Abstract: The inclusion of fundamental ideas for the development of algebraic reasoning, from early educational stages, is a topic that has been intensively researched internationally. As a result, various mathematics curricula have begun to include in their proposals a variety of mathematical objects and processes associated with the introduction of this type of reasoning at the first educational levels. The aim of this article is to characterize the intended algebraic reasoning, in terms of levels of algebraization, in Chilean primary education textbooks. The results show the existence of arithmetic problems that promote incipient levels of algebraization; in addition, mathematical practices of an algebraic nature are identified, where the purpose mainly lies in generating the general form of a sequence, solving first degree equations, or transforming (reducing) algebraic expressions. Finally, a categorization of problems that allow promoting different levels of algebraization in primary education is proposed.

Resumen: La inclusión de ideas fundamentales para el desarrollo de un razonamiento algebraico, desde etapas tempranas de la educación, es un tema que ha sido intensamente investigado a nivel internacional. Como resultado, diversos currículos de matemáticas han comenzado a incluir en sus propuestas una variedad de objetos y procesos matemáticos asociados a la introducción de este tipo de razonamiento en los primeros grados educativos. El objetivo de este artículo es caracterizar el razonamiento algebraico, en términos de niveles de algebrización, pretendido en libros de texto de educación básica en Chile. Los resultados evidencian la existencia de problemas aritméticos que promueven niveles incipientes de algebrización; además, se identifican prácticas matemáticas de naturaleza algebraica, donde la finalidad radica principalmente en generar el término general de una secuencia, resolver ecuaciones de primer grado o transformar (reducir) expresiones algebraicas. Finalmente, se propone una categorización de problemas que permiten promover diversos niveles de algebrización en la educación básica.

Resumen El estudio de las normas que regulan la gestión de clases y negociación de aprendizajes es uno de los temas que ha sido de interés para la comunidad de investigación en educación matemática. En la actualidad, en el contexto de virtualidad motivado por la pandemia por Covid-19, es necesario estudiar el tipo de normas que emergen y regulan las interacciones que se suscitan en las clases de matemáticas. En este artículo, se presentan los resultados de un estudio en el que se caracterizan las normas que regulan la gestión de clases de geometría, de enseñanza media, las cuales se desarrollan de forma virtual. Como referente teórico se considera el modelo de análisis didáctico que propone el enfoque ontosemiótico (EOS) y, particularmente, las nociones de prácticas del profesor de matemáticas y el sistema de clasificación de normas. La investigación se desarrolla desde un paradigma cualitativo-naturalista, dado que se analizan dos clases sobre relaciones métricas en las circunferencias, impartidas a estudiantes chilenos de tercero de enseñanza media (15-16 años). Como conclusión, se logran caracterizar las normas que regulan los procesos de interacción en un aula virtual, se muestra la adaptabilidad de docentes en un contexto excepcional-virtual de clases, donde instaura normas y las cambia cuando es necesario para garantizar la optimización de los aprendizajes de sus estudiantes.

Resumo O estudo das normas que regulamentam a gestão de aulas e a negociação de aprendizagens é um dos temas que têm sido de interesse para a comunidade de pesquisas em educação matemática. Atualmente, no contexto de virtualidade motivado pela pandemia da Covid-19, é preciso estudar o tipo de normas que emergem e regulamentam as interações que surgem nas aulas de matemáticas. Neste artigo são apresentados os resultados de um estudo no qual são caracterizadas as normas que regulamentam a gestão de aulas de geometria, do ensino médio, que acontecem virtualmente. Como referente teórico, é considerado o modelo de análise didática que propõe o enfoque ontosemiótico (EOS) e, particularmente, as noções de práticas do professor de matemáticas e o sistema de classificação de normas. A pesquisa é desenvolvida a partir de um paradigma qualitativo-naturalista, dado que são analisadas duas aulas sobre relações métricas nas circunferências, ministradas a estudantes chilenos de terceiro ano do ensino médio (15-16 años). Como conclusão, é possível caracterizar as normas que regulamentam os processos de interação em uma aula virtual, mostrar a adaptabilidade de docentes em um contexto excepcional-virtual de aulas, onde se determinam normas e as mudam quando necessário para garantir a otimização das aprendizagens de seus estudantes.

