Abstract The traditional presentation of the integers ring generates difficulties for learning the product with its well-known signs rule. Our working hypothesis is that the solely representation of the product of two natural numbers by the area of a rectangle can hinder the vision of the product of two integers. Referring us to the scheme of Mathematical Working Spaces, we need another representation for the semiotic genesis of the integers. We tested didactical resources coming out from a geometrical construction made by Descartes in his geometric supplement of the Discourse on the Method, but we observed that this geometric introduction of the product can also produce difficulties, because it does not easily illustrate the distributive law. We may explain this phenomenon considering the product of numbers as a procept. Thus, the homothetic transformations of the Cartesian plane constitute a convenient geometrical resource that we may propose for teaching of the integers and, more generally, the numbers with a sign.

Resumen La presentación tradicional del anillo de los enteros se enfrenta a dificultades de comprensión del producto por parte de los alumnos, con la famosa regla de los signos. Nuestra hipótesis de trabajo es que la sola representación del producto de dos naturales como área de un rectángulo puede dificultar la visión del producto de dos enteros, y que entonces, en el esquema de los Espacios de Trabajo Matemático, se necesita otro soporte visual para la génesis semiótica de los enteros. Experimentamos un recurso didáctico vinculado con una construcción publicada por Descartes en su suplemento geométrico del Discurso del Método. Observamos que este acercamiento geométrico del producto puede generar dificultades, en particular relacionadas con la propiedad distributiva del producto sobre la suma. Una explicación resulta de la consideración del producto de enteros como procept. De donde surge la propuesta de tomar en cuenta la homotecia para la elaboración de una progresión didáctica al servicio de la enseñanza de los enteros y más generalmente de los números con signo.

Dans cet article on présente les résultats d'une recherche dont l'objectif est d'aider les professeurs d'école primaire à réfléchir sur l'activité mathématique qu'ils encouragent chez leurs étudiants dans la salle de classe. Pour cela on a proposé un modèle de réflexion qui les aiderait à faire l'analyse des aspects concrets dans leur pratique de classe. Dans ce document, on décrit les éléments qui composent le modèle et on présente quelques résultats du processus réflexif chez deux professeurs (l'un d'école maternelle l'autre de collège). Les réflexions des professeurs leur ont permis de centrer leur attention sur l'activité mathématique de leurs étudiants, prévoir leurs possibles réponses et avoir conscience de leurs difficultés d'apprentissage. Par rapport à l'organisation avant l'application du modèle, ils ont prévu la création d'activités avec un objectif d'apprentissage mathématique bien clair.

Neste artigo, são publicados os resultados de uma pesquisa que teve como objetivo ajudar os professores de educação básica a refletir sobre a atividade matemática que promovem em seus estudantes durante a aula. Para isso, propôs-se um modelo de reflexão que os ajudaria a analisar aspectos concretos de sua prática docente. Neste documento, os elementos que compõem esse modelo são descritos, e foram reportados alguns resultados do processo reflexivo de dois professores (um de pré-escolar e outro de ensino fundamental). As reflexões dos professores permitiram centrar sua atenção sobre a atividade matemática de seus estudantes, prever suas possíveis respostas e tomar consciência das dificuldades de aprendizagem. Com respeito ao planejamento realizado antes da aplicação do modelo, foi valorada a criação de atividades com um propósito claro de aprendizagem matemática.

This article shows the results from a research, whose main objective was to help basic education teachers to think about the mathematical activity they promote in their students during class. Consequently, we suggest a model of reflection that could help the teachers to analyze specific aspects in their teaching practice. This document describes the elements in which this model was made, and it also shows some of the results from the reflective process of two teachers (one from pre-school and the other from junior high school). Their considerations on the subject allowed them to focus their attention on their students' mathematical activity, to anticipate the probable answers, and to be aware of the learning disabilities. In regard to the planning before carrying out the model, we evaluated the design of the activities with a clear mathematics learning purpose.

En este artículo se dan a conocer resultados de una investigación que tuvo como objetivo ayudar a profesores de educación básica a reflexionar sobre la actividad matemática que promueven en sus estudiantes durante la clase. Para ello se propuso un modelo de reflexión que les ayudaría a analizar aspectos concretos de su práctica docente. En este documento, se describen los elementos que componen dicho modelo y se reportan algunos resultados del proceso reflexivo de dos profesores (uno de preescolar y otro de secundaria). Las reflexiones de los profesores les permitieron centrar su atención sobre la actividad matemática de sus estudiantes, prever sus posibles respuestas y tomar consciencia de las dificultades de aprendizaje. Con respecto a la planeación realizada antes de la aplicación del modelo, se valoró el diseño de actividades con un propósito claro de aprendizaje matemático.