Resumen Este estudio tiene por objetivo analizar las prácticas que realiza un profesor con sus estudiantes para resolver un problema de medida de superficies en las que intervienen aspectos de carácter metacognitivo. Se diseñó una propuesta didáctica, basada en una metodología de enseñanza por diagnóstico, en la que el profesor propone una tarea para hacer aflorar diferentes significados personales acerca de las magnitudes longitud y superficie, utilizando el tangram de Fletcher. La instrucción fue llevada a cabo en una clase de 26 estudiantes de 14 años que cursaban 2º año de la Educación Secundaria Obligatoria en España. Para el análisis se tomaron, como referente teórico, constructos de metacognición y del Enfoque Ontosemiótico. Entre las conclusiones está que cognición y metacognición pueden ser mejoradas con una instrucción bien planeada y responsablemente ejecutada.

Résumé L'objectif de cette étude est d'analyser les pratiques qu'un enseignant met en œuvre avec ses élèves pour résoudre un problème de mesure de surface dans lequel interviennent des aspects de nature métacognitive. Une proposition didactique a été conçue, basée sur une méthodologie d'enseignement diagnostique, dans laquelle l'enseignant propose une tâche pour faire ressortir différentes significations personnelles sur les grandeurs de longueur et de surface, en utilisant le tangram de Fletcher. L'instruction a été réalisée dans une classe de 26 élèves de 14 ans qui étaient en 2e année de l'enseignement secondaire obligatoire en Espagne. Pour l'analyse, les constructions de la métacognition et l'approche ontosémiotique ont été prises comme référence théorique. Parmi les conclusions, il y a que la cognition et la métacognition peuvent être améliorées avec un enseignement bien planifié et exécuté de manière responsable.

Abstract The objective of this study is to analyze the practices that a teacher carries out with his students to solve a surface measurement problem in which aspects of a metacognitive nature intervene. A didactic proposal was designed, based on a diagnostic teaching methodology, in which the teacher proposes a task to bring out different personal meanings about the length and surface magnitudes, using Fletcher's tangram. The instruction was carried out in a class of 26 14-year-old students who were in the 2nd year of Compulsory Secondary Education in Spain. For the analysis, constructs of metacognition and the Ontosemiotic Approach were taken as theoretical reference. Among the conclusions is that cognition and metacognition can be improved with well planned and responsibly executed instruction.

Resumo O objetivo deste estudo é analisar as práticas que um professor realiza com seus alunos para resolver um problema de medida de superfície em que intervêm aspectos de natureza metacognitiva. Foi elaborada uma proposta didática, baseada em uma metodologia de ensino por diagnóstico, na qual o professor propõe uma tarefa para trazer à tona diferentes significados pessoais sobre as grandezas de comprimento e superfície, utilizando o tangram de Fletcher. A instrução foi realizada em uma turma de 26 alunos de 14 anos do 2º ano correspondente ao Ensino Fundamental II, na Espanha. Para a análise, tomaram-se como referencial teórico os construtos da metacognição e do Enfoque Ontossemiótico. Entre as conclusões está que a cognição e a metacognição podem ser melhoradas com uma instrução bem planejada e executada com responsabilidade.

Abstract Evaluation of teaching practice is a necessary task to improve the teaching and learning processes. The purpose of this study is to analyze the assessments made by a Mathematics in-service teacher when she observed a video recording of a class in which she taught students about the logarithmic function in the fourth year of Secondary Education. To do so, a case study with non-participant observation was carried out. The research design is a case study using an Onto-semiotic approach to mathematical knowledge and instruction. Two research protocols were applied: 1) an expert analysis based on this approach to determine mathematical practices, processes and objects, and 2) an evaluation of didactic suitability. The assessments made were classified using the criteria, components and indicators of didactic suitability proposed in the Didactic-Mathematical Knowledge and Competencies (DMKC) model. The results show that the teacher’s evaluations emphasize epistemic and interactional criteria and that such evaluations can be classified and organized using didactic suitability criteria, and their components and indicators. In addition, the methodology applied is useful for teachers who wish to evaluate the mathematical instruction they provide, and can allow them to recognize elements and topics for improvement in their educational practice.

Resumen Valorar la práctica docente es una tarea necesaria para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje. El propósito de este estudio es analizar las valoraciones que realiza una docente de Matemáticas en servicio al observar en video la clase que implementó al enseñar el tema de función logarítmica en cuarto año de Educación Secundaria. Para esto, se realizó un estudio de casos con observación no participante. El diseño de investigación responde a un estudio de caso enmarcado en el Enfoque Ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos. Dos protocolos de investigación fueron aplicados: 1) un análisis experto basado en el enfoque indicado para determinar prácticas, procesos y objetos matemáticos, y 2) una valoración de idoneidad didáctica. Las valoraciones realizadas fueron clasificadas a través de los criterios, componentes e indicadores de idoneidad didáctica propuestos por el modelo de Competencias y Conocimientos Didáctico-Matemáticos. Los análisis realizados muestran que las valoraciones de la docente enfatizan los criterios epistémico e interaccional y que tales valoraciones pueden ser clasificadas y organizadas mediante los criterios de idoneidad didáctica, sus componentes e indicadores. Además, la metodología empleada ofrece un aporte para los profesores que deseen reflexionar sobre la instrucción matemática que realizan y puede permitirle reconocer elementos y temas de mejora en su práctica educativa.