Abstract The standards regulating class management and learning negotiation is a topic of interest to the mathematics education research community. In the context of virtuality as a result of the Covid-19 pandemic, it is necessary to study the type of standards emerging to regulate interactions in math classes. In this study, standards regulating online high school geometry classes are characterized. As a theoretical reference, the didactic analysis model proposed by the Ontosemiotic Approach (OSA) is considered, particularly the notions of mathematics teacher’ practices and the standard classification system. The research is developed under a qualitative-naturalistic paradigm in which researchers analyzed two classes on metric relationships in circumferences taught to Chilean third-year high school students (15-16 years). In conclusion, the standards regulating the interaction processes in an online classroom are characterized, and teachers’ adaptability is shown in an exceptional-virtual context, where standards are established and changed when necessary to guarantee the optimization of the students’ learning.

In this article, we present a proposal of progressive inferential reasoning levels, from the informal to the formal, for the t-Student statistic, based on epistemic criteria identified with a historical-epistemological study on this statistic and from the investigation developed on inferential reasoning. To do this, we used some theoretical-methodological notions introduced by the Onto-Semiotic Approach to mathematical knowledge and instruction (OSA), which allowed both to characterize various meanings conferred on the t-Student statistic throughout its evolution and development, and to present a comprehensive perspective of what is considered inferential reasoning. The mathematical attributes of the t-Student statistics’ meanings are strongly linked to the indicators of the different levels of inferential reasoning presented here. Furthermore, each level is associated with informal, pre-formal, or formal inferential reasoning. The proposed levels of Inferential Reasoning for the t-Student statistic and its indicators are expected to be useful for the design of activities that gradually promote formal inferential reasoning based on informal inferential reasoning on this statistic.

Resumen En este artículo presentamos una propuesta de niveles progresivos, de lo informal a lo formal, de razonamiento inferencial para el estadístico t-Student, a partir de criterios epistémicos identificados con un estudio de tipo histórico-epistemológico sobre este estadístico y de la investigación desarrollada sobre razonamiento inferencial. Para ello, utilizamos algunas nociones teórico-metodológicas introducidas por el Enfoque Onto-Semiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos (EOS), las cuales permitieron tanto identificar y caracterizar diversos significados conferidos al estadístico t-Student, a lo largo de su evolución y desarrollo, como presentar una perspectiva integral de lo que se considera razonamiento inferencial. Los atributos matemáticos de los diversos significados del estadístico t-Student se encuentran fuertemente vinculados a los indicadores de los distintos niveles de razonamiento aquí expuestos. Además, cada nivel se encuentra asociado a un razonamiento inferencial informal, pre-formal o formal. La propuesta de niveles de Razonamiento Inferencial para el estadístico t-Student y sus indicadores, se prevén útiles para el diseño de actividades que promuevan, gradualmente, un razonamiento inferencial formal sobre la base del razonamiento inferencial informal, sobre este estadístico.

Abstract This article aims at presenting the results of a historical-epistemological study conducted to identify criteria for designing tasks that promote the understanding of the limit notion on a real variable function. As a theoretical framework, we used the Onto-Semiotic Approach (OSA) to mathematical knowledge and instruction, to identify the regulatory elements of mathematical practices developed throughout history, and that gave way to the emergence, evolution, and formalization of limit. As a result, we present a proposal of criteria that summarizes fundamental epistemic aspects, which could be considered when designing tasks that allow the promotion of each of the six meanings identified for the limit notion. The criteria presented allow us to highlight not only the mathematical complexity underlying the study of limit on a real variable function but also the richness of meanings that could be developed to help understand this notion.

