RESUMO Este trabalho apresenta os resultados de um estudo que teve como objetivo investigar como se dá a tomada de decisão de estudantes do ensino médio ante situações financeiras. Para tal, 99 estudantes foram solicitados a resolver quatro situações financeiras fictícias que exigiam uma tomada de decisão e, posteriormente, responderam a uma entrevista individual. Os resultados revelaram que as heurísticas de ancoragem, afeto, contabilidade mental e aversão à perda estão presentes nas decisões dos estudantes, sendo as heurísticas de afeto e aversão à perda mais frequentes em suas decisões. Constatou-se, ainda, que a natureza da situação financeira teve efeito nas heurísticas mobilizadas pelos estudantes. Conclui-se que nem sempre as decisões dos estudantes estão pautadas apenas nos cálculos matemáticos, então é necessário problematizar sobre o que os leva a tomar determinadas decisões e como as heurísticas e vieses cognitivos podem influenciá-los.

ABSTRACT This work presents the results of a study that aimed to investigate the decision making of high school students when facing financial situations. For this, 99 students were asked to resolve four fictitious financial situations that required decision making, and subsequently responded to an individual interview. The results revealed that the anchoring, affection, mental accounting and loss aversion heuristics are present in the students’ decisions, affection and loss aversion heuristics being more frequent in their decisions. It was also found that the nature of the financial situation had an effect on the heuristics mobilized by the students. The conclusion was that students’ decisions are not always based only on mathematical calculations, so it is necessary to discuss what leads them to make certain decisions and how heuristics and cognitive biases can influence them.

RESUMEN Este artículo presenta los resultados de un estudio que tuvo como objetivo investigar cómo se produce la toma de decisiones de los estudiantes de secundaria con relación a situaciones financieras. Para ello, se solicitó a 99 estudiantes que resolvieran cuatro situaciones financieras ficticias que requerían toma de decisiones y posteriormente respondieron a una entrevista individual. Los resultados revelaron que las heurísticas de anclaje, afecto, contabilidad mental y aversión a la pérdida están presentes en las decisiones de los estudiantes, siendo las heurísticas de afecto y aversión a la pérdida más frecuentes en sus decisiones. También se encontró que la naturaleza de la situación financiera tuvo un efecto sobre las heurísticas movilizadas por los estudiantes. Se concluye que las decisiones de los estudiantes no siempre se basan únicamente en cálculos matemáticos, por lo que es necesario discutir qué les lleva a tomar determinadas decisiones y cómo las heurísticas y sesgos cognitivos pueden influir en ellos.

Resumo Diversos aspectos influenciam a resolução de problemas multiplicativos por crianças, como as características numéricas das tarefas e os suportes de representação disponibilizados durante os procedimentos de resolução. O presente estudo investiga o papel desempenhado por um outro aspecto que é constitutivo do raciocínio multiplicativo: a correspondência um para muitos. Esta correspondência pode estar implícita ou explicitamente mencionada no enunciado dos problemas. Neste estudo examinou-se a possibilidade de que o nível de explicitação da relação um para muitos seria fator importante na resolução de problemas multiplicativos, e que quanto mais explícitas fossem essas relações, melhor seria o desempenho das crianças. Para isso, problemas de multiplicação e de divisão foram solucionados por crianças do 3° e 5° ano do Ensino Fundamental. Os problemas apresentavam diferentes níveis de explicitação da correspondência uma para muitos. Observou-se que o desempenho era melhor nos problemas em que a correspondência uma para muitos era explicitamente mencionada no enunciado do que em problemas em que esta relação estava implícita. Isso foi observado em ambos os anos escolares. Os resultados evidenciam o papel facilitador que a explicitação da correspondência um para muitos desempenha na resolução de problemas de estrutura multiplicativa. Implicações teóricas e educacionaissão discutidas.

Abstract The way in which children solve multiplicative problems is influenced by several aspects, such as the numerical characteristics of the tasks and the representation support that is available during the solution procedure. The present study investigates the role played by another aspect of multiplicative reasoning: the one-to-many correspondence. This correspondence may be implicitly or explicitly mentioned in the wording of the problem. This study examined whether the degree of explicitness of the one-to-many relationship is an important factor in the solution of multiplicative problems, and whether the more explicit this correspondence is, the better the child’s performance. With that in mind, 3rd and 5th grades elementary school students were asked to solve multiplication and division problems. In the wording of the problems, the one-to-many correspondence was presented in different degrees of explicitness. It was found that performance was better in problems in which the one-to-many correspondence was explicitly mentioned than in those in which this relationship was implicit, a factobserved in both school grades. Results show the facilitating role played by the explicitness of the one-to-many correspondence in the solution of problems of multiplicative structure. Theoretical and educational implications are discussed.

