ABSTRACT This work aims to study the equitable total coloring into subfamilies of regular graphs. For this purpose, we use some relationships between equitable total coloring and range (vertex) coloring in some regular graphs. The concept of range coloring of order k was first presented by (Lozano et al., 2009). In this paper, we shows that if a regular graph G admits an equitable range coloring c of order Δ with (Δ+1) colors then there is an equitable total coloring of G - with the same set of colors - that extends c. We also show that there are infinite graphs satisfying this theorem. Such graphs are called Harmonics. We generate Harmonic Graphs which are Cartesian products of cycles and their complements. These graphs are regular and they admit an equitable total coloring under the above conditions.

Este texto apresenta uma proposta integrada para a formação continuada de professores de matemática, que associou a criação de um site para a construção de WebQuests, oficinas interativas e um Guia de apoio para o uso das tecnologias da informação e comunicação em aulas de matemática. Descreve como a articulação de produtos, na forma de uma proposta integrada, procurou responder à dinâmica e à complexidade da pesquisa-ensino, apoiando o desenvolvimento da investigação sobre as tecnologias no ensino da matemática. O referencial teórico baseia-se nos estudos sobre formação continuada de professores, interatividade e educação, os quais exploram a emergência de um modelo comunicacional que supera o paradigma da transmissão e repetição da pedagogia bancária. Resultados indicam que a formação continuada de professores beneficia-se de abordagens plurais e interativas, as quais promovam, no âmbito de pequenas comunidades de prática, aprendizagem concomitante sobre a matemática e sua didática.

This paper presents an integrated proposal for continuing education for mathematics teachers which involved the creation of a site for WebQuest design, interactive workshops and a guide for the use of information and communication technologies in math classes. It describes the development of educational materials integrated with other educational activities, providing a response to the dynamic and complex nature of a teaching-research, and informing the development of an investigation about technologies in the teaching of mathematics. The theoretical framework is based on studies about continuing teacher education, interactivity and education. It explores the emergence of a communicational model that overcomes the transmission and repetition paradigm of the banking pedagogy. Results indicate that continuing teacher education benefits from plural and interactive approaches which promote, within small communities of practice, simultaneous learning about mathematics and its didactics.

Uma rede de interconexão é uma estrutura composta por um conjunto P de n > 1 processadores e um conjunto T de ligações, satisfazendo certas condições. Neste trabalho será introduzido o conceito de coloração total equilibrada. Este conceito é utilizado para oferecer uma representação natural para o processamento paralelo em redes de conexão. Uma coloração total equilibrada é apresentada para as principais topologias de redes de conexão, com no máximo D +2 cores, satisfazendo assim uma conjectura de Vizing.

An interconnection network is a structure including a set P of n > 1 processors and a set T of connections of the elements of P, satisfying certain conditions. In this work it will be introduced the concept of equitable total coloring of a graph. This concept is shown to be a natural representation for parallel processing in interconnection networks. For the most common interconnection network topologies an equitable total coloring is presented with at most D +2 colors, thus satisfying a conjecture of Vizing.