Resumen El objetivo de este artículo es presentar los resultados de un estudio de tipo histórico-epistemológico, que se llevó a cabo para identificar criterios a considerar en el diseño de tareas para promover la comprensión de la noción de límite de una función en una variable real. Como marco teórico utilizamos el Enfoque Onto-Semiótico (EOS) del conocimiento y la instrucción matemáticos, para identificar los elementos regulativos de las prácticas matemáticas que se desarrollaron a lo largo de la historia y que dieron paso al surgimiento, evolución y formalización de la noción límite. Como resultado, se presenta una propuesta de criterios, que resumen aspectos epistémicos fundamentales, que se podrían considerar para el diseño de tareas que permiten promover cada uno de los seis significados identificados para la noción de limite. Los criterios presentados permiten resaltar no sólo la complejidad matemática subyacente al estudio del límite de una función en una variable real, sino la riqueza de significados que podrían desarrollarse para ayudar a la comprensión de esta noción.

Resumen El estudio sobre losproblemas que plantean profesores a sus estudiantes y las características que se deben considerar con la finalidad de potenciar sus competencias matemáticas constituye un tema que ha adquirido interés en los últimos años.Sin embargo, la mayoría de los estudios se han abordado desde el punto de vista epistémico, tecnológico o cognitivo, sin considerar efectivamente el quehacer que realizan los profesores habitualmente con respecto a la proposición de problemas para sus clases de matemáticas. En este sentido, el objetivo de este artículo es explorar las concepciones y prácticas pedagógicas de un grupo de docentesen servicio, de enseñanza básica y media del sur de Chile, sobre la selección de problemas de matemáticas para sus clases y los criterios que utilizan para tal selección. El interés de este estudio nace de asumir que, en el salón de clases, los profesores son el vehículo articulador de las políticas educativas; otra motivación surge por los resultados de la investigación en didáctica de la matemática. Con esta finalidad, se implementa un cuestionario, cuyos resultados evidencian que los problemas que eligen los profesores para sus clases son, básicamente, de tres tipos: i) problemas de los libros de texto, internet y otros recursos; ii) problemas que adaptan (variaciones propias) de los libros de texto, internet u otros recursos; y iii) problemas que el mismo docente crea. En cualquier caso, se hace notorio un creciente interés de los profesores por llevar al aula problemas con contextos cercanos a sus estudiantes y que despierten, emocionalmente, el interés. Además, se observó que los criterios utilizados para el planteamiento de problemas en el aula contemplan, implícitamente, los criterios de idoneidad propuestos en el marco del enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos.

Resumo O estudo dos problemas expostos pelos professores a seus alunos e das características que devem ser consideradas para aprimorar suas habilidades matemáticas é uma questão que tem despertado interesse nos últimos anos. No entanto, a maioria dos estudos foi abordada do ponto de vista epistêmico, tecnológico ou cognitivo, sem considerar efetivamente a tarefa que os professores costumam fazer com relação à proposta de problemas para suas aulas de matemática. Nesse sentido, o objetivo deste artigo é explorar as concepções e práticas pedagógicas de um grupo de professores em serviço, do ensino fundamental e médio do sul do Chile, sobre a seleção de problemas de matemática para suas aulas e os critérios utilizados para essa seleção. O interesse deste estudo decorre da suposição de que, na sala de aula, os professores são o veículo articulador das políticas educacionais; outra motivação surge dos resultados de pesquisas no ensino da matemática. Para isso, é implementado um questionário, cujos resultados mostram que os problemas eleitos pelos professores para suas aulas são basicamente de três tipos: i) problemas de livros didáticos, internet e outros recursos; ii) problemas que se adaptam (variações próprias) de livros didático, internet ou outros recursos; e iii) problemas que o próprio professor cria. De qualquer forma, há um crescente interesse dos professores em trazer problemas para a sala de aula com contextos próximos aos alunos e que despertem, emocionalmente, o interesse. Além disso, observou-se que os critérios utilizados para a exposição de problemas na sala de aula contemplam implicitamente os critérios de idoneidade propostos no âmbito do Enfoque Ontosemiótico do Conhecimento e a Instrução Matemática.