This research is based on the notion of didactic suitability criteria proposed by the Ontosemiótic Approach (OSA) of Mathematical Knowledge and Instruction (Godino, Batanero, and Font, 2007). It is aimed at describing the components and indicators for each of these criteria. Theoretical framework systematization and case study were used as fundamental methods; the latter was used to compare the proposed descriptors to the indicators of successful performance used by an in-service teacher to describe his teaching practice in his master degree dissertation. The components and indicators corresponding to each of the suitability criteria and its correspondence to teachers' qualification description referred to in the case study are offered as a scientific result

Esta investigación da continuidad a estudios anteriores relacionados con la noción de criterios de idoneidad didáctica propuesta por el Enfoque Ontosemiótico (EOS) del Conocimiento y la Instrucción Matemáticos (Godino, Batanero y Font, 2007) y tiene como objetivo central la presentación de los componentes e indicadores para cada uno de estos criterios. Se emplearon como métodos fundamentales la sistematización del marco teórico y el estudio de caso, este último se usó para comparar los descriptores propuestos con los indicadores de desempeño exitoso que emplea un docente en ejercicio en su trabajo de fin de máster para describir su práctica docente. Se ofrece como resultado científico los componentes e indicadores correspondientes a cada uno de los criterios de idoneidad y su triangulación con la descripción del desempeño referida en el estudio de caso

Resumo Este artigo tem como objetivo analisar as potencialidades e limites de tarefas matemáticas, elaboradas com base nos critérios de idoneidade didática, para favorecer o desenvolvimento da percepção de espaço na criança da Educação Infantil. Os critérios de idoneidade didática, ferramentas teóricas do enfoque ontosemiótico, servem para análise e avaliação de processos de ensino e de aprendizagem. Este estudo, de abordagem qualitativa, foi desenvolvido com as crianças do Grupo 3 da Creche da Universidade Federal da Bahia, por meio da implementação de sequências de tarefas. Os resultados revelaram que, de modo global, as sequências de tarefas tiveram um nível de idoneidade didática de médio a alto, contribuindo com um percurso favorável de aproximação das crianças com noções importantes para o desenvolvimento da percepção de espaço, mostrando, em seu conjunto, o potencial das tarefas desenhadas e, portanto, o caráter idôneo da proposta. De modo específico, o critério mediacional, que diz respeito, por exemplo, aos recursos sobretudo materiais, acabou funcionando como um limitante da aprendizagem, uma vez que foi um distrator, desviando a atenção das crianças para outros objetivos de aprendizagem.

Abstract This article aims to analyze the potentialities and limits of mathematical tasks, elaborated based on the didactic suitability criteria, to favor the development of space perception in children of Early Childhood Education. The criteria of didactic suitability, theoretical tools of the ontosemiotic approach, serve for analysis and evaluation of teaching and learning processes. This qualitative study was developed with the children of Group 3 in the Federal University of Bahia day-care center, through the implementation of task sequences. The results showed that, overall, the task's sequences had a level of didactic suitability from medium-high to high and, although they did not reach a high level of suitability, they played a coherent interrelationship, contributing with a favorable course of approach for the children, with important notions for the development of space perception, showing, as a whole, the potential of the designed tasks and, therefore, the suitable character of the proposal. Specifically, the mediational criterion, which concerns, for example, material resources, ended up functioning as a learning boundary, since it was a distractor, diverting children's attention to other learning objectives.

Abstract Mathematical optimization is an essential concept to manage everyday problems. In the Pre-University Spanish Curriculum, the tools for Mathematical Analysis are used to solve optimization problems. It is exactly in this process where the main teaching difficulties appear. In this article, we present the results of an epistemological study in the evolution of optimization throughout the history of the notion, aiming at fixing the meanings of reference. Then, the notion of optimization is presented in three textbooks, being developed in order to obtain the meaning of this notion in the classroom as well as the potential difficulties the students may find in the concept.

Resumen La optimización matemática es un concepto matemático esencial para abordar problemas de la vida cotidiana. En el Currículo del Bachillerato español se emplean las herramientas del Análisis Matemático para solucionar los problemas de optimización, siendo aquí donde aparecen las principales dificultades de aprendizaje de la noción. En este trabajo, en primer lugar, se presentan los resultados de un estudio epistemológico de la evolución de la optimización a lo largo de la historia, con el objetivo de fijar los significados de referencia. Posteriormente, se muestra cómo se desarrolla esta noción en tres libros de texto del citado nivel educativo, todo ello con el fin de poder detectar el significado que se pretende abordar en el aula, así como las dificultades potenciales que los alumnos pueden encontrar en torno a este concepto.