Resumo: O artigo investiga as estratégias bem-sucedidas, mobilizadas pelos alunos do ciclo de alfabetização ao resolverem problemas de proporção simples. Solicitou-se a 483 alunos do 1º ao 3º ano que resolvessem seis problemas de proporção, sendo analisadas as respostas de 182 alunos que tiveram estratégias bem-sucedidas. Quando comparados os anos escolares, há aumento nos acertos de ano para ano, na classe de situações um para muitos, o que não se pode afirmar sobre a classe muito para muitos, que permaneceu estagnada. Pelos resultados obtidos, é possível que a estrutura multiplicativa esteja sendo pouco discutida, nos três primeiros anos do Ensino Fundamental.

Abstract: The article investigates the successful strategies mobilized by students in the literacy cycle when solving problems of simple proportion. 483 students from the 1st to the 3rd grade of Brazilian Elementary Education, were asked to solve six problems of proportion, and the responses of 182 students who had successful strategies were analyzed. When comparing school grades, there is an increase in hits from year to year, in the class of situations one-to-many, which cannot be said about the class for many, which remained stagnant. From the results obtained, it is possible that the multiplicative structure is being little discussed in the first three grades of elementary school.

Resumo O presente estudo investiga como professores do Ensino Fundamental concebem e formulam situações-problema inseridas no campo conceitual das estruturas multiplicativas. Trinta e nove professores do 1° ao 9° ano de escolas públicas foram solicitados a formular problemas matemáticos que pudessem ser resolvidos por meio de multiplicação e/ou de divisão. Os resultados mostram que os professores investigados compreendem o que uma situação multiplicativa significa e formulam problemas apropriadamente, sendo poucos os enunciados em que se omitem informações ou que apresentam imprecisões linguísticas. Verificou-se que a maioria dos problemas era de um mesmo tipo e envolviam apenas um passo para sua resolução. A pouca variabilidade foi observada em relação a todos os professores, independentemente do ano em que lecionavam. Concluiu-se que os professores têm dificuldade em formular problemas que envolvam diferentes relações no âmbito das estruturas multiplicativas, sendo necessário desenvolver no professor do Ensino Fundamental a habilidade de formular problemas.

Abstract This study investigates how elementary school teachers conceive and formulate problems within the conceptual field of multiplicative structures. Thirty-nine public school teachers (1st to 9th grade) were asked to formulate mathematical problems which resolution would involve multiplication and division. The results have shown that teachers understand what a multiplicative situation is and can formulate verbal problems appropriately. There were only a few cases where relevant information was omitted, or which contained language-related inaccuracies. It was also found that most of the problems were of the same type, and that their resolution required only one step. This lack of variety was observed among all teachers, regardless of the grade they taught. Thus, it has been concluded that teachers have difficulties in posing problems that make use of the various situations characteristic of the multiplicative structures field. It is, therefore, crucial to develop the elementary school teachers’ ability to pose problems.

Resumo O artigo trata da interpretação que professores e futuros professores fazem dos erros de alunos do ensino fundamental na solução de problemas de estrutura multiplicativa. Os participantes foram 12 futuros professores e 12 professores de matemática do ensino fundamental. Em entrevista semiaberta, foram-lhes apresentadas seis cartelas, cada uma contendo o enunciado de um problema (três de produto de medidas, três de isomorfismo de medidas) cuja solução incorreta deveria ser interpretada. Os entrevistados identificaram erros de natureza procedimental, linguística e conceitual. Futuros professores e professores viram os erros nos problemas de produto de medidas, sobretudo como conceituais, e os erros nos problemas de isomorfismo de medidas, sobretudo como linguísticos. Como o mesmo padrão de resultados quantitativos foi encontrado para os dois grupos, conclui-se que no ensino de matemática, o tipo de problema tem papel relevante na forma de interpretar erros, mais que a formação e a experiência dos professores.

Abstract This study investigates how in-service and pre-service teachers interpret the errors made by students when solving problems of multiplicative structure. Participants were 12 pre-service and 12 Mathematics Elementary School teachers. In a semi-structured interview, each participant was presented six cards, each one containing a mathematical problem (three product of measures and three isomorphism of measures problems) which incorrect solutions should be interpreted. According to the participants, the errors were procedural, linguistic and conceptual in nature. Pre-service and in-service teachers considered the errors in the product of measures problems mostly as conceptual in nature, while errors in isomorphism of measures problems were mostly linguistic in nature. As the two groups showed the same pattern of quantitative results, was concluded that in Mathematics teaching, more than professional training and experience, the nature of the problem has a relevant role in the way that errors are interpreted.

