Abstract: This article reports the Chilean high school and university students’ understanding of the Solution Set of a System of Linear Equations of Three Equations and Two Unknowns (CSSEL 3x2). The study is based on the theory of Modes of Thought, with a Case Study methodology and the use of Implicative Statistics. As a strategy, equivalent equations were used to investigate the influence of the concept of linear dependence on the path to the different ways of conceiving its set of solutions. The use of the concept of slope and the idea of linear combination as mechanisms to transit between the synthetic-geometric and analytical modes associated with the CSSEL3x2 stand out in the students’ responses. A disarticulation between the different ways of thinking the whole solution when parameters are incorporated to the coefficients of the equations was observed, which is particularly noticeable for students who had studied Linear Algebra. On the other hand, we show that the concept of linear dependence that is brought into play in the analysis is restricted to the case of scalar multiples.

Resumen: En este artículo se reporta cómo estudiantes chilenos, de secundaria y universitarios, comprenden el Conjunto Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales de tres ecuaciones y dos incógnitas (CSSEL3x2). El estudio se sustenta en la teoría Modos de Pensamiento, con una metodología de Estudio de Caso, y el uso de la Estadística Implicativa. Como estrategia, se utilizaron ecuaciones equivalentes, para indagar en la influencia del concepto de dependencia lineal en el tránsito de las distintas maneras de concebir su conjunto solución. Se destaca en las respuestas de los estudiantes el uso del concepto de pendiente y la idea de combinación lineal como mecanismos para transitar entre los modos sintético-geométrico y analíticos asociados al CSSEL3x2. Se constató una desarticulación entre los distintos modos de pensar el conjunto solución cuando se incorporan parámetros a los coeficientes de las ecuaciones, lo que es particularmente notorio para el caso conformado por estudiantes que habían cursado Álgebra Lineal. Por otra parte, se aprecia que el concepto de dependencia lineal que se pone en juego en el análisis se restringe al caso de múltiplo escalar.

Abstract In this research, we study the epistemological stability of beginning teachers. To do this, we have made a qualitative study of their suitable-MWS when developing a mathematical domain with the students, so as to clarify the elements that they put into play when unfolding a task in the classroom. We show results related to the eventual favoring that those teachers make of the realization of semiotic, discursive and instrumental genesis, and of the circulation between the different poles of the epistemological and cognitive planes. The study shows that the epistemology of beginning teachers is not stable, due to tension between their personal-MWS and their suitable-MWS.

Resumen En este trabajo estudiamos la estabilidad epistemológica de profesores debutantes. Para ello, hemos hecho un estudio cualitativo de su ETM-idóneo en el momento en que desarrollan un dominio matemático con sus estudiantes, de modo de clarificar los elementos que ponen en juego cuando despliegan una tarea en el aula. Mostramos resultados relativos al favorecimiento eventual que hacen esos profesores de la concreción de las génesis semiótica, instrumental y discursiva, y de la circulación entre los distintos polos de los planos epistemológico y cognitivo. Del estudio se desprende que la epistemología del profesor debutante no es estable, debido a una tensión entre su ETM-personal y su ETM-idóneo.

Résumé: Les obstacles épistémologiques ont des racines profondes dans la Mathématique, racines qu'on peut reconnaître dans l'histoire de la discipline ; elles se caractérisent tant par sa persistance, réapparaissant en des diverses situations, et parce qu'elles son déterminantes pour l'acquisition des connaissances. Néanmoins, ces obstacles demeurent souvent inaperçus par l'enseignant, parfois parce qu'il a remplacé ses propres conceptions (sémantiques) par d'autres, théoriques, ou bien justement parce qu'il n'a pas encore fait cette substitution. Dans ce travail nous présentons une illustration particulièrement remarquable de ce qui précède, qui se rapporte à la persistance d'un obstacle lié au concept d'infini chez des sujets possédant des niveaux de formation différents. Ensuite nous exhibons une caractéristique additionnelle de l'obstacle que nous appelons résistance. Après, nous utilisons diverses approches théoriques, proprement didactiques, pour aborder la question. Finalement, nous présentons quelques réflexions qui découlent de notre étude.