Abstract: The main objective of this investigation is to develop didactic reflection in future primary school mathematics teachers regarding what makes a good problem. The sample consisted of 36 university students from the class on the Didactics of Geometry for Primary School Education. Surveys, expert article readings, group discussions, problem solving and didactic analysis of problems were designed and implemented. Written instruments were used for data collection. In conclusion, in order to effectively adopt the list of criteria for a good problem a teacher must use good techniques for analytical and didactic approaches to mathematics, as well as problem solving competencies.

Resumen: El objetivo principal de esta investigación es desarrollar la reflexión didáctica en futuros profesores de matemáticas de primaria sobre lo que es un buen problema. La muestra fue de 36 alumnos universitarios de la asignatura de Didáctica de la Geometría para Educación Primaria. Para ello se diseñaron e implementaron cuestionarios, lecturas de expertos, discusiones en grupo, resolución de problemas y análisis didácticos de los mismos. Los instrumentos para recoger la información fueron de registro escrito. Se concluye que para aplicar la lista de criterios de un buen problema de manera efectiva se debe de tener una buena técnica en análisis didáctico de la actividad matemática y también competencia en la resolución de problemas.

In this research is analyzed the solution given by a group of college students to a mechanical problem involving a deformable body. As a research context we consider the problem of the runner and investigate the conceptions of the friction force starting from the diagrams made in the solution of the problem. For this purpose, some theoretical tools of the Onto-Semiotic Approach to research in mathematics education are used and adapted. The participants were 71 engineering students from a university in Mexico. The analysis of the diagrams shows that the students have difficulties to employ the condition to optimize friction force and to assign an adequate meaning to it. Likewise, we show the importance to execute a process of idealization, in which the runner is intended as a point on which three forces act, as a necessary condition to the solution of the task.

En esta investigación se analiza la solución de un grupo de estudiantes universitarios a un problema mecánico que involucra a un cuerpo deformable. Como contexto de investigación se considera el problema del corredor y se investigan las concepciones sobre la fuerza de fricción a partir de los diagramas elaborados en la resolución del problema. Para ello, se utilizan y adaptan algunas herramientas teóricas del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición e Instrucción Matemática. Los participantes fueron 71 alumnos de ingeniería de una universidad de México. El análisis de los diagramas muestra que los estudiantes tienen dificultades para emplear la condición de maximización de la fuerza de fricción y para asignar un sentido adecuado a dicha fuerza. Así mismo, se muestra la importancia de llevar a cabo un proceso de idealización, en el que el corredor es pensado como un punto sobre el cual actúan tres fuerzas, como condición necesaria para la solución de la tarea.

This current study aims to analyze the structure and development of a math class that teaches the limit of a function in an intuitive way in the first year of high school. This analysis is based on the onto semiotic approach of knowledge and of mathematical instruction. It intends to describe, explain and evaluate the processes of mathematical education in the classroom. The main result is to reach an evaluation based on the didactic suitability of the process of instruction analyzed.

El presente trabajo tiene por objetivo analizar la estructura y funcionamiento de una clase de matemáticas en la que se enseña el límite de una función de una forma intuitiva¹ en el primer curso del Bachillerato². Este análisis se basa en el enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática y está pensado para describir, explicar y valorar procesos de estudio matemático en el aula. El principal resultado es llegar a una valoración fundamentada de la idoneidad didáctica del proceso de estudio analizado.

Este estudio pertenece al paradigma cualitativo y se ubica dentro de la modalidad de un estudio de casos, concretamente entre otros aspetos, trata una reflexión sobre el "cambio" en las instituciones escolares con el objetivo de afrontar la problemática que representa el encaje de este término en el actual desarrollo del Enfoque Ontosemiótico de la Cognición Matemática". Esta reflexión, con miras a un consenso racionalmente motivado, sobre la contextualización de las funciones en una Facultad de Ciencias Económicas y Sociales, consideró un objetivo inicial, que consistió en la problematización de la situación investigada, para luego pasar a reflexionar sobre dicha situación. La investigación se realizó en dos fases. Una primera fase de indagación y problematización (cuestionarios, entrevistas, análisis de textos, etc). Mientras que en la segunda fase se reflexiona sobre el problema encontrado, usando como escenario de investigación un seminario- taller. En el análisis de los argumentos esgrimidos por el auditorio docente se utilizan los elementos teóricos de la TAC y los criterios de idoneidad desarrollados por el EOS.

This Study belong to the qualitative paradigm and it takes position into the modality of case of study, specifically, between other aspects, it is about a reflection of the "change" in the scholar institutions with aim to face the problem that represent the insertion of that term in the actual development of the "Ontosemiotic Angle of Mathematical Cognition". This reflection, that looked forward to consent rationally motivated, about the contextualization of the functions in an Economics and Social Science Faculty, considered an initial objective, that consisted in the problematization of the studied situation, then, to pass reflection about that situation. This research was made in two phases. The first one, of inquire and problematization (questionnaires, interviews, text analysis, etc.). In the second phase, the author reflection about the problem found, using as investigation scenario a seminar - taller. In the analysis of the arguments used by the teachers auditorium is used the theoretical elements of the CAT (Communicative Action Theory) and the opinion of suitability developed by the AOS (Ontosemiotic Angel).