Abstract The study of the problems posed by teachers to their students and the characteristics that should be considered to enhance mathematical competences is an issue that has gained interest in recent years. However, most of these studies have been approached from an epistemic, technological, or cognitive point of view, without effectively considering what math teachers usually do to pose problems in their classes. In this sense, the objective of this article is to explore the pedagogical conceptions and practices of a group of elementary and secondary teachers from southern Chile about the selection of mathematical problems for their classes, and the criteria they use for such selection. The interest of this study stems from assuming that, in the classroom, teachers are the articulating vehicle of educational policies. Another motivation for this paper is the results of research in Mathematics Education. For this purpose, a questionnaire was presented which showed that teachers choose any of the following three mathematical problems: i) problems taken from textbooks, internet, and other resources; ii) problems adapted from textbooks, internet, or other resources (own variations); and iii) problems created by the teacher. In any case, there is a growing interest in teachers to pose problems with contexts that students feel close to and arouse interest from an emotional point of view. In addition, it was observed that the criteria used by teachers for posing math problems in the classroom implicitly contemplate the didactical suitability criteria proposed within the framework of the Onto-Semiotic Approach to Mathematical Knowledge and Instruction (OSA).

Abstract Geometry teaching and learning processes have allowed us to pose several problems that have been intensively studied by the Mathematics Education research community in recent decades, focusing on aspects such as software use, student knowledge, mathematical complexity, teacher knowledge etc. However, today, there is still interest in understanding the difficulties associated with the teachers' practices, in particular, regarding the management of the classes they carry out, since this directly impacts geometry learning by the students. In this sense, we present a study that consists on the observation of the management of two teachers who have faced the teaching of Euclid's Theorems in their second-year courses in Middle Education in Chile. To this end, direct observation of the classes was carried out and both teachers were subsequently interviewed. For the analysis of pedagogical management, we used Guy Brousseau's Theory of Didactical Situations (TSD), specifically focusing on the notions of didactical contract, didactical milieu, and the processes of devolution and institutionalization. The methodology used in the study is qualitative, descriptive, and interpretive, where extracts of episodes from a class are retrieved. The analysis reveals numerous didactical paradoxes that do not favor the learning of the students in relation to the foreseen objectives, nor to the mathematical objects treated in class. Among the paradoxes, phenomena such as the topaze and resonance effects are observed, detected in the teacher-student interaction. The need to analyze in depth the professional practices of teachers is evident, since this work revealed the rupture between the institutional discourse and the pedagogical management in practice.

Resumen Los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la geometría han permitido plantear diversos problemas que han sido estudiados intensamente por la comunidad de investigación en Didáctica de la Matemática en las últimas décadas, centrándose en aspectos tales como el uso de software, el conocimiento de los alumnos, la complejidad matemática, el conocimiento del profesor etc. No obstante, hoy en día aún sigue vigente el interés por entender las dificultades asociadas a las prácticas de los profesores, en particular, sobre la gestión de las clases que llevan a cabo, ya que esto impacta directamente en el aprendizaje de la geometría de los estudiantes. En este sentido, presentamos un estudio que consiste en la observación de la gestión de dos profesores que se han enfrentado a la enseñanza de los Teoremas de Euclides en sus cursos de segundo año de Educación Media, en Chile. Con este fin, se realizó la observación directa de las clases y, posteriormente, se entrevistó a ambos profesores. Para el análisis de la gestión pedagógica utilizamos la Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) de Guy Brousseau, concretamente nos interesamos por las nociones de contrato didáctico, medio didáctico, procesos de devolución e institucionalización. La metodología utilizada en el estudio es de tipo cualitativa, descriptiva e interpretativa, donde se recupera extractos de episodios de una clase. El análisis revela numerosas paradojas didácticas que no favorecen el aprendizaje de los alumnos en relación con los objetivos previstos, ni a los objetos matemáticos tratados en clases. Entre las paradojas se observan fenómenos como el efecto topaze y el de resonancia, detectados en la interacción profesor/alumno. Queda en evidencia la necesidad de analizar en profundidad las prácticas profesionales de los profesores, pues en este trabajo se pone de manifiesto la ruptura entre el discurso institucional y la gestión pedagógica en práctica.