Discute-se um estudo de intervenção conduzido em um contexto experimental em que a interação adulto-criança era marcada por atividades metacognitivas com vistas a auxiliar na superação das dificuldades experimentadas por crianças com o conceito de divisão. As atividades metacognitivas propostas envolviam a tomada de consciência da criança sobre procedimentos adotados na resolução de problemas, sendo associada uma explicitação dos princípios invariantes do conceito de divisão. O estudo consistiu em um pré-teste e um pós-teste aplicado a 100 crianças de baixa renda (8 a 11 anos), alunas do 4.º ano do ensino fundamental de escolas públicas na cidade do Recife que apresentavam dificuldades com a divisão. As crianças foram distribuídas em um grupo controle e em um grupo experimental, havendo as crianças do grupo experimental participado da referida intervenção. As relações entre metacognição e aprendizagem são ilustradas a partir da apresentação e discussão de passagens extraídas das sessões de intervenção. Os resultados mostraram que no pré-teste os dois grupos não diferiam entre si, apresentando o mesmo nível de dificuldade; porém, após a intervenção, os participantes do grupo experimental superaram as dificuldades iniciais, o mesmo não sendo observado em relação aos participantes do grupo controle.

We discuss an interventional study carried out in an experimental context in which the adult-child interaction was characterized by metacognitive activities whose goal was to help children to overcome difficulties with the concept of division. The proposed metacognitive activities involved helping the child reach awareness of the procedures used in solving problems, associated with an explanation of the division invariable principles of the division concept. The study consisted of a pre- and post-test taken by 100 lower-class children aged 8 to 11 who were in the 4th grade in public schools in Recife and presented difficulties with division. The children were divided into a control group and an experimental group. The children in the experimental group participated in the aforementioned intervention. The relation between metacognition and learning is illustrated by the presentation and discussion of passages taken from the intervention sessions. The results show that, in the pre-test, the two groups presented no differences, both of them presenting the same level of difficulties. However, after the intervention, participants in the experimental group overcame their initial difficulties, but this was not observed in the participants in the control group.

Objetivou-se ilustrar a tomada de consciência através do conceito de divisão. Uma criança do sexo masculino, com 6 anos e 4 meses, cursando alfabetização em escola particular de Recife, foi entrevistada e solicitada a representar um problema. Realizou-se uma análise qualitativa, observando-se 5 momentos de tomada de consciência: 1) ausência de consciência da totalidade dos elementos; 2) consideração da totalidade dos elementos, sem tomada de consciência do resto; 3) surgimento de conflito cognitivo como possibilitador da tomada de consciência das relações entre os termos; 4) resolução do conflito a partir de um esquema cognitivo já existente - ausência de tomada de consciência do resto; 5) representação do termo resto, sem tomada de consciência da relação deste com os demais. Os resultados mostraram a construção de graus diferenciados de tomada de consciência da divisão, propiciados pelas intervenções do examinador e pela presença de referentes no enunciado, sem o alcance da conceituação.

This study aimed to illustrate the grasp of consciousness through the concept of division. A male child, aged 6 years and 4 months, learning the basics of the language at a private school in Recife, was interviewed and requested to represent a problem. A qualitative analysis was carried out observing 5 moments of grasp of consciousness: 1) the absence of consciousness of the totality of all the elements; 2) the consideration of the totality of all elements, without being conscious of the others; 3) the appearance of cognitive conflict as a means to enable the consciousness of the relationship between the terms; 4) resolution of the conflict by a pre-existing cognitive scheme - the absence of consciousness of the rest; 5) the representation of the term rest, without the consciousness of its relationship with the others. The results showed the building of different degrees of grasp of consciousness of division, enabled by the examiner's interventions and by the presence of referents in this statement, beyond the reach of the grasp of consciousness.

O conhecimento matemático de crianças sobre a divisão foi investigado a partir de dois aspectos: desempenho em problemas de divisão e as concepções sobre a divisão. Oitenta crianças (5-9 anos) foram solicitadas a resolver dois tipos de problemas de divisão(um de partição e outro por quotas) e, em uma entrevista clínica, eram solicitadas a responder a pergunta 'O que é dividir?'. Cada criança foi classificada em um grupo de desempenho em função do número de acertos nos problemas. Diferentes tipos de definições foram identificados, os quais variavam desde definições sem um significado matemático até definições que expressavam um significado matemático exclusivamente associado à divisão. Os dados mostraram haver uma relação entre desempenho e as definições sobre a divisão, e que as crianças atribuem um significado matemático à divisão antes de adotarem procedimentos apropriados na resolução dos problemas. Os resultados inserem-se em um quadro teórico de desenvolvimento que analisa as relações entre conhecimento procedural e conhecimento explicitado lingüisticamente.

Children's mathematical knowledge of division was examined in two different perspectives: performance on division problems and children's ideas about division. Eighty children (5-9 years old) were presented with two word division problems (partitive and quotitive). After solving these problems they were asked to define 'What is division?' during a clinical interview. Each child was classified according to their performance on division problems. Different types of definitions were found which varied from definitions without mathematical meaning to definitions that expressed mathematical meaning associated with division. The findings revealed a relationship between children's performance and their ideas about division; also the results indicated that the mathematical meaning associated with division appears before children can successfully solve division word problems. The results are discussed in terms of a developmental approach in which the relations between procedural knowledge and explicit knowledge are considered.