Abstract: We present, using features of mathematical discourse, an analysis of eighth grade, Middle School, students’ verbal expressions, found in the commu-nicative interaction that took place during a geometry class about similar triangles. We adopt a research strategy “based on usual practices”, with the objective of contrasting the hypothesis we had: students’ verbal utterances in a mathematics class are not usually useful for the development of the respective discourse, due to intrinsic features of those interventions. Our hypothesis does not hold because we found student voices that have considerable potential to boost mathematical discourse. However, these are not always taken advantage of by the teacher, perhaps due to a classroom management that prioritizes achieving student intervention at the cost of exercising the role of discourse leader.

Resumen: Presentamos el análisis de expresiones verbales de estudiantes de Educación Básica secundaria, en interacción comunicativa en una clase de geometría sobre semejanza de triángulos, usando rasgos propios del discurso matemático. Adoptamos una estrategia investigativa “basada en prácticas usuales”, con el objetivo de contrastar la hipótesis que teníamos, según la cual las verbalizaciones de los estudiantes en el aula de matemáticas suelen no ser útiles para el desarrollo del respectivo discurso, debido a rasgos intrínsecos de esas intervenciones. La hipótesis no se sostiene pues encontramos voces de estudiantes que tienen un potencial considerable para impulsar el discurso. Sin embargo, no siempre son aprovechadas por el profesor, quizá debido a una gestión que tiene como prioridad lograr la intervención de los estudiantes a costa de ejercer su papel de líder del discurso.

Abstract We characterized both discursive expressions of three sixth grade students on the phrase intersect each other and the effect they have on the construction of collective and shared meanings of intersection. Recording data, extracting information without losing the context where the interaction is framed, and selecting expressions to analyze were all done by using a classroom-based qualitative strategy. The analysis, following techniques typical of ethnomethodology, was done in terms of: (i) intelligibility and authenticity, (ii) features of the discourse proposed by Sfard and (iii) our conceptualization of collective voice and shared voice. We found a geometry classroom in which student voices are collectively constructed and generate shared meaning about intersection, which is reflected in a punctual discursive transition. The contribution of this paper resides in the use of the discursive features regarded in the analysis to focus the gaze to the discourse on mathematical content.

Resumen Caracterizamos expresiones discursivas de tres estudiantes de grado sexto sobre la frase se intersecan y el efecto que tienen en la construcción de significados colectivos y compartidos de intersección. Empleamos una estrategia cualitativa basada en prácticas usuales, para registrar información, fragmentarla sin perder el contexto donde se enmarca la interacción, y seleccionar expresiones para su análisis. Siguiendo técnicas propias de la etnometodología, el análisis se hizo en términos de: (i) inteligibilidad y autenticidad, (ii) rasgos del discurso propuestos por Sfard y (iii) nuestra conceptualización de voz colectiva y voz compartida. Encontramos un aula de geometría en la que las voces de estudiantes se construyen de forma colectiva y generan significado compartido sobre la intersección que se refleja en una transición discursiva puntual. El aporte de este documento reside en el uso de los rasgos discursivos considerados en el análisis para enfocar la mirada al discurso en el contenido matemático.

Résumé Celle-ci est une étude de recherche interprétative qui suit la trace de la construction du sens d’un fait géométrique, à travers d’une interview non structuré à un étudiant de septième année. Le processus a été médiatisé sémiotiquement par l’intervieweur. L’analyse a été réalisée dans une perspective fondée sur la théorie du signe triadique de Peirce. il est évident que l’introduction à une activité de nature scientifique peut bénéficier de manière significative de la médiation sémiotique d’un expert, en particulier, de sorte que l’étudiant clarifie, raconte et exprime ses idées.

Resumo Um estudo de pesquisa interpretativo é apresentado, em que através de uma entrevista a construção de um significado geométrico feito por um aluno da sétima série é traçado; o processo foi semioticamente mediada pelo entrevistador. A análise é feita a partir de uma perspectiva semiótica baseada na teoria de signo triádico de Peirce. Como resultado, a complexidade dos processos analisados na visão, mas também a possibilidade de dirigir esta complexidade. É evidente que a introdução a uma atividade de natureza científica pode se beneficiar significativamente da mediação semiótica de um especialista, em particular, para o aluno esclarecer, relacionar e expressar suas idéias.

