerne la formation, ils soulignent le lien avec leur pratique et des moments de partage d’expériences.

Resumo: Este artigo incide sobre um processo de formação conduzido numa perspetiva curricular de ensino exploratório, que valoriza a orientação para a prática e a reflexão coletiva entre os formandos. O seu objetivo é analisar as mudanças que os professores referem ter sentido nas suas perspetivas sobre o ensino e o modo como encaram a formação realizada. O quadro teórico tem por base uma conceção da prática profissional que assume como nucleares os conceitos de tarefa e comunicação e uma perspetiva da construção de dispositivos de formação baseada na abordagem exploratória. Os participantes são 19 professores, do 1.º ao 6.º ano de escolaridade. O estudo tem por base registos em diário de bordo, um questionário de resposta aberta e entrevistas. Os resultados mostram que, como consequência do trabalho realizado, os professores passaram a valorizar o ensino exploratório e as discussões coletivas e a assumir uma expectativa elevada sobre as capacidades dos alunos. Relativamente à formação destacam a ligação com a sua prática e os momentos de partilha de experiências.

Abstract: This paper focuses on a professional development process framed by an exploratory curricular perspective which values an orientation towards practice and the collective reflection among the participants. Its goal is to analyze the changes that teachers refer to have felt in their perspectives about teaching as well as how they regard the work carried out. The theoretical framework is based in a conception of professional practice that assumes the central role of the concepts of task and communication and a perspective about the design of professional development frameworks based on the exploratory approach. The participants are 19 teachers from grades 1 to 6. The study is based on a researcher’s journal, an open response questionnaire and interviews. The results show that the participants came to enhance exploratory learning and whole class discussions and to assume a high expectation regarding the students’ abilities. Concerning the work carried out, the participants highlight the connection with their practice and the moments of sharing experiences.

Resumen: Este artículo se centra en un proceso de formación docente realizado en una perspectiva curricular de la enseñanza exploratoria, que valora la orientación para la práctica y la reflexión colectiva entre los participantes. Su objetivo es analizar los cambios que los maestros refieren sentir en sus perspectivas y prácticas de enseñanza y la forma en que miran la formación llevada a cabo. El marco teórico tiene como sustento una concepción de práctica profesional que asume el papel central de las nociones de tarea y comunicación y una perspectiva sobre la construcción de dispositivos formativos enmarcados en el abordaje exploratorio. Los participantes son 19 maestros de 1º a 6º ano de enseñanza. La recolección de datos es a través de registros de bitácoras diarias, un cuestionario de respuestas abiertas y entrevistas. Los resultados muestran que, como consecuencia del trabajo realizado, los profesores comenzaron a valorar la enseñanza exploratoria y las discusiones colectivas y a asumir una alta expectativa sobre las capacidades de los estudiantes. En cuanto a la formación destacan la conexión con su práctica y los momentos de intercambio de experiencias.

Resumo Este artigo descreve um estudo de aula realizado com cinco professoras do 5.° e 6.° ano numa escola de Lisboa, analisando episódios especialmente relevantes. O nosso objetivo é compreender as potencialidades do estudo de aula como processo de desenvolvimento profissional e os desafios que se colocam à sua realização. Os resultados mostram que as professoras, depois de alguma estranheza inicial com o formato da formação, envolveram-se fortemente na resolução de tarefas matemáticas e na exploração de questões como a natureza das tarefas e os processos de raciocínio dos alunos. As professoras evidenciam diversas aprendizagens profissionais por si realizadas, valorizando em especial as discussões coletivas na sala de aula, e destacam o trabalho colaborativo e a oportunidade para se constituírem num grupo de trabalho na escola.

Abstract This paper describes a lesson study carried out with five teachers of grades 5 and 6 in a school in Lisbon, analyzing especially relevant episodes. We aim to understand the potential of the lesson study as a professional development process and the challenges posed by its undertaking. The results show that the teachers, after some initial resistance regarding the kind of professional development activity proposed, highly involved themselves in solving mathematical tasks and in exploring issues such as the nature of tasks and the students' reasoning processes. The teachers indicated that they learn in professional terms, especially regarding the value whole class discussions, and they highlighted the collaborative work and the opportunity to constitute themselves as a working group in the school.

O presente estudo tem por base uma unidade de ensino de cunho exploratório, em que alunos do 5.º ano de escolaridade (de 10-11 anos) trabalham com várias representações dos números racionais, em diferentes significados e tipos de grandeza. Procuramos saber em que medida esta unidade leva os alunos a desenvolver a sua capacidade de comparação e ordenação de números racionais, levando-os a usar diferentes representações e processos de raciocínio informais e formais. A metodologia de investigação é qualitativa e interpretativa, com observação participante das aulas e o estudo de caso de uma aluna. Os resultados mostram que esta aluna desenvolveu a sua compreensão da ordenação e comparação de números racionais, mostrando-se mais proficiente nas representações decimal e em fração. O estudo sugere que o trabalho com diferentes representações, numa abordagem exploratória, permite que os alunos aprendam a comparar e ordenar números racionais combinando adequadamente processos de raciocínio formais e informais.

This study is based on a teaching unit that follows an exploratory approach, in which 5th grade pupils (10-11 year-old) work with several representations of rational numbers, in different meanings and types of magnitudes. We seek to know if this unit contributes towards the students’ development of the capacity of comparing and ordering rational numbers leading them to use different representations and informal and formal reasoning processes. The research methodology is qualitative and interpretative, with participant observation of classes as well as the case study of a student. The results show that this student developed her understanding of sorting and comparing rational numbers, becoming more proficient both in the decimal and in the fraction representation. The study suggests that work with different representations, in an exploratory approach, allows students to learn to compare and sort rational numbers thought adequately combining formal and informal reasoning processes.