Resumen En este artículo presentamos los puntos de vista de 17 personas investigadoras chilenas reconocidas, a nivel nacional e internacional, por sus contribuciones al campo de la educación matemática, y concretamente a la formación de profesorado de matemáticas. Para ello, se elaboró una encuesta con la cual exploramos las opiniones y reflexiones de personal experto sobre las características de los actuales programas de formación de profesorado de matemáticas en Chile. Como resultado de este estudio, se plantean algunas recomendaciones que podrían tenerse en cuenta para el mejoramiento de los programas de formación docente, que permitan, así, oportunidades para la adquisición de competencias didáctico-matemáticas idóneas para la gestión de los aprendizajes.

Resumo Neste artigo apresentamos os pontos de vista de 17 pesquisadoras chilenas reconhecidas em nível nacional e internacional por suas contribuições no campo da educação matemática e, concretamente na formação do professorado de matemática. Para isso, elaborou-se uma enquete com a qual exploramos as opiniões e reflexões de pessoas peritas sobre as características dos atuais programas de formação de professorado de matemática no Chile. Como resultado deste estudo, planteiam-se algumas recomendações que poderiam ser levadas em consideração para a melhoria dos programas de formação docente, que permitam, assim, oportunidades para a aquisição de competências didático-matemática idôneas para a gestão das aprendizagens.

Abstract In this article, we present the viewpoints of 17 nationally and internationally recognized Chilean researchers for their contributions to the field of mathematics education, and specifically to the training of mathematics teachers. For such purpose, a survey that explored the opinions and reflections of experts about the characteristics of the current mathematics teachers training programs in Chile was conducted. As a result of this study, some recommendations were proposed; they could be considered for the improvement of teacher training programs, allowing opportunities for acquisition of suitable didactic-mathematical competences for the management of the learning.

Abstract The present study reports the results obtained by analysing different problem-situations addressed throughout history and which allowed both the emergence and evolution of the anti-derivative notion. Such problem-situations and their solutions were identified by a historical documentary study and analysed by using some of the methodological-theoretical tools, which provided the theoretical framework known as Onto-Semiotic Approach (OSA) of mathematical knowledge and instruction. As a result, it was found that, throughout history, the anti-derivative notion adopted four partial meanings that together comprised a proposal for reconstruction of the holistic meaning for this notion.

Resumen En el presente estudio se informan los resultados obtenidos al analizar diversas situaciones-problemas que fueron abordados a lo largo de la historia, y que permitieron el surgimiento y evolución de la noción antiderivada. Dichas situaciones-problema, y sus soluciones, fueron identificadas mediante un estudio histórico-documental, y analizados mediante el uso de algunas de las herramientas, teórico-metodológicas, que nos proporciona el marco teórico conocido como Enfoque Onto-semiótico (EOS) del conocimiento y la instrucción matemáticos. Como resultado, se encontró que a lo largo de la historia la antiderivada ha adoptado cuatro significados parciales, que en conjunto, conforman una propuesta de reconstrucción del significado holístico de referencia para dicha noción.

Abstract: In this paper the mathematical dimension of the Didactical-Mathematical Knowledge of the future teachers of mathematics is analyzed when they transform the representations of a function. A questionnaire was applied to 90 future teachers who were distributed in three groups. The homogeneity of the answers per group is analyzed, and the primary mathematical objects and the present process in the mathematics practices they develop trough their answers are characterized. The results show serious difficulties of the future teachers with some function topics, such as: indetifying and using their intercepts without a graphical support; analyzing their extreme values and growth ranges; making a mathematical model or a graphical draft; indetifying the slope of a linear function. The primary mathematical objects and present processes in the practices that the prospective teachers develop are very similar, in spite of the difference in the number of hours od instruction in each of three gropus.

Resumen: En este trabajo se evalúa la dimensión matemática del Conocimiento Didáctico-Matemático de futuros profesores de matemáticas, al hacer transformaciones de las representaciones de una función. Se aplicó un cuestionario a 90 profesores en formación repartidos en tres grupos; fue analizada la homogeneidad de las respuestas por grupos, y se caracterizaron los objetos matemáticos primarios y procesos presentes en las prácticas matemáticas que desarrollan los profesores en formación al resolver el cuestionario. Los resultados evidencian serias dificultades de los mismos para identificar y usar los interceptos de una función sin ayuda gráfica; analizar sus valores extremos y sus intervalos de crecimiento; modelarla matemáticamente e identificar la pendiente de una función lineal. Los objetos matemáticos primarios y procesos presentes en las prácticas que desarrollan los estudiantes al hacer transformaciones de las representaciones de las funciones involucradas en la situación son muy similares, a pesar de la diferencia en horas desarrolladas en el programa en cada uno de los tres niveles.

In this paper, we present results obtained from the analysis of prospective high school teachers' mathematical practices about two tasks on derivatives. This analysis exemplifies the use and scopes of the notions of mathematical practices and configurations of objects and processes, provided by the Onto-Semiotic Approach (OSA) of mathematical knowledge, to characterize the knowledge of mathematics teachers. The analysis of the students' responses show both a disconnection between the different partial meanings of the derivative as well as the need to enhance the content knowledge through activities that encourage the use and identification of mathematical objects, their meanings, and the processes involved in the solution of mathematical tasks.

En el presente trabajo se informa de los resultados obtenidos al analizar las prácticas matemáticas de una muestra de futuros profesores de secundaria/bachillerato a propósito de dos tareas sobre derivadas. Este análisis ejemplifica el uso y alcances de las nociones prácticasmatemáticas y configuración de objetos y procesos, proporcionadas por el Enfoque Onto-Semiótico (EOS) del conocimiento matemático, para la caracterización de los conocimientos del profesorado de matemáticas. Los resultados del análisis evidencian tanto una desconexión entre los distintos significados parciales de la derivada como la necesidad de potenciar el conocimiento del contenido. Este aprendizaje puede hacerse mediante actividades que favorezcan el uso e identificación de objetos matemáticos, sus significados y los procesos involucrados en la solución de tareas matemáticas.

Abstract: In this paper, we explore the coupling between the intended and implemented meanings by the teachers and the meanings achieved by the students in the context of an exploratory-investigative task on patterns, implemented in a class of the 7th grade of the basic education in Brazil. For this, we use the theoretical model known as Onto-Semiotic Approach (OSA) of mathematical knowledge and instruction, which allowed us to describe and interpret the interaction processes in the classroom and establish relations between the facets that, according to this model, compose the process of teaching and learning. As a result, we emphasize the complexity of the teacher's work, which should be able to recognize and negotiate the meanings produced by the students -not always contemplated in her initial planning- making decisions about the type of performance that should be adopted, moment-to-moment, throughout the process of study to ensure the optimization of learning.

Resumen: En este trabajo exploramos el proceso de acoplamiento entre los significados pretendidos e implementados por los profesores, y los significados que logran los estudiantes, en un contexto de una tarea exploratorio-investigativa sobre patrones, implementada en una clase de 7° año de Enseñanza Básica en Brasil. Para ello, utilizamos el modelo teórico conocido como Enfoque Onto-Semiótico (EOS) del conocimiento y la instrucción matemáticos, el cual nos permitió describir e interpretar los procesos de interacción en el aula y establecer las relaciones entre las facetas que, según este modelo, componen el proceso de enseñanza y aprendizaje. Como resultado resaltamos la complejidad del trabajo del profesor, quien debe ser capaz de reconocer y negociar los significados producidos por los estudiantes -no siempre contemplados en su planeación inicial- tomando decisiones sobre el tipo de actuación que debe adoptar momento a momento a lo largo del proceso de estudio para garantizar la optimización del aprendizaje.