Abstract an interpretive research study is presented. through a non-structured interview, semiotically mediated by the interviewer, we track the personal meaning making process that a 7th grade student carries out with respect to a specific geometric fact. The analysis, presented through vignettes, is done from a semiotic perspective, based on Peirce’s triadic sign theory. We evidence that when introducing a student to activity of scientific nature an expert’s semiotic mediation can notably benefit the student, particularly, to clarify, relate and express his ideas.

Resumen Presentamos un estudio de investigación interpretativa en el que a través de una entrevista no estructurada se rastrea la construcción de significado personal de un hecho geométrico por parte de un estudiante de grado séptimo; el proceso fue mediado semióticamente por la entrevistadora. El análisis, presentado a manera de viñetas, se hace desde una perspectiva semiótica basada en la teoría del signo triádico de Peirce. Se evidencia que la introducción a una actividad de índole científica puede beneficiarse notablemente de la mediación semiótica de un experto, en particular, para que el estudiante aclare, relacione y exprese sus ideas.

Abstract: The purpose of this article is to present the meaning that pre-service teachers give to the Point Localization Theorem, a Euclidean plane geometry theorem. We infer the meaning from the students' use of the theorem when they try to justify a procedure for which it is not adequate. We point out that the error this mistake entails becomes a path used deliberately by the teacher to favor semiosis with respect to the meaning of the theorem; we expose how the teacher recognizes the importance of this incident and therefore opens a space so that the students can explicit their meanings, possible genesis of the inadequate use, as a means to approach the desired shared meaning of the so said theorem. To describe the semiosis and identify the meanings, we use the semiotic perspective inspired in Peirce's idea of triadic sign.

Resumen: En este artículo presentamos significados que estudiantes de un programa de formación inicial de profesores de matemáticas dan al Teorema Localización de Puntos (de la geometría plana euclidiana), inferidos del uso que ellos hacen del mismo cuando intentan justificar teóricamente un procedimiento en el que el uso de tal teorema no es adecuado. Destacamos el error al que esta falencia conlleva, como un camino usado deliberadamente por el profesor para favorecer una semiosis relacionada con el significado del teorema; exponemos cómo el profesor reconoce la importancia de este suceso y abre el espacio para que los estudiantes expliciten los significados, posible génesis de tal dificultad, buscando que se acerquen al significado compartido deseado de dicho teorema. Para describir tal semiosis y decantar los significados, hacemos uso de la perspectiva semiótica inspirada en la idea peirceana de signo triádico.

En este artículo damos a conocer nuestro punto de vista en relación con el papel de la lógica matemática en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la demostración. Ilustramos cómo introducimos temáticas de la lógica en un curso de geometría, para lo cual acudimos a los sucesos del cursillo realizado en el XX Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones. Presentamos ejemplos en el los que la geometría dinámica se constituye en un contexto que propicia el acercamiento sugerido a la lógica matemática.

In this paper we present our point of view with respect to the role of mathematical logic in the teaching and learning of proof. We illustrate how to introduce topics of logic in a geometry course. To do so, we rely on results obtained during the workshop developed during the 20º Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones. We present examples where dynamic geometry becomes a context that favors the suggested approach to mathematical logic.

Resumen. Analizamos la actividad demostrativa de tres estudiantes de un curso universitario de geometría, cuando trabajan colaborativamente en la resolución de un problema. Subyacente a la resolución está la producción de un teorema dentro de una teoría determinada. El análisis se concentra en identificar y seguirles el rastro a las ideas matemáticas surgidas, y en identificar, en las acciones de los estudiantes, los tres aspectos que según Habermas caracterizan un comportamiento racional (teleológico, epistémico y comunicativo), con miras a describir la participación de los estudiantes. Los hallazgos nos permiten afirmar que es posible que estudiantes de pregrado produzcan un teorema.

Abstract. We analyze the proving activity of three students of a university geometry course, when they were working collaboratively to solve a problem. Underlying the solution process is the production of a theorem within a determined theory. With the purpose of describing the students’ participation, the analysis concentrates in identifying and keeping track of the mathematical ideas that emerge and in identifying, in the students’ actions, the three aspects that, according to Habermas, characterize a rational behavior (teleological, epistemic and communicative). The findings permit us to affirm that undergraduate students can produce a theorem.