Resumo: Os obstáculos epistemológicos muitas vezes têm raízes profundas na própria matemática, que podem-se indagar na história da disciplina, e caracterizam-se ao mesmo tempo pela persistência com que reaparecem em diferentes situações e o decisivas que são para o secesso da aprendizagem. Estes obstáculos muitas vezes não são notados pelo professor, ou porque ele substituiu no momento oportuno suas próprias concepções (semânticas) por outras de carácter teórico - superando assim o obstáculo sem reparar explicitamente em isso -, ou porque não fez ainda essa substituição. Neste artigo apresentamos uma ilustração particularmente relevante do anterior, que refere-se à persistência do obstáculo ligados ao conceito de infinito em pessoas em diferentes estágios de formação. Após, nos mostramos um recurso adicional que nomeamos de resistência. Posteriormente, utilizamos diversas perspectivas teóricas de ensino proprias da didática, para entrar na questão. Finalmente, nos propomos algumas reflexões que podem-se derivadar de nosso estudo.

Abstract: Epistemological obstacles often have deep roots in Mathematics itself; those roots can be explored in the history of the discipline, and are characterized both by the persistence with which they reappear in various situations and the determining role that they play for the achievement of learning. These obstacles often remain unnoticed by the instructor, either because he/ she has replaced in time his/her own (semantic) conceptions by others of a theoretical nature - overcoming thus the obstacle, but not being aware of it - or else because he/she has not yet made that substitution. In this paper, we present a particularly relevant illustration of the above, which refers to the persistence of an obstacle related to the concept of infinity in different stages of learning. Then we show an additional characteristic of the obstacle, that we call resistance. Subsequently, we use various theoretical approaches, properly didactic, to go into the question. Lastly, we put forward some reflections that can be derived from our study.

Resumen: Los obstáculos epistemológicos suelen tener raíces profundas en la propia Matemática, que pueden pesquisarse en la historia de la disciplina, y se caracterizan a la vez por la persistencia con la cual reaparecen en diversas situaciones y lo determinante que son para el logro de los aprendizajes. Estos obstáculos con frecuencia no son advertidos por el docente, bien sea porque ha reemplazado oportunamente sus propias concepciones (semánticas) por otras de carácter teórico -superando así el obstáculo, sin reparar explícitamente en ello-, o porque no ha logrado aun hacer esa substitución. En este trabajo presentamos una ilustración particularmente relevante de lo anterior, que se refiere a la persistencia de un obstáculo ligado al concepto de infinito en personas en distinto estadio de formación. Luego mostramos una característica adicional del obstáculo que llamamos resistencia. Posteriormente, utilizamos diversas perspectivas teóricas propiamente didácticas para adentrarnos en la cuestión. Finalmente, proponemos algunas reflexiones que se pueden derivar de nuestro estudio.

In this study, we developed a questionnaire on the knowledge of Statistics among primary school teachers and their knowledge of how to teach statistics. This questionnaire focused on teacher awareness of student statistical knowledge and the teaching of statistical content. Three items related to statistical education were included: graph comprehension, differentiation between cognitive levels, and the understanding that arises from changing representational systems. When constructing questionnaire items, these features were included along with information on typical mistakes and difficulties experienced by students learning statistics and probability. The questionnaire comprised a total of 14 items and was administered to 85 primary school teachers and their respective students (n = 994) in Chilean schools. The content validity of the questionnaire was confirmed by 8 experts. The entire questionnaire is not included, and teacher and student performance are given for 2 of its items. Teacher trainers are advised to promote item-generation activities for future teachers to reflect on the teaching of statistical content and to build their awareness of student statistical knowledge.

En este estudio desarrollamos un cuestionario sobre el saber del profesor de primaria en su conocimiento disciplinario de estadística y en su conocimiento para llevar a cabo la enseñanza de la estadística, centrado en el conocimiento del profesor en relación al saber estadístico del alumno y la enseñanza del contenido estadístico. Se incluyeron tres elementos de la educación estadística: comprensión gráfica, diferenciación de niveles cognitivos y comprensión generada al cambiar de sistemas de representación. La construcción de los ítems del cuestionario integró dichos elementos con los conocimientos sobre los errores y dificultades comunes de los alumnos en el aprendizaje de la Estadística y de la Probabilidad. El cuestionario considera un total de catorce ítems y fue aplicado a 85 profesores de educación primaria y a sus respectivos alumnos (de grados 4 y 7), pertenecientes a escuelas chilenas. El cuestionario posee validez de contenido otorgada por ocho expertos. Se presenta el cuestionario completo, y a partir de dos ítems se muestran los resultados de los profesores y de sus alumnos. Se propone al formador de profesores promover actividades de generación de ítems, para que los futuros profesores reflexionen sobre la enseñanza del contenido estadístico y construyan un conocimiento respecto al saber estadístico